1、第第 2 2 课时课时 集合的表示集合的表示 学习目标 1.初步掌握集合的两种表示方法列举法、描述法，感受集合语言的意义和作 用.2.会用集合的两种表示方法表示一些简单集合.3.理解集合相等、有限集、无限集、空集等 概念 知识点一 集合的表示法 1列举法：将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“ ”内，元素之间用逗号分隔， 这样表示集合的方法称为列举法 2描述法：将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来，写成x|p(x)的形式，这 样表示集合的方法称为描述法 思考 (1)不等式 x23 的解集中的元素有什么共同特征？ (2)如何用描述法表示不等式 x23 的解集？ 答案 (1)元素的
2、共同特征为 xR，且 x5. (2)xR|x23，即xR|x5 知识点二 集合相等 如果两个集合所含的元素完全相同(即 A 中的元素都是 B 的元素，B 中的元素也都是 A 的元 素)，那么称这两个集合相等 知识点三 集合的分类 按照集合元素的多少，集合可以分为有限集和无限集 (1)含有有限个元素的集合叫作有限集 (2)含有无限个元素的集合叫作无限集 (3)不含任何元素的集合叫作空集，记作. 1方程 x24 的解集用列举法表示为_ 答案 2,2 解析 由 x24 得 x 2， 故用列举法可表示为2,2 2设 AxN|1x6，用“”或“”填空： 6_A；5_A；0_A；3_A. 答案 3在集合a
3、,3中，实数 a_3.(填“”或“”) 答案 解析 由集合中元素的互异性可知填. 40_(填“”或“”或“”) 答案 一、用列举法表示集合 例 1 用列举法表示下列给定的集合： (1)不大于 10 的非负偶数组成的集合 A； (2)小于 8 的质数组成的集合 B； (3)方程 x22x30 的实数根组成的集合 C； (4)方程组 xy4， xy2 的解集 D. 解 (1)不大于 10 的非负偶数有 0,2,4,6,8,10， 所以 A0,2,4,6,8,10 (2)小于 8 的质数有 2,3,5,7， 所以 B2,3,5,7 (3)方程 x22x30 的实数根为1,3， 所以 C1,3 (4)
4、方程组 xy4， xy2 的解为 x3， y1. 所以方程组的解集 D(3,1) 反思感悟 用列举法表示集合的 3 个步骤 (1)求出集合的元素 (2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次 (3)用花括号括起来 注意：二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的 形式，元素与元素之间用“，”隔开如(2,3)，(5，1) 跟踪训练 1 用列举法表示下列集合 (1)由所有小于 10 的既是奇数又是质数的自然数组成的集合； (2)A(x，y)|xy3，xN，yN 解 (1)满足条件的数有 3,5,7， 所以所求集合为3,5,7 (2)因为 xN，yN，xy3， 所
5、以 x0， y3 或 x1， y2 或 x2， y1 或 x3， y0. 故 A(0,3)，(1,2)，(2,1)，(3,0) 二、用描述法表示集合 例 2 用描述法表示下列集合： (1)不等式 2x31 的解组成的集合 A； (2)被 3 除余 2 的正整数的集合 B； (3)C2,4,6,8,10； (4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合 D. 解 (1)不等式 2x31 的解组成的集合为 A，则集合 A 中的元素是数，设代表元素为 x，则 x 满足 2x31，则 Ax|2x31，即 Ax|x2 (2)设被 3 除余 2 的数为 x，则 x3n2，nZ.但元素为正整数，故 x3n2
6、，nN.所以被 3 除余 2 的正整数的集合 Bx|x3n2，nN (3)设偶数为 x，则 x2n，nZ.但元素是 2,4,6,8,10，所以 x2n，n5，nN*.所以 Cx|x 2n，n5，nN* (4)平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即 x0，故第二象限 内的点的集合为 D(x，y)|x0 反思感悟 利用描述法表示集合的关注点 (1)写清楚该集合代表元素的符号例如，集合xR|x1不能写成x1 (2)所有描述的内容都要写在花括号内例如，xZ|x2k，kZ，这种表达方式就不符合 要求，需将 kZ 也写进花括号内，即xZ|x2k，kZ (3)不能出现未被说明的字母 (4
