1、3.23.2 基本不等式基本不等式 ababa a b b 2 2 ( (a a，b b0) 0) 3 3. .2.12.1 基本不等式的证明基本不等式的证明 学习目标 1.了解基本不等式的证明过程.2.能利用基本不等式证明简单的不等式.3.会利用 基本不等式求简单的函数的最值 知识点 基本不等式 1基本不等式：如果 a0，b0， abab 2 ，当且仅当 ab 时，等号成立 其中ab 2 叫作正数 a，b 的算术平均数， ab叫作正数 a，b 的几何平均数 2变形：当 a，bR 时， aba 2b2 2 (当且仅当 ab 时，等号成立)； ab ab 2 2(当且仅当 ab 时，等号成立)
2、1若 a0，b0 且 ab，则 ab2 ab.( ) 2若 a0，b0，则 ab ab 2 2.( ) 3对任意 a，bR，a2b22ab，ab2 ab均成立( ) 4若 a0，则 a1 a2 a 1 a2.( ) 一、对基本不等式的理解 例 1 (1)若 a，bR，且 ab0，则下列不等式中，恒成立的是( ) Aa2b22ab Bab2 ab C.1 a 1 b 2 ab D.b a a b2 (2)不等式 a12 a(a0)中等号成立的条件是( ) Aa0 Ba1 2 Ca1 Da2 答案 (1)D (2)C 解析 (1)对于 A 项，当 ab 时，应有 a2b22ab，所以 A 项错；对
3、于 B，C，条件 ab0， 只能说明 a， b 同号， 当 a， b 都小于 0 时， B， C 错误； 对于 D 项， 因为 ab0， 所以b a0， a b0， 所以b a a b2 b a a b2. (2)因为 a0，根据基本不等式 abab 2 ，当且仅当 ab 时等号成立，故 a12 a中当且 仅当 a1 时等号成立 反思感悟 在基本不等式应用过程中要注意“一正、二定、三相等” 一正：a，b 均为正数； 二定：不等式一边为定值； 三相等：不等式中的等号能取到，即 ab 有解 跟踪训练 1 下列不等式的推导过程正确的是_(填序号) 若 x1，则 x1 x2 x 1 x2； 若 x1，
4、所以 x1 x2； 中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件 二、利用基本不等式证明不等式 例 2 已知 a，b，c 均为正实数，且 abc1. 求证： 1 a1 1 b1 1 c1 8. 证明 因为 a，b，c 均为正实数，abc1， 所以1 a1 1a a bc a 2 bc a ， 同理1 b1 2 ac b ，1 c1 2 ab c . 上述三个不等式两边均为正，分别相乘， 得 1 a1 1 b1 1 c1 2 bc a 2 ac b 2 ab c 8. 当且仅当 abc1 3时，等号成立 延伸探究 例 2 的条件不变，求证：1 a 1 b 1 c9. 证明 1 a 1 b 1
5、 c abc a abc b abc c 3 b a a b c a a c c b b c 32229， 当且仅当 abc1 3时，等号成立 反思感悟 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 (1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的 逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知” (2)注意事项： 多次使用基本不等式时， 要注意等号能否成立； 累加法是不等式证明中的一种常用方法， 证明不等式时注意使用；对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式 模型，再使用 跟踪训练 2 已知 a，b，c 为正数，求证
6、：bca a cab b abc c 3. 证明 左边b a c a1 c b a b1 a c b c1 b a a b c a a c c b b c 3. 因为 a，b，c 为正数， 所以b a a b2(当且仅当 ab 时取“”)； c a a c2(当且仅当 ac 时取“”)； c b b c2(当且仅当 bc 时取“”) 从而 b a a b c a a c c b b c 6(当且仅当 abc 时取等号) 所以 b a a b c a a c c b b c 33， 即bca a cab b abc c 3. 三、直接利用基本不等式求最值 例 3 (1)若 x0，求9 x4x 的
7、最小值； (2)若 x0， 9 x4x2 9 x 4x12， 当且仅当9 x4x，即 x 3 2时等号成立， 9 x4x 的最小值为 12. (2)x0， 1 x1x 1 x1x11 1 1x1x 1 2 1 1x 1x11， 当且仅当 1 1x1x，即 x0 时等号成立， 1 x1x 的最大值为1. 反思感悟 拼凑法求解最值，其实质就是先通过代数式变形拼凑出和或积为常数的两项，然 后利用基本不等式求解最值 利用基本不等式求解最值时， 要注意“一正、 二定、 三相等”， 尤其是要注意验证等号成立的条件 跟踪训练 3 (1)当 x1 时，求 2x 8 x1的最小值； (2)当 x1 时，求x 2
8、8 x1 的最小值 解 (1)2x 8 x12 x1 4 x1 2， x1，x10， 2x 8 x122 4210， 当且仅当 x1 4 x1，即 x3 时，取等号 (2)令 tx 28 x1 x1 22x19 x1 (x1) 9 x12. 因为 x10，所以 t2x1 9 x128， 当且仅当 x1 9 x1，即 x4 时，t 取最小值为 8. 1下列等式中最小值为 4 的是( ) Ayx4 x By2t1 t Cy4t1 t(t0) Dyt1 t 答案 C 解析 A 中 x1 时，y54； B 中 t1 时，y34； C 中 y4t1 t2 4t 1 t4， 当且仅当 t1 2时，等号成立
9、； D 中 t1 时，y24. 2如果正数 a，b，c，d 满足 abcd4，那么( ) Aabcd，且等号成立时，a，b，c，d 的取值唯一 Babcd，且等号成立时，a，b，c，d 的取值唯一 Cabcd，且等号成立时，a，b，c，d 的取值不唯一 Dabcd，且等号成立时，a，b，c，d 的取值不唯一 答案 A 解析 因为 abcd4， 所以由基本不等式， 得 ab2 ab， 故 ab4.又因为 cdcd 2 4 ， 所以 cd4，所以 abcd，当且仅当 abcd2 时，等号成立 3若 0aab 2 abb Bb abab 2 a Cbab 2 aba Dbaab 2 ab 答案 C
10、解析 0aab，bab 2 ab. 又ba0，aba2， aba.故 bab 2 aba. 4设 x0，则 33x1 x的最大值是( ) A3 B32 2 C1 D32 3 答案 D 解析 x0，3x1 x2 3x 1 x2 3， 当且仅当 x 3 3 时，等号成立， 3x1 x 2 3， 则 33x1 x32 3. 5当 a，bR 时，下列不等关系成立的是_(填序号) ab 2 ab；ab2 ab；a2b22ab；a2b22ab. 答案 解析 根据a 2b2 2 ab，ab 2 ab成立的条件判断，知错，只有正确 1知识清单： (1)基本不等式： abab 2 (a0，b0) (2)推论：当 a，bR 时，aba 2b2 2 . ab ab 2 2. 2方法归纳：通过凑项、拆项凑成基本不等式的形式 3常见误区：一正、二定、三相等，常缺少条件导致错误