1、2 2. .3.23.2 全称量词命题与存在量词命题的否定全称量词命题与存在量词命题的否定 学习目标 1.通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律.2.能正 确地对含有一个量词的命题进行否定 知识点 含量词的命题的否定 p 綈 p 结论 全称量词命题xM，p(x) xM，綈 p(x) 全称量词命题的否定是存在量词 命题 存在量词命题xM，p(x) xM，綈 p(x) 存在量词命题的否定是全称量词 命题 思考 1 用自然语言描述的全称量词命题的否定形式唯一吗？ 答案 不唯一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平 行四边形”，也可以是“有些菱形不是
2、平行四边形” 思考 2 对省略量词的命题怎样否定？ 答案 对于含有一个量词的命题，容易知道它是全称量词命题或存在量词命题一般地，省 略了量词的命题是全称量词命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定是存在量词命 题反之，亦然 1命题“xR，x211”的否定是全称量词命题( ) 2若命题綈 p 是存在量词命题，则命题 p 是全称量词命题( ) 3“xM，p(x)”与“xM，綈 p(x)”的真假性相反( ) 4“任意 xR，x20”的否定为“xR，x20”( ) 一、全称量词命题的否定 例 1 写出下列命题的否定 (1)所有分数都是有理数； (2)所有被 5 整除的整数都是奇数； (3)xR，x
3、22x10. 解 (1)该命题的否定：存在一个分数不是有理数 (2)该命题的否定：存在一个被 5 整除的整数不是奇数 (3)xR，x22x10. 反思感悟 全称量词命题否定的关注点 (1)全称量词命题 p：xM，p(x)，它的否定綈 p：xM，綈 p(x) (2)全称量词命题的否定是存在量词命题，对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后进行 否定 跟踪训练 1 写出下列全称量词命题的否定： (1)所有自然数的平方都是正数； (2)任何实数 x 都是方程 5x120 的根； (3)对任意实数 x，x210. 解 (1)綈 p：有些自然数的平方不是正数 (2)綈 p：存在实数 x 不是方程 5x1
4、20 的根 (3)綈 p：存在实数 x，使得 x210. 当 ab0 时，a2b20， 命题的否定是假命题 三、全称量词命题与存在量词命题的综合应用 例 3 已知命题 p：xR，不等式 x24x1m 恒成立求实数 m 的取值范围 解 令 yx24x1，xR，则 y(x2)255， 因为xR，不等式 x24x1m 恒成立， 所以只要 m5 即可 所以所求 m 的取值范围是m|mm 有解”，求实数 m 的取值 范围 解 令 yx24x1， 因为 yx24x1(x2)233， 又因为xR，x24x1m 有解， 所以只要 m 小于函数的最大值即可， 所以所求 m 的取值范围是m|mm 恒成立， 所以只
5、要 m4 即可 所以所求 m 的取值范围是m|my(或 aymax(或 ay(或 aymin(或 aymax) 跟踪训练 3 已知命题 p：xx|3x2，都有 xx|a4xa5，且綈 p 是假命 题，求实数 a 的取值范围 解 因为綈 p 是假命题，所以 p 是真命题， 又xx|3x2，都有 xx|a4xa5， 所以x|3x2x|a4xa5， 则 a43， a52， 解得3a1， 即实数 a 的取值范围是3a1. 1命题“xR，|x|x20”的否定是( ) AxR，|x|x20 BxR，|x|x20 CxR，|x|x20 DxR，|x|x20 答案 C 解析 此全称量词命题的否定为xR，|x|
6、x20,2x25x1”的否定是( ) Ax0,2x25x1 Bx0,2x25x1 Cx0,2x25x1 Dx0,2x25x1 答案 A 解析 存在量词命题的否定是全称量词命题 3命题“x0，)，2x2x0”的否定是( ) Ax0，)，2x2x0 Bx0，)，2x2x0 Cx0，)，2x2x0 Dx0，)，2x2x0 答案 C 解析 命题是全称量词命题， 则命题的否定是存在量词命题， 据此可得命题“x0， )， 2x2x0”的否定是“x0，)，2x2x1”的否定是( ) A对任意实数 x，都有 x1 B不存在实数 x，使 x1 C对任意实数 x，都有 x1 D存在实数 x，使 x1 答案 C 解