7、)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写例如，方程 x2 2x10 的实数解集可表示为xR|x22x10，也可写成x|x22x10 跟踪训练 2 用描述法表示下列集合： (1)比 1 大又比 10 小的实数组成的集合； (2)不等式 3x42x 的所有解； (3)到两坐标轴距离相等的点的集合 解 (1)可以表示成xR|1x10 (2)可以表示成x|3x42x，即x|x4 (3)可以表示成(x，y)|x y0 三、集合表示法的综合应用 例 3 已知集合 Ax|ax22x10，aR，若 A 中只有一个元素，求 a 的值 解 当 a0 时，原方程变为 2x10，此时 x1
8、2，符合题意； 当 a0 时，方程 ax22x10 为一元二次方程， 当 44a0，即 a1 时，原方程的解为 x1，符合题意 故当 a0 或 a1 时，原方程只有一个解，此时 A 中只有一个元素 延伸探究 1在本例条件下，若 A 中至多有一个元素，求 a 的取值范围 解 A 中至多有一个元素，即 A 中有一个元素或没有元素 当 A 中只有一个元素时，由例题可知，a0 或 a1. 当 A 中没有元素时，44a1. 故当 A 中至多有一个元素时，a 的取值范围为a|a0 或 a1 2在本例条件下，若 A 中至少有一个元素，求 a 的取值范围 解 A 中至少有一个元素，即 A 中有一个或两个元素
9、由例题可知，当 a0 或 a1 时，A 中有一个元素； 当 A 中有两个元素时，44a0，且 a0， 即 a1 且 a0. A 中至少有一个元素时，a 的取值范围为a|a1 3在本例条件下，若 1A，则 a 为何值？ 解 1A，a210，即 a3. 4在本例条件下，是否存在实数 a，使集合 A 与集合1相等？若存在，求出 a 的值；若不 存在，说明理由 解 A1，1A，a210，即 a3. 又当 a3 时，由3x22x10， 得 x1 3或 x1， 即方程 ax22x10 存在两个根1 3和 1， 此时 A 1 3，1 ，与 A1矛盾 故不存在实数 a，使 A1 反思感悟 根据已知的集合求参数
10、的关注点 (1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键 (2)a0 这种情况极易被忽视，对于方程“ax22x10”有两种情况：一是 a0，即它是 一元一次方程；二是 a0，即它是一元二次方程，也只有在这种情况下，才能用判别式 来 解决问题 跟踪训练 3 已知集合 Aa3，(a1)2，a22a2，若 1A，求实数 a 的值 解 若 a31，则 a2， 此时(a1)21，不符合集合中元素的互异性，舍去 若(a1)21，则 a0 或 a2. 当 a0 时，A3,1,2，满足题意； 当 a2 时，由知不符合条件，故舍去 若 a22a21，则 a1， 此时 A2,0,1，满足
11、题意 综上所述，实数 a 的值为1 或 0. 四、集合相等 例 4 设集合 Ax，y，B0，x2，若 A，B 相等，则实数 x 的值为_，y 的值为 _ 答案 1 0 解析 因为集合 A，B 相等，则 x0 或 y0. 当 x0 时，x20，不满足集合中元素的互异性，故舍去； 当 y0 时，xx2，解得 x0 或 x1，由知 x0 应舍去，故 x1. 综上可知，x1，y0. 反思感悟 解决与集合相等有关的问题时，要充分利用集合中元素的特性一方面，我们要 利用集合中元素的确定性找到解题的“突破口”；另一方面，解决问题的同时，应注意检验 元素是否满足互异性 跟踪训练 4 设 a，bR，集合1，ab
12、，a 0，b a，b ，则 ba_. 答案 2 解析 由题意可知 a0，则 ab0，b a1， a1，b1，ba2. 1集合xN*|x32的另一种表示法是( ) A0,1,2,3,4 B1,2,3,4 C0,1,2,3,4,5 D1,2,3,4,5 答案 B 解析 x32，xN*，x5，xN*， x1,2,3,4. 2用描述法表示函数 y3x1 图象上的所有点的是( ) Ax|y3x1 By|y3x1 C(x，y)|y3x1 Dy3x1 答案 C 解析 该集合是点集，故可表示为(x，y)|y3x1 3大于2 小于 3 的整数用列举法表示为_；用描述法表示为_ 答案 1,0,1,2 xZ|2x3
13、 解析 大于2 小于 3 的整数为1,0,1,2，所以用列举法表示为1,0,1,2，用描述法表示为 xZ|2x3 4设集合 Ax|x23xa0，若 4A，用列举法表示集合 A 为_ 答案 1,4 解析 4A，1612a0， a4， Ax|x23x401,4 5设 a，bR，集合 A1，a，Bx|x(xa)(xb)0，若 AB，则 a_，b _. 答案 0 1 解析 A1，a，解方程 x(xa)(xb)0， 得 x0 或 a 或 b，若 AB， 则 a0，b1. 1知识清单： (1)用列举法和描述法表示集合 (2)两种表示法的综合应用 (3)集合相等的概念 2方法归纳：等价转化、分类讨论 3常见误区：点集与数集的区别