1、第第 2 2 课时课时 充要条件充要条件 学习目标 1.理解充要条件的意义.2.会判断一些简单的充要条件问题.3.能对充要条件进行 证明 知识点 充要条件 1一般地，如果 pq，且 qp，那么称 p 是 q 的充分且必要条件，简称为 p 是 q 的充要条 件，也称 q 的充要条件是 p. 2如果 p 是 q 的充要条件，就记作 pq，称为“p 与 q 等价”，或“p 等价于 q” 思考 “p 是 q 的充要条件”与“p 的充要条件是 q”的区别在哪里？ 答案 (1)p 是 q 的充要条件说明 p 是条件，q 是结论 (2)p 的充要条件是 q 说明 q 是条件，p 是结论 1“x1”是“x23
2、”的_条件 答案 充要 解析 当 x1 时，x23；当 x23 时，x1，所以“x1”是“x23”的充要条件 2“(2x1)x0”是“x0”的_条件 答案 必要不充分 解析 设命题 p：(2x1)x0，命题 q：x0，则命题 p：x0 或 x1 2，故 p 是 q 的必要不 充分条件 3ABC 是锐角三角形是ABC 为锐角的_条件 答案 充分不必要 4若 p 是 q 的充要条件，q 是 r 的充要条件，则 p 是 r 的_条件 答案 充要 解析 因为 pq，qr，所以 pr， 所以 p 是 r 的充要条件 一、充分、必要、充要条件的判断 例1 指出下列各组命题中， p是q的什么条件(“充分不必
3、要条件”“必要不充分条件”“充 要条件”“既不充分又不必要条件”) (1)p：x1，q：x1 x1； (2)p：1x5，q：x1 且 x5； (3)p：x2y，q：(x2)2y2； (4)p：a 是自然数；q：a 是正数 解 (1)当 x1 时，x1 x1成立； 当 x1 x1时，x1 或 x2. p 是 q 的充分不必要条件 (2)1x5x1 且 x5， p 是 q 的充要条件 (3)由 q：(x2)2y2， 得 x2y，且 x2y，又 p：x2y， 故 p 是 q 的必要不充分条件 (4)0 是自然数，但 0 不是正数，故 pq；又1 2是正数，但 1 2不是自然数，故 qp.故 p 是
4、q 的既 不充分又不必要条件 反思感悟 判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法 (1)定义法：直接判断“若 p，则 q”以及“若 q，则 p”的真假 (2)集合法：即利用集合的包含关系判断 (3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由 p1p2pn，可得 p1pn；充要条件 也有传递性 跟踪训练 1 指出下列各组命题中，p 是 q 的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条 件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”) (1)p：x20，q：x0； (2)p：a 能被 6 整除，q：a 能被 3 整除； (3)p：两个角不都是直角，q：两个角不相等； (4)p：ABA，q：UBUA.
5、解 (1)p：x20，则 x0 或 x0， 故 p 是 q 的必要不充分条件 (2)p：a 能被 6 整除，故也能被 3 和 2 整除，q：a 能被 3 整除， 故 p 是 q 的充分不必要条件 (3)p：两个角不都是直角，这两个角可以相等， q：两个角不相等，则这两个角一定不都是直角， 故 p 是 q 的必要不充分条件 (4)ABAABUBUA， p 是 q 的充要条件 二、充要条件的证明 例 2 设 a，b，c 为ABC 的三边，求证：方程 x22axb20 与 x22cxb20 有公共根 的充要条件是A90 . 证明 必要性：设方程 x22axb20 与 x22cxb20 有公共根 x0
6、， 则 x202ax0b20，x202cx0b20. 两式相减，得 x0 b2 ca， 将此式代入 x202ax0b20， 可得 b2c2a2，故A90 . 充分性：A90 ，b2a2c2. 将代入方程 x22axb20， 可得 x22axa2c20， 即(xac)(xac)0. 将代入方程 x22cxb20， 可得 x22cxc2a20， 即(xca)(xca)0. 故两方程有公共根 x(ac) 方程 x22axb20 与 x22cxb20 有公共根的充要条件是A90 . 反思感悟 充要条件证明的两个思路 (1)直接法：证明 p 是 q 的充要条件，首先要明确 p 是条件，q 是结论；其次推
7、证 pq 是证明 充分性，推证 qp 是证明必要性 (2)集合思想：记 p：Ax|p(x)，q：Bx|q(x)，若 AB，则 p 与 q 互为充要条件 跟踪训练 2 求证：一次函数 ykxb(k0)的图象过原点的充要条件是 b0. 证明 充分性：如果 b0，那么 ykx， 当 x0 时，y0，函数图象过原点 必要性：因为 ykxb(k0)的图象过原点， 所以当 x0 时，y0，得 0k 0b，所以 b0. 综上，一次函数 ykxb(k0)的图象过原点的充要条件是 b0. 三、充要条件的应用 例 3 已知 p：2x10，q：1mx1m(m0)，若 p 是 q 的必要不充分条件，求实数 m 的取值
8、范围 解 p：2x10，q：1mx1m(m0) 因为 p 是 q 的必要不充分条件， 所以 q 是 p 的充分不必要条件， 即x|1mx1mx|2x10， 故有 1m2， 1m2， 1m10， 解得 m3. 又 m0， 所以实数 m 的取值范围为m|00) 因为 p 是 q 的充分不必要条件， 设 p 代表的集合为 A，q 代表的集合为 B， 所以 AB. 所以 1m2， 1m10 或 1m9 或 m9， 所以 m9， 即实数 m 的取值范围是 m9. 2本例中 p，q 不变，是否存在实数 m 使 p 是 q 的充要条件？若存在，求出 m 的值；若不存 在，请说明理由 解 因为 p：2x10，
9、q：1mx1m(m0) 若 p 是 q 的充要条件，则 21m， 101m， m 不存在 故不存在实数 m，使得 p 是 q 的充要条件 反思感悟 应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤 (1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系 (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解 跟踪训练 3 已知当 a0 时， 设 p： 3axa， q： x4 或 x2.若 p 是 q 的充分不必要条件， 求实数 a 的取值范围 解 设 Ax|3axa，a0， Bx|x4 或 x2 因为 p 是 q 的充分不必要条件， 所以 AB，a4
10、 或 3a2， 即 a4 或 a2 3. 又a0，a4 或2 3a0， 即实数 a 的取值范围为 a4 或2 3a0”是“x0”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 答案 A 解析 由“x0”“x0”，反之不一定成立 因此“x0”是“x0”的充分不必要条件 2“x24x50”是“x5”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 答案 B 解析 由 x24x50 得 x5 或 x1， 则当 x5 时，x24x50 成立， 但当 x24x50 时，x5 不一定成立 3“ab”是“a b0 且 b0”是“ab0 且 a
11、b0”的_条件 答案 充要 解析 因为 a0，b0，所以 ab0，ab0， 所以充分性成立； 因为 ab0，所以 a 与 b 同号， 又 ab0，所以 a0 且 b0，所以必要性成立 故“a0 且 b0”是“ab0 且 ab0”的充要条件 5函数 yx2mx1 的图象关于直线 x1 对称的充要条件是_ 答案 m2 解析 函数 yx2mx1 的图象关于直线 x1 对称， 则m 21，即 m2； 反之，若 m2， 则 yx22x1 的图象关于直线 x1 对称 1知识清单： (1)充要条件概念的理解 (2)充要条件的证明 (3)充要条件的应用 2方法归纳：等价转化法 3常见误区：条件和结论辨别不清