1、3 3. .2.22.2 基本不等式的应用基本不等式的应用 学习目标 1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问 题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题 知识点 用基本不等式求最值 用基本不等式 abab 2 (a，b0)求最值应注意： (1)a，b 是正数 (2)如果 ab 等于定值 P，那么当 ab 时，和 ab 有最小值 2 P； 如果 ab 等于定值 S，那么当 ab 时，积 ab 有最大值1 4S 2. (3)讨论等号成立的条件是否满足 1不等式(x2y) 1 x2y2 成立的前提条件为_ 答案 x2y 解析 因为不等式成立的前提条件是各项
2、均为正数，所以 x2y0，即 x2y. 2已知正数 a，b 满足 ab10，则 ab 的最小值是_ 答案 2 10 解析 ab2 ab2 10， 当且仅当 ab 10时，等号成立 3已知 m，nR，m2n2100，则 mn 的最大值是_ 答案 50 解析 m2n22mn， mnm 2n2 2 50. 当且仅当 mn 5 2时，等号成立 4已知 0x0，则 yx(12x)1 2 2x (12x) 1 2 2x12x 2 21 8， 当且仅当 2x12x，即 x1 4时，等号成立 一、利用基本不等式求最值 例 1 (1)若 x0，y0，且满足8 x 1 y1.求 x2y 的最小值 解 (1)因为
3、x0，y0，8 x 1 y1， 所以 x2y(x2y) 8 x 1 y 816y x x y210 16y x x y102 1618， 当且仅当16y x x y，即 x12，y3 时等号成立， 所以 x2y 的最小值为 18. 延伸探究 1若把本例(2)的条件“8 x 1 y1”改为“x2y1”，其他条件不变，求 8 x 1 y的最小值 解 因为 x0，y0，所以8 x 1 y(x2y) 8 x 1 y 816y x x y210 16y x x y102 1618， 当且仅当16y x x y，x2y1，即 x 2 3，y 1 6时，等号成立，所以 8 x 1 y的最小值为 18. 2若
4、把本例(2)的条件“8 x 1 y1”改为“x8yxy”，其他条件不变，求 x2y 的最小值 解 因为 x0，y0，由 x8yxy，两边同时除以 xy， 可得8 x 1 y1， 所以 x2y 8 x 1 y (x2y)10 x y 16y x 102 x y 16y x 18， 当且仅当 8 x 1 y1， x y 16y x ， 即 x12， y3 时，等号成立， 所以 x2y 的最小值为 18. 反思感悟 常数代换法求最值的方法步骤 常数代换法适用于求解条件最值问题，应用此种方法求解最值的基本步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数) (2)把确定的定值(常数)变形为 1. (3)把
5、“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式 (4)利用基本不等式求解最值 跟踪训练 1 已知 x，y 均为正数，且1 x 9 y1，求 xy 的最小值 解 xy(xy) 1 x 9 y 10y x 9x y 102 y x 9x y 16， 当且仅当y x 9x y 且1 x 9 y1，即 x4，y12 时取等号，所以 xy 的最小值为 16. 二、基本不等式的实际应用 例 2 2020 年 6 月 23 日， 我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭成功发射北斗系统 第五十五颗导航卫星，至此北斗全球卫星导航系统星座部署全面完成长征三号乙运载火箭 的设计生产采用了很多新
6、技术新材料，甲工厂承担了某种材料的生产，并以 x 千克/时的速度 匀速生产(为保证质量要求 1x10)，每小时可消耗 A 材料(kx29)千克，已知每小时生产 1 千克该产品时，消耗 A 材料 10 千克 (1)设生产 m 千克该产品，消耗 A 材料 y 千克，试把 y 表示为 x 的函数； (2)要使生产 1 000 千克该产品消耗的 A 材料最少，工厂应选取何种生产速度？并求消耗的 A 材料最少为多少？ 解 (1)由题意，得 k910，即 k1， 生产 m 千克该产品需要的时间是m x， 所以 ym x(kx 29)m x9 x ，1x10. (2)由(1)知，生产 1 000 千克该产品