7、析 利用存在量词命题的否定是全称量词命题求解 “存在实数 x， 使 x1”的否定是“对 任意实数 x，都有 x1” 4(多选)关于命题 p：“xR，x210”的叙述，正确的是( ) A綈 p：xR，x210 B綈 p：xR，x210 Cp 是真命题，綈 p 是假命题 Dp 是假命题，綈 p 是真命题 答案 AC 解析 命题 p：“xR，x210”的否定是“xR，x210”所以 p 是真命题， 綈 p 是假命题 5(多选)对下列命题的否定说法正确的是( ) Ap：能被 2 整除的数是偶数；p 的否定：存在一个能被 2 整除的数不是偶数 Bp：有些矩形是正方形；p 的否定：所有的矩形都不是正方形
8、Cp：有的三角形为正三角形；p 的否定：所有的三角形不都是正三角形 Dp：nN,2n100；p 的否定：nN,2n100 答案 ABD 解析 “有的三角形为正三角形”为存在量词命题，其否定为全称量词命题“所有的三角形 都不是正三角形”，故选项 C 错误 6命题“任意一个 xR，都有 x22x40”的否定是_ 答案 存在一个 xR，使得 x22x40 解析 原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题，既要否定量词又要否定结论，所以 其否定为存在一个 xR，使得 x22x40. 7命题“x，yZ，使得 x2 2y”的否定是_ 答案 x，yZ，x2 2y 解析 存在量词命题的否定是全称量词命题 8
9、已知命题p： 存在xR， x22xa0.若命题綈p是假命题， 则实数a的取值范围是_ 答案 a|a1 解析 命题綈 p 是假命题， p 是真命题， 即存在 xR，x22xa0 为真命题， 44a0，a1. 9写出下列命题的否定 (1)有些四边形有外接圆； (2)末位数字为 9 的整数能被 3 整除； (3)xR，x210 恒成立， 綈 p 为假命题 (2)綈 p：x，yR，x2y22x4y50. x2y22x4y5(x1)2(y2)2， 当 x0，y0 时，x2y22x4y50 成立，綈 p 为真命题 11下列命题的否定是真命题的为( ) Ap1：每一个合数都是偶数 Bp2：两条平行线被第三条
10、直线所截内错角相等 Cp3：全等三角形的周长相等 Dp4：所有的无理数都是实数 答案 A 解析 若判断某命题的否定的真假，只要判断出原命题的真假即可，它们的真假性始终相 反 因为 p1为全称量词命题， 且是假命题， 所以綈 p1是真命题 命题 p2， p3， p4均为真命题， 即綈 p2，綈 p3，綈 p4均为假命题 12(多选)下列命题的否定是假命题的是( ) A等圆的面积相等，周长相等 BxN，x21 C任意两个等边三角形都是相似的 D3 是方程 x290 的一个根 答案 ACD 解析 A 的否定：存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等，假命题； B 的否定：xN，x21，真命题； C 的
11、否定：有些等边三角形不相似，假命题； D 的否定：3 不是方程 x290 的一个根，假命题 13已知命题 p：xx|1x3，xa0；若綈 p 是真命题，则实数 a 的取值范围是( ) Aa3 Ca3 Da3 答案 D 解析 綈 p 是真命题，所以xx|1x3，xa0 为真命题，所以当 1xx 恒成 立，所以 a3. 14已知命题：“xx|1x2，使 x22xa0”为真命题，则实数 a 的取值范围是 _ 答案 a8 解析 当 xx|1x2时， 因为 x22x(x1)21， 所以 3x22x8， 由题意有 a80，a8. 15命题“xR，nN*，使得 n2x1”的否定形式是( ) AxR，nN*，
12、使得 n2x1 BxR，nN*，使得 n2x1 CxR，nN*，使得 n2x1 DxR，nN*，使得 n2x1 答案 D 解析 由题意可知，全称量词命题“xR，nN*，使得 n2x1”的否定形式为存在 量词命题“xR，nN*，使得 n2x1” 16已知命题 p：1x3，都有 mx，命题 q：1x3，使 mx，若命题 p 为真命题， 綈 q 为假命题，求实数 m 的取值范围 解 由题意知命题 p，q 都是真命题 由1x3，都有 mx 都成立，只需 m 大于或等于 x 的最大值，即 m3. 由1x3，使 mx 成立，只需 m 大于或等于 x 的最小值，即 m1， 因为两者同时成立，故实数 m 的取值范围为m|m3m|m1m|m3