1、第第 2 2 课时课时 一元二次不等式的应用一元二次不等式的应用 学习目标 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程了解一元二次不等式的现实 意义.2.能够构建一元二次函数模型，解决实际问题 知识点一 简单的分式不等式的解法 分式不等式的解法： 思考 x3 x20 与(x3)(x2)0 等价吗？ x3 x20 与(x3)(x2)0 等价吗？ 答案 x3 x20 与(x3)(x2)0 等价； x3 x20 与(x3)(x2)0 不等价， 前者的解集中没有 2，后者的解集中有2. 知识点二 一元二次不等式恒成立问题 1转化为一元二次不等式解集为 R 的情况，即 ax2bxc0(a0)恒成立
2、a0， 0； ax2bxc0(a0)恒成立 a0， 0. 2分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题 知识点三 利用不等式解决实际问题的一般步骤 1选取合适的字母表示题目中的未知数； 2由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)； 3求解所列出的不等式(组)； 4结合题目的实际意义确定答案 思考 解一元二次不等式应用题的关键是什么？ 答案 解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用 的未知量为 x，用 x 来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解 1不等式x2 x10 的解集为_ 答案 x|1x2 解析 原不等式(x1)(x2)0，1x2. 2不等
3、式1 x1 的解集为_ 答案 x|x1 或 x0 解析 1 x1， x1 x 0， xx10， x0， x1 或 x0. 3若方程 x2ax10 的解集是，则实数 a 的取值范围是_ 答案 2a2 解析 由题意可得 a240，所以2a0 恒成立，则实数 m 的取值范围是_ 答案 m1 解析 由题意可得 224m1. 一、简单的分式不等式的解法 例 1 解下列不等式： (1) x1 2x11. 解 (1)原不等式可化为(x1)(2x1)0， 1x1 2， 故原不等式的解集为 x 1x1 2 . (2)原不等式可化为 x1 3x50， x13x50， 3x50， 5 3x1， x5 3， 即5 3
4、x1. 故原不等式的解集为 x 5 30， x1x2 x2 0， 3 x20，则 x2. 故原不等式的解集为x|x2 反思感悟 分式不等式的解法 (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但 要注意等价变形，保证分母不为零 (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之不等号 右边为零，然后再用上述方法求解 跟踪训练 1 解下列不等式： (1)x1 x30；(2) 5x1 x1 3.即知原不等式的解集为x|x1 或 x3 (2)不等式5x1 x1 3 可改写为5x1 x1 30， 即2x1 x1 0. 可将这个不等式转化
5、成 2(x1)(x1)0， 解得1x1. 所以，原不等式的解集为x|1x1 二、不等式的恒成立问题 例 2 对xR，不等式 mx2mx10，求 m 的取值范围 解 若 m0，显然10 恒成立； 若 m0，则 m0， m24m0 解得4m0. 综上，m 的取值范围为m|40，若存在，求 m 的取值 范围；若不存在，说明理由 解 显然 m0 时不等式不成立； 由题意可得 m0， m24m0. 2在本例中，把条件“xR”改为“xx|2x3”，其余不变，求 m 的取值范围 解 由不等式 mx2mx10 得 m(x2x)0， 所以 m(x2x)1 可化为 m 1 x2x， 因为 x2x x1 2 21
6、46， 所以 1 x2x 1 6，所以 m 1 6. 即 m 的取值范围是 m m1 6 . 反思感悟 一元二次不等式恒成立问题的解法 (1)转化为对应的二次函数图象与 x 轴的交点问题，考虑两个方面：x2的系数和对应方程的判 别式的符号 (2)转化为二次函数的最值问题：分离参数后，求相应二次函数的最值，使参数大于(小于)这 个最值 跟踪训练 2 若关于 x 的不等式(k1)x2(k1)x10 恒成立，则实数 k 的取值范围是 _ 答案 k|3k1 解析 当 k1 时， 10 恒成立； 当 k1 时， 由题意得 k10， k124k10， 解得3k1， 因此实数 k 的取值范围为k|30)个百
7、分点，预测收购量可增加 2x 个百分点 (1)写出降税后税收 y(万元)与 x 的关系式； (2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的 83.2%，试确定 x 的取值范围 解 (1)降低税率后的税率为(10 x)%，农产品的收购量为 a(12x%)万担， 收购总金额为 200a(12x%)万元 依题意得 y200a(12x%)(10 x)% 1 50a(1002x)(10 x)(0x10) (2)原计划税收为 200a10%20a(万元) 依题意得 1 50a(1002x)(10 x)20a83.2%， 化简得 x240 x840，解得42x2. 又因为 0x10，所以 0x2. 即
8、x 的取值范围为x|0x2 反思感悟 解不等式应用题的步骤 跟踪训练 3 某农家院有客房 20 间，日常每间客房日租金为 80 元，每天都客满该农家院 欲提高档次，并提高租金，经市场调研，每间客房日租金每增加 10 元，客房出租数就会减少 1 间每间客房日租金不得超过 130 元，要使每天客房的租金总收入不低于 1 800 元，该农家 院每间客房日租金提高的空间有多大？ 解 设每间客房日租金提高 x 个 10 元，即每间客房日租金提高到(8010 x)元，则客房出租 数减少 x 间，此时客房的租金总收入为(8010 x)(20 x)元因为每天客房的租金总收入不低 于 1 800 元， 所以(8
9、010 x)(20 x)1 800. 化简，得 x212x200. 解得 2x10，所以 2010 x100. 又由题意可知 8010 x130，所以 10 x50. 因此，该农家院每间客房日租金提高的空间是 2050 元 1不等式1x 1x0 的解集为( ) A(1,1 B1,1) C1,1 D(1,1) 答案 B 解析 原不等式 x1x10， x10， 1x1，故选 B. 2若集合 Ax|12x13，B x x2 x 0，则 AB 等于( ) A1,0) B(0,1 C0,2) D0,1 答案 B 解析 A1,1，B(0,2， AB(0,1 3不等式x1 x 5 的解集是_ 答案 x 0x
10、1 4 解析 原不等式x1 x 504x1 x 0 x4x10， x0， 解得 0x1 4. 4不等式 x2ax44 或 a4 解析 x2ax40 的解集不是空集， 即不等式 x2ax40，解得 a4 或 a4. 5 某商品在最近 30 天内的价格 y1与时间 t(单位： 天)的关系式是 y1t10(0t30， tN)； 销售量 y2与时间 t 的关系式是 y2t35(0t30，tN)，则使这种商品日销售金额 z 不小 于 500 元的 t 的取值范围为_ 答案 t|10t15，tN 解析 z(t10)(t35)， 依题意有(t10) (t35)500， 解得 10t15，tN，所以解集为t|10t15，tN 1知识清单： (1)简单的分式不等式的解法 (2)不等式的恒成立问题 (3)一元二次不等式在现实生活中的应用 2方法归纳：等价变形转化、恒等变形 3常见误区： (1)解分式不等式的等价变形 (2)利用一元二次不等式解决实际问题时，应注意实际意义