7、消耗的 A 材料为 y1 000 x9 x 1 0002 96 000(千克)， 当且仅当 x9 x，即 x3 时，等号成立， 故工厂应选取 3 千克/时的生产速度，消耗的 A 材料最少，最少为 6 000 千克 反思感悟 利用基本不等式解决实际问题的步骤 解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不 等式性质等)解决问题用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： (1)先理解题意，设变量设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数 (2)建立相应的函数关系式把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题 (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值 (4)
8、正确写出答案 跟踪训练 2 某村计划建造一个室内面积为 800 m2的矩形蔬菜温室，温室内沿左右两侧与后 墙内侧各保留 1 m 宽的通道， 沿前侧内墙保留 3 m 宽的空地， 当矩形温室的边长各为多少时， 蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？ 解 设矩形的一边长为 x m，则另一边长为800 x m， 因此种植蔬菜的区域宽为(x4)m，长为 800 x 2 m. 由 x40， 800 x 20， 得 4x0，若不等式 xyt0 恒成立，则实数 t 的最 大值为( ) A4 B4 C.1 4 D 1 4 答案 A 解析 1 x 1 y10， 化简可得1 x 1 y1 又xy0，结合可得，x0
9、，y0. 若不等式 xyt0 恒成立，则 xyt 恒成立，即 t 小于等于 xy 的最小值 (xy) 1 x 1 y 2y x x y 22 y x x y4. 当且仅当y x x y时取得等号，即 xy2， xy 的最小值为 4，故 t4， 实数 t 的最大值为 4，故选 A. 反思感悟 求参数的值或取值范围的一般方法 (1)分离参数，转化为求代数式的最值问题 (2)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围 跟踪训练 3 已知 a0，b0，若不等式2 a 1 b m 2ab恒成立，则 m 的最大值等于( ) A10 B9 C8 D7 答案 B 解析 因为 a0，
10、b0，所以 2ab0， 所以要使2 a 1 b m 2ab恒成立， 只需 m(2ab) 2 a 1 b 恒成立， 而(2ab) 2 a 1 b 42a b 2b a 1549， 当且仅当 ab 时，等号成立，所以 m9； 所以 m 的最大值为 9. 基本不等式在实际问题中的应用 典例 如图所示，用总长为定值 l 的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边 的篱笆隔开 (1)设场地面积为 y，垂直于墙的边长为 x，试将 y 表示成 x 的表达式； (2)怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？ 解 (1)由题意，得由 x0，且 l3x0，可得 x 的范围为 0x1 3l. 场地面积
11、 yx(l3x)，0x0，y0)， xy xy 2 2 40 2 2400. 当且仅当 xy20 时，等号成立 2已知 0x1，则 x(33x)取最大值时 x 的值为( ) A.1 3 B. 1 2 C. 2 3 D. 3 4 答案 B 解析 0x0，b0，且 ab1，则1 a 1 b的最小值为( ) A2 B3 C4 D5 答案 C 解析 因为 ab1，所以 1 a 1 b 1 a 1 b (ab) b a a b2. 因为 a0，b0，所以b a0， a b0. 所以b a a b2 b a a b2， 当且仅当b a a b，即 ab 1 2时等号成立 所以1 a 1 b b a a b
12、2224， 即1 a 1 b的最小值为 4. 4已知正数 a，b 满足 a2b21，则 ab 的最大值为( ) A1 B. 2 2 C.1 2 D. 1 4 答案 C 解析 已知正数 a，b 满足 a2b21，则 aba 2b2 2 1 2，当且仅当 ab 2 2 时取等号所 以 ab 的最大值为1 2. 5某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润 y(单 位：万元)与机器运转时间 x(单位：年)的关系为 yx218x25(xN*)，则当每台机器运 转_年时，年平均利润最大，最大值是_万元 答案 5 8 解析 每台机器运转 x 年的年平均利润为 y x18 x25 x ，且 x0， 故y x182 258， 当且仅当 x5 时，等号成立， 所以，当每台机器运转 5 年时，年平均利润最大，最大值为 8 万元 1知识清单： (1)利用基本不等式求最值 (2)基本不等式的实际应用 (3)基本不等式的综合应用 2方法归纳：配凑法、常值代换法 3常见误区：忽略应用基本不等式求最值的条件(一正、二定、三相等)