1、2.22.2 充分条件、必要条件、充要条件充分条件、必要条件、充要条件 第第 1 1 课时课时 充分条件充分条件、必要条件必要条件 学习目标 1.理解充分条件、必要条件的概念.2.了解充分条件与判定定理，必要条件与性质 定理的关系.3.能通过充分性、必要性解决简单的问题 知识点 充分条件与必要条件 “若 p，则 q”为真命题 “若 p，则 q”为假命题 推出关系 pq pq 条件关系 p 是 q 的充分条件 q 是 p 的必要条件 p 不是 q 的充分条件 q 不是 p 的必要条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 思考 1 若 p
2、是 q 的充分条件，这样的条件 p 唯一吗？ 答案 不唯一 例如“x1”是“x0”的充分条件， p 可以是“x2”“x3”或“2x2，q：x4. 解 (1)由于 QR，所以 pq，所以 p 是 q 的充分条件 (2)由 x1(x1)(x2)0，故 p 是 q 的充分条件 (3)方法一 由 x2x4，所以 p 不是 q 的充分条件 方法二 设集合 Ax|x2，Bx|x4， 所以 BA，所以 p 不是 q 的充分条件 反思感悟 充分条件的判断方法 (1)判定 p 是 q 的充分条件要先分清什么是 p，什么是 q，即转化成 pq 问题 (2)除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若 p
3、对应的集合为 A，q 对应的 集合为 B，AB，则 p 是 q 的充分条件 跟踪训练 1 “x2”是“x24”的_条件 答案 充分 解析 x2x24，故 x2 是 x24 的充分条件 二、必要条件的判断 例 2 指出下列哪些命题中 q 是 p 的必要条件？ (1)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； (2)p：AB，q：ABA； (3)p：2x5，q：1x5. 解 (1)因为矩形的对角线相等，所以 q 是 p 的必要条件 (2)因为 pq， 所以 q 是 p 的必要条件 (3)因为 pq， 所以 q 不是 p 的必要条件 反思感悟 必要条件的判断方法 (1)判断 p 是 q 的什么条
4、件，主要判断若 p 成立时，能否推出 q 成立，反过来，若 q 成立时， 能否推出 p 成立； 若 pq 为真， 则 p 是 q 的充分条件， 若 qp 为真， 则 p 是 q 的必要条件 (2)也可利用集合的关系判断，如条件甲“xA”，条件乙“xB”，若 AB，则甲是乙的 必要条件 跟踪训练 2 指出下列哪些命题中 q 是 p 的必要条件？ (1)在ABC 中，p：B 与C 互余，q：ABC 为直角三角形； (2)p：|x|2，q：x2. 解 (1)因为BC90 ，所以A90 ， 所以ABC 为直角三角形，所以 pq， 所以 q 是 p 的必要条件 (2)因为当|x|2 时，x2 或 x2，
5、所以 pq， 所以 q 不是 p 的必要条件 三、充分条件与必要条件的应用 例 3 已知 p：实数 x 满足 3axa，其中 a0；q：实数 x 满足2x3.若 p 是 q 的充分条 件，求实数 a 的取值范围 解 p：3axa，即集合 Ax|3axa，a0 q：2x3，即集合 Bx|2x3 因为 pq，所以 AB， 所以 3a2， a3， a0 2 3a0， 所以 a 的取值范围是2 3a0. 延伸探究 将本例中条件 p 改为“实数 x 满足 ax0”，若 p 是 q 的必要条件，求实数 a 的 取值范围 解 p：ax3a，即集合 Ax|ax0 q：2x3，即集合 Bx|2x3 因为 qp，
6、所以 BA， 所以 3a3， a0 a. 反思感悟 充分条件与必要条件的应用技巧 (1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题 (2)求解步骤：先把 p，q 等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关 于参数的不等式(组)进行求解 跟踪训练 3 已知 Px|a4xa4，Qx|1x4 成立的一个充分条件是( ) Ax5 Bx6 Cx3 Dx5x4，x6x4，其他选项均不可推出 x4. 4已知命题 p：a 是末位是 0 的整数，q：a 能被 5 整除，则 p 是 q 的_条件；q 是 p 的_条件 答案 充分 必要 解析 因为 pq，所以 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件 5若“x1”是“xa”的充分条件，则 a 的取值范围是_ 答案 a1 解析 因为 x1xa，所以 a1. 1知识清单： (1)充分条件、必要条件的概念 (2)充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系 (3)充分条件、必要条件的判断 (4)充分条件与必要条件的应用 2方法归纳：等价转化 3常见误区：充分条件、必要条件不唯一；求参数范围能否取到端点值