1、第第 1 1 章章 集合集合 章末复习课章末复习课 一、集合的含义及表示 1集合的特征是确定性、互异性、无序性，其中互异性是我们必须进行检验的一方面，否则 集合中的元素便有了重复，在列举法、描述法、Venn 图法三种集合表示法中，描述法略有难 度，解题时应注意分清代表元素是什么，有什么共同特征 2掌握集合的表示方法，重点提升逻辑推理素养 例 1 设集合 A 中含有三个元素 2x5，x24x,12，若3A，则 x 的值为_ 答案 3 解析 3A，32x5 或3x24x. 当32x5 时，解得 x1，此时 2x5x24x3，不符合元素的互异性，故 x1； 当3x24x 时，解得 x1 或 x3，由
2、知 x1，且 x3 时满足元素的互异性 综上可知 x3. 反思感悟 集合中元素的互异性在解题中的应用 (1)借助于集合中元素的互异性找寻解题的突破口 (2)利用集合中原始元素的互异性检验结论的正确性 跟踪训练 1 设 A1,4， x， B1， x2， 且 ABB， 则 x 的可能取值组成的集合为_ 答案 0,2，2 解析 ABB，BA， x24 或 x2x，解得 x2,0,1,2， 当 x1 时，A，B 均不符合互异性， x1，故 x 2,0. 二、集合间的关系 1解答与集合有关的问题时，应首先认清集合中的元素是数集还是点集，再进行相关的运 算分清集合中的两种隶属关系，即元素与集合、集合与集合
3、的关系 2掌握集合间的关系，重点提升逻辑推理素养，培养分类讨论的思想 例 2 设集合 A1,1，集合 Bx|x22axb0，若 B，BA，求 a，b 的值 解 由 BA 知，B 中的所有元素都属于集合 A，又 B， 故集合 B 有三种情形：B1或 B1或 B1,1 当 B1时，Bx|x22x10， 故 a1，b1； 当 B1时，Bx|x22x10，故 ab1； 当 B1,1时，Bx|x210，故 a0，b1. 综上所述，a，b 的值为 a1，b1，或 a1，b1，或 a0，b1. 反思感悟 求解集合间的基本关系问题的要点 (1)合理运用 Venn 图或数轴帮助分析和求解 (2)在解含参数的不等
4、式(或方程)时，一般要对参数进行讨论，分类时要“不重不漏”，然后 对每一类情况都要给出问题的解答 跟踪训练 2 已知集合 Ax|x2k1，kZ，Bx|x4k 1，kZ，则 A 与 B 的关系为 _ 答案 AB 解析 A 表示所有奇数组成的集合当 kZ 时，4k1 表示被 4 除余 1 的数，4k1 表示被 4 除余 3 的数，故 B 表示被 4 除余 1 或 3 的数，即被 2 除时余数为 1，B 也表示奇数集，故 AB. 三、集合的运算 1集合的运算有交、并、补这三种常见的运算，它是集合这一单元的核心内容之一在进行 集合的交集、并集、补集运算时，利用数轴分析(或 Venn 图)能将复杂问题直
5、观化在具体应 用时要注意检验端点值是否适合题意，以免增解或漏解 2掌握集合的运算方法，重点提升逻辑推理和数学运算素养，培养数形结合的思想 例 3 已知集合 Ax|2a2xa，Bx|1x2，且 ARB，求 a 的取值范围 解 RBx|x1 或 x2， 且 ARB. 分 A和 A两种情况讨论 若 A，则有 2a2a，a2. 若 A，则有 2a2a， a1 或 2a2a， 2a22， a1. 综上所述，a1 或 a2. 反思感悟 集合与不等式(组)结合的运算包含的类型及解决方法 (1)两种类型：不含字母参数、含有字母参数 (2)解决方法：对于不含字母参数的直接将集合中的不等式(组)解出，在数轴上求解
6、即可； 对于含有字母参数的，若字母参数的取值对不等式(组)的解有影响，要注意对字母参数分 类讨论，再求解不等式(组)，然后在数轴上求解 跟踪训练 3 已知全集 UR，集合 Ax|1x2，若 BRAR，BRAx|0x1 或 2x3，求集合 B. 解 Ax|1x2，RAx|x2 又 BRAR，ARAR，可得 AB. 而 BRAx|0x1 或 2x3， x|0x1 或 2x3B. 借助于数轴： 可得 BAx|0x1 或 2x3x|0x3 四、补集思想及其应用 1在讨论一些较为复杂的问题时，可以先求解问题的反面，采用“正难则反”的解题策略， 这就是补集思想具体的讲，就是将研究对象的全体视为全集，求出使
7、问题反面成立的集合 A，则 A 的补集即为所求 2掌握集合的补集，重点提升逻辑推理和数学运算素养 例 4 设集合 Ax|axa4，Bx|x1 或 x5，若 AB，求实数 a 的取值范 围 解 当 AB时，如图所示， 则 a1， a45， 解得1a1. 即 AB时，实数 a 的取值范围为 Ma|1a1 而 AB时， 实数 a 的取值范围显然是集合 M 在 R 中的补集， 故实数 a 的取值范围为a|a 1 或 a1 反思感悟 补集的性质 AUA (UA)为我们提供了“正难则反”的解题思想补集思想， 有些数学问题， 若直接从正面解决， 要么解题思路不明朗， 要么需要考虑的因素太多， 因此， 用补集
8、思想考虑其对立面，从而化繁为简，化难为易，开拓新的解题思路 跟踪训练 4 已知集合 AxR|2x3，BxR|k1x2k1，若 ABA，求实 数 k 的取值范围 解 若 ABA，则 AB. 又 AxR|2x3，BxR|k1x2k1， 所以 k12， 2k13， 解得 2k3. 又 kR，所以当 ABA 时， 实数 k 的取值范围为集合k|2k3在 R 中的补集， 即 k 的取值范围为(，2)(3，) 1(2020 新高考全国)设集合 A2,3,5,7，B1,2,3,5,8，则 AB 等于( ) A1,8 B2,5 C2,3,5 D1,2,3,5,8 答案 C 解析 AB2,3,5,71,2,3,5,82,3,5 2(2020 新高考全国)设集合 Ax|1x3，Bx|2x4，则 AB 等于( ) Ax|2x3 Bx|2x3 Cx|1x4 Dx|1x4 答案 C 解析 ABx|1x3x|2x4 x|1x1，Bx|x1x|x2x|1x0，xR，则 AB_. 答案 1,6 解析 由交集定义可得 AB1,6