1、3.33.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 3 3. .3.13.1 从函数观点看一元二次方程从函数观点看一元二次方程 学习目标 1.正确理解二次函数零点的概念.2.理解一元二次方程与二次函数的关系.3.掌握 图象法解一元二次方程 知识点一 二次函数的零点 1 定义： 一般地， 一元二次方程 ax2bxc0(a0)的根就是二次函数 yax2bxc(a0) 当函数值取零时自变量x的值， 即二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴交点的横坐标， 也称为二次函数 yax2bxc(a0)的零点 2关系：二次函数 yax2bxc(a0)的零点一元二次
2、方程 ax2bxc0(a0)的实数 根二次函数 yax2bxc(a0)的图象与 x 轴交点的横坐标 提醒 零点不是点，指的是一个实数 知识点二 一元二次方程的根与二次函数的图象、零点间的关系 b24ac 0 0 0)的图象 一元二次方程 ax2 bxc0(a0)的根 x1,2b b 24ac 2a x1x2 b 2a 无根 二次函数 yax2bx c(a0)的零点 b b24ac 2a b 2a 无零点 1所有的二次函数都有零点( ) 2若方程 ax2bxc0(a0)有两个不等实根 x1，x2，则函数 yax2bxc(a0)的零点为 (x1,0)，(x2,0)( ) 3二次函数 yx21 的零
3、点为1,1.( ) 4二次函数 yax2bxc(a0)，当 0 时有两个零点( ) 一、求二次函数的零点 例 1 求下列函数的零点： (1)y3x2x4； (2)y4x24x1. 解 (1)令 3x2x40，解得 x11 或 x24 3， 所以函数 y3x2x4 的零点为1，4 3. (2)令4x24x10，解得 x1x21 2，所以函数 y4x 24x1 的零点为1 2. 反思感悟 求解二次函数的零点，即转化为求二次函数所对应一元二次方程的根 跟踪训练 1 若 x1，x2是方程 2x24x10 的两个根，则x1 x2 x2 x1的值为( ) A6 B4 C3 D.3 2 答案 A 解析 由题
4、意可得，x1x22，x1x21 2， 所以x1 x2 x2 x1 x1x222x1x2 x1x2 41 1 2 6，故选 A. 二、由二次函数的零点求参数的值 例 2 若二次函数 yx2axb 的两个零点分别是 2 和 3，则 2ab 的值为_ 答案 4 解析 据题意，23a,23b，解得 a5， b6. 2ab4. 延伸探究 函数yx2mx4m23的两个零点分别为x1， x2且满足x1x2x1x2， 则m的值为_ 答案 3 4 解析 根据题意，二次方程 x2mx4m230 的两个实数根分别为 x1，x2， 则有 m24(4m23)0， 可得 m24 5，则 x1x2m，x1x24m 23，
5、若 x1x2x1x2，则m4m23， 解得 m1 或3 4，又 m 24 5，则 m 3 4. 反思感悟 由函数的零点求参数的值主要是转化为方程的根的判别式及根与系数的关系，解 题的关键是正确的运用判别式及根与系数的关系 跟踪训练 2 若二次函数 yx2(p2)x21 的图象与 x 轴的交点为 A(，0)，B(，0)，与 y 轴的交点为 C. (1)若 2251，求 p 的值； (2)若ABC 的面积为 105，求 p 的值 解 (1)由题意，令 x2(p2)x210， (p2)2840，所以方程有两个不同的实根，易知 ， 为方程 x2(p2)x210 的两 个实根， 则 2p， 21， 22
6、()2251， (2p)24251，解得 p1 或 p5. 即 p 的值为1 或 5. (2)C(0，21)，SABC1 2|21105， |10，()24100， (2p)284100，解得 p12，p26. 即 p 的值为2 或 6. 三、由二次函数的零点求参数的范围 例 3 函数 yx25x1m 的两个零点均大于 2，则实数 m 的取值范围是( ) A. 21 4 ， B(，5) C. 21 4 ，5 D. 21 4 ，5 答案 C 解析 设函数的两个零点分别为 x1，x2， 函数 yx25x1m 的两个零点均大于 2， 即方程 x25x1m0 的两根均大于 2， 则 x120，x220
7、， 0， x1x240， x12x220， 即 2541m0， 540， 1m2540， 解得21 4 m5， 实数 m 的取值范围是 21 4 ，5 ， 故选 C. 反思感悟 二次函数的零点分布问题，一般要结合二次函数图象得出开口方向、对称轴、判 别式以及端点函数值符号(此端点指的是与方程的根比较大小的数)，由此列出不等式组进行 求解 跟踪训练 3 已知方程 ax22x10 至少有一个负根，则实数 a 的取值范围是( ) A(0,1 B(，1) C(，1 D(，0)(0,1 答案 C 解析 当 a0 时，由 44a0 得 0a1， 此时 x1x22 a0， 所以方程有两负数根，所以符合题意；
8、 当 a0 时，方程的根为 x1 2，符合题意； 当 a0，此时 x1x22 a0， x1x21 a0， 所以方程有一正数根和一负数根，符合题意 所以 a 的取值范围是(，1故选 C. 1函数 y2x23x1 的零点是( ) A1 2，1 B1 2，1 C.1 2，1 D.1 2，1 答案 D 解析 解方程 2x23x10，得 x1 2或 x1，故函数 y2x 23x1 的零点是1 2和 1，故选 D. 2若函数 yx22xa 没有零点，则实数 a 的取值范围是( ) A(，1) B(1，) C(，1 D1，) 答案 B 解析 函数 yx22xa 没有零点， 二次方程 x22xa0 无解， 4
9、4a1，故选 B. 3二次函数 y2x2bx3(bR)的零点个数是( ) A0 B1 C2 D不确定 答案 C 解析 因为 b242(3)b2240，所以二次函数 y2x2bx3，bR 的零点个 数为 2，故选 C. 4若 x1，x2是函数 yx23x4 的两个零点，则 x1x2的值是( ) A1 B3 C3 D4 答案 C 解析 由题意知，x1，x2是方程 x23x40 的根，由根与系数的关系得 x1x23，故选 C. 5已知函数 yx2ax3a 的一个零点是2，则它的另一个零点是_ 答案 6 解析 由题意知，42a3a0，解得 a4， 故方程为 x24x120，解出另一个根为 6. 1知识清单： (1)二次函数零点的概念 (2)一元二次方程的根、二次函数零点以及二次函数图象间的关系 2方法归纳：参数分离的方法，转化思想 3常见误区：二次函数的零点是一个实数，误认为是点的坐标导致出错