1、1.31.3 交集交集、并集并集 学习目标 1.理解两个集合的并集与交集的含义 会求两个简单集合的并集和交集.2.能使用 Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用 知识点一 交集 1交集的概念 自然语言 一般地，由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素构成的集合，称为 A 与 B 的交 集，记作 AB(读作“A 交 B”) 符号语言 ABx|xA，且 xB 图形语言 2.交集的性质 性质 说明 ABBA 满足交换律 AAA 任何集合与其本身的交集等于这个集合本身 A 任何集合与空集的交集等于空集 (AB)A，(AB)B 两个集合的交集是其中任一集合的子集 知识点二
2、并集 1并集的概念 自然语言 一般地，由所有属于集合 A 或者属于集合 B 的元素构成的集合，称为集 合 A 与 B 的并集，记作 AB(读作“A 并 B”) 符号语言 ABx|xA，或 xB 图形语言 2.并集的性质 性质 说明 ABBA 满足交换律 AAA 任何集合与其本身的并集等于这个集合本身 AA 任何集合与空集的并集等于这个集合本身 A(AB)，B(AB) 任何集合都是该集合与另一个集合并集的子集 知识点三 集合的区间表示 为叙述方便， 在今后的学习中， 常常会用到区间的概念， 用区间表示集合如下表(其中 a， bR， 且 ab)： 定义 名称 符号 数轴表示 x|axb 闭区间 a
3、，b x|axb 开区间 (a，b) x|axb 左闭右开区间 a，b) x|aa (a，) x|xa (，a x|xa.( ) 一、交集的运算 例 1 (1)已知集合 A1,2,3,4，By|y3x2，xA，则 AB 等于( ) A1 B4 C1,3 D1,4 答案 D 解析 因为集合 B 中，xA， 所以当 x1 时，y321； 当 x2 时，y3224； 当 x3 时，y3327； 当 x4 时，y34210. 即 B1,4,7,10 又因为 A1,2,3,4，所以 AB1,4 (2)设集合 Ax|1x2，Bx|0 x4，则 AB 等于( ) Ax|0 x2 Bx|1x2 Cx|0 x4
4、 Dx|1x4 答案 A 解析 在数轴上表示出集合 A 与 B，如图所示 则由交集的定义，知 ABx|0 x2 反思感悟 交集运算的注意点 (1)求集合交集的运算类似于并集的运算，其方法为定义法，数形结合法 (2)若 A，B 是无限连续的数集，多利用数轴来求解但要注意，利用数轴表示不等式时，含 有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示 跟踪训练 1 若 AxN|1x10，BxR|x2x60，则图中阴影部分表示的集合 为( ) A2 B3 C3,2 D2,3 答案 A 解析 易知 A1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，B3,2，图中阴影部分表示的集合为 AB2 二、并集的运算 例
5、2 (1)设集合 A1,0，2，Bx|x2x60，则 AB 等于( ) A2 B2,3 C1,0，2 D1,0，2,3 答案 D 解析 因为 A1,0，2，Bx|x2x602,3， 所以 AB1,0，2,3 (2)若集合 Ax|x1，Bx|2x2 Bx|x1 Cx|2x1 Dx|1x2 反思感悟 并集的运算技巧 (1)若集合中元素个数有限，则直接根据并集的定义求解，但要注意集合中元素的互异性 (2)若集合中元素个数无限，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意是否去掉端点值 跟踪训练 2 已知集合 M0,1,3，Nx|x3a，aM，则 MN 等于( ) A0 B0,3 C1,3,9 D0,1,
6、3,9 答案 D 解析 易知 N0,3,9，故 MN0,1,3,9 三、并集、交集性质的应用 例 3 已知集合 Ax|32k1，k2. 当 B，则根据题意如图所示： 根据数轴可得 k12k1， 3k1， 2k14， 解得 2k5 2. 综合可得 k 的取值范围是 k k5 2 . 延伸探究 把本例中的条件“ABA”换为“ABA”，求 k 的取值范围 解 ABA，AB. 又Ax|3x4，Bx|k1x2k1， 可知 B. 由数轴(如图所示)可知 k13， 2k14， 解得 k， 即当 ABA 时，k 的取值范围为. 反思感悟 利用集合交集、并集的性质解题的技巧 (1)在进行集合运算时，若条件中出现
7、 ABA 或 ABB，应转化为 AB，然后用集合间 的关系解决问题，并注意 A的情况 (2)集合运算常用的性质： ABBAB；ABAAB；ABABAB. 跟踪训练 3 (1)Ax|x1 或 x3，Bx|ax4，若 ABR，则实数 a 的取值范围是 ( ) A3a4 B1a4 Ca1 Da1 答案 C 解析 利用数轴，若 ABR，则 a1. (2)设集合 Mx|2x5，Nx|2tx2t1，tR若 MNN，则实数 t 的取值范 围为_ 答案 t|t2 解析 由 MNN，得 NM. 故当 N，即 2t12t，t1 3时，MNN 成立； 当 N时，由图得 2t2t1， 2t15， 2t2， 解得1 3
8、t2. 综上可知，所求实数 t 的取值范围为t|t2 交集、并集与补集的运算 典例 (1)已知全集 U1,2,3,4,5,6,7,8， 集合 A1,2,3,4， B3,4,5,6， 试写出UA， UB， AB，AB， U(AB)，U(AB)，(UA)(UB)，(UA)(UB) 解 UA5,6,7,8，UB1,2,7,8， AB3,4，AB1,2,3,4,5,6， U(AB)1,2,5,6,7,8，U(AB)7,8 (UA)(UB)7,8，(UA)(UB)1,2,5,6,7,8 (2)设全集 UR，集合 Ax|1x3，Bx|2x4，求(UA)(UB)，(UA)(UB) 解 由题意知 ABx|2x
9、3，ABx|1x4 U(AB)x|x3，U(AB)x|x4 (UA)(UB)U(AB)x|x4， (UA)(UB)U(AB)x|x3 素养提升 1.(1)若集合是用列举法给出有限集的交、并、补运算，要理解交、并、补集的 含义；若集合是用描述法表示，进行运算时利用数轴 (2)结论：U(AB)(UA)(UB)； U(AB)(UA)(UB) 2集合中的交集、并集与补集的运算，要注意 Venn 图、数轴以及一些结论的应用，培养数 学运算的核心素养 1将集合 Ax|1x3用区间表示正确的是( ) A(1,3) B(1,3 C1,3) D1,3 答案 B 解析 集合 A 为左开右闭区间，可表示为(1,3
10、2(多选)满足1B1,2的集合 B 可能等于( ) A2 B1 C1,2 D1,2,3 答案 AC 解析 1B1,2，B 可能为2或1,2 3已知集合 Ma,0，N xZ 0x5 2 ，如果 MN，则 a 等于( ) A1 B2 C1 或 2 D.5 2 答案 C 解析 N xZ 0x5 2 1,2， 又Ma,0，MN，a1 或 a2. 4已知集合 M1,0,1，N0,1,2，则 MN_. 答案 1,0,1,2 解析 MN 表示属于 M 或属于 N 的元素构成的集合，故 MN1,0,1,2 5若集合 Ax|1x5，Bx|x1 或 x4，则 AB_，AB_. 答案 R x|4x5 解析 借助数轴可知 ABR，ABx|4x5 1知识清单： (1)并集、交集的概念及运算 (2)并集、交集运算的性质 (3)求参数值或范围 2方法归纳：数形结合、分类讨论 3常见误区：由交集、并集的关系求解参数时漏掉对集合为空集的讨论