1、1.11.1 集合的概念与表示集合的概念与表示 第第 1 1 课时课时 集合的概念集合的概念 学习目标 1.通过实例了解集合的含义.2.理解集合中元素的特征.3.体会元素与集合的“属 于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用 知识点一 元素与集合的概念 1集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合，通常用大写的 拉丁字母来表示集合 2元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素简称元通常用小写的拉丁字母来表示 思考 某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？某班身高高于 175 厘米的男生能否构成一个 集合？集合元素是确定的含义是什么？ 答案 某班所有的“帅哥”不能构成集合，因“帅
2、哥”无明确的标准高于 175 厘米的男生 能构成一个集合，因为标准确定元素确定性的含义：集合中的元素必须是确定的，也就是 说，给定一个集合，那么任何一个元素在或不在这个集合中就确定了 知识点二 元素与集合的关系 知识点 关系 概念 记法 读法 元素与集 合的关系 属于 如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集合 A aA “a 属于 A” 不属于 如果 a 不是集合 A 的元素， 就说 a 不属于集合 A aA 或 a A “a 不属于 A” 思考 设集合 A 表示“110 以内的所有素数”， 3,4 这两个元素与集合 A 有什么关系？如何 用数学语言表示？ 答案 3 是集合 A 中的元
3、素，即 3 属于集合 A，记作 3A；4 不是集合 A 中的元素，即 4 不 属于集合 A，记作 4A. 知识点三 常用数集及表示符号 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或 N Z Q R 1接近于 0 的数可以组成集合( ) 2参加我市新冠疫情防控的志愿者可以组成集合( ) 3一个集合中可以找到两个相同的元素( ) 4由方程 x240 和 x20 的根组成的集合中有 3 个元素( ) 一、对集合概念的理解 例 1 (1)下列对象能组成集合的是( ) A. 2的所有近似值 B某个班级中学习好的所有同学 C2020 年高考数学试卷中所有难题 D钟南山实验室的全体工
4、作人员 答案 D 解析 D 中的对象都是确定的，而且是不同的A 中的“近似值”，B 中的“学习好”，C 中的“难题”标准不明确，不满足确定性，因此 A，B，C 都不能构成集合 (2)下列说法中，正确的有_(填序号) 单词 good 的所有字母组成的集合的元素共有 4 个； 集合 M 中有 3 个元素 a，b，c，其中 a，b，c 是ABC 的三边长，则ABC 不可能是等腰 三角形； 将小于 10 的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到不同的两个 集合 答案 解析 不正确good 的字母 o 有重复，共有 3 个不同字母，元素个数是 3. 正确. 集合 M 中有 3 个元素
5、a，b，c，所以 a，b，c 都不相等，它们构成的三角形三边不 相等，故不可能是等腰三角形 不正确. 小于 10 的自然数不管按哪种顺序排列，里面的元素都是 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 这 10 个 数，集合是相同的，和元素的排列顺序无关 反思感悟 判断一组对象是否能构成集合的三个依据 (1)确定性：负责判断这组元素是否能构成集合 (2)互异性：负责判断构成集合的元素的个数 (3)无序性：表示只要一个集合的元素确定，则这个集合也随之确定，与元素之间的排列顺序 无关 跟踪训练 1 (多选)下列说法正确的有( ) A花坛上色彩艳丽的花朵构成一个集合 B正方体的全体构成一个集合 C未来世
6、界的高科技产品构成一个集合 D不大于 3 的所有自然数构成一个集合 答案 BD 解析 在 A 中，花坛上色彩艳丽的花朵不能构成一个集合，故 A 错误；在 B 中，正方体的 全体能构成一个集合，故 B 正确；在 C 中，未来世界的高科技产品不能构成一个集合，故 C 错误；在 D 中，不大于 3 的所有自然数能构成一个集合，故 D 正确 二、元素与集合的关系 例 2 (1)设集合 M 是由不小于 2 5的数组成的集合，a 15，则下列关系中正确的是( ) AaM BaM CaM DaM 答案 B 解析 15 11，2 3B；(1 2)232 232411， 1 2 11，1 2B. (2)n 是正
7、整数，n213，3C；当 n2 时，n215，5C. (3)集合 D 中的元素是有序实数对(x， y)， 且1 是数， 1D； 又(1)21， (1,1)D. 三、元素特性的应用 例 3 已知集合 A 是由 a2,2a25a,12 三个元素组成的，且3A，求实数 a. 解 由3A，可得3a2 或32a25a， a1 或 a3 2. 当 a1 时，a23,2a25a3，不符合集合中元素的互异性，故 a1 应舍去 当 a3 2时，a2 7 2，2a 25a3，符合集合中元素的互异性，a3 2. 延伸探究 在本例中，若集合 A 中的三个元素换为 a3,2a1，a24，其余不变，求实数 a 的值 解
8、若 a33，则 a0， 此时 A 中的元素为3，1，4，满足题意 若 2a13，则 a1， 此时 A 中的元素为4，3，3，不满足元素的互异性 若 a243，则 a 1. 当 a1 时，A 中的元素为2,1，3，满足题意； 当 a1 时，由知不合题意 综上可知 a0 或 a1. 反思感悟 利用集合中元素的确定性、互异性求参数的策略及注意点 (1)策略：根据集合中元素的确定性，可以解出参数的所有可能值，再根据集合中元素的互异 性对求得的参数值进行检验 (2)注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用 跟踪训练 3 设集合 A 中含有三个元素 3，x，x22x. (1)求实数
9、x 应满足的条件； (2)若2A，求实数 x 的值 解 (1)由集合中元素的互异性可知，x3， 且 xx22x，x22x3. 解得 x1 且 x0，x3. (2)2A，x2 或 x22x2. 由于 x22x(x1)211，x2. 1下列各组对象能构成集合的有( ) 接近于 1 的所有正整数；小于 0 的实数；(2 020,1)与(1,2 020) A1 组 B2 组 C3 组 D0 组 答案 B 解析 中接近于 1 的所有正整数标准不明确，故不能构成集合；中“小于 0”是一个明 确的标准， 能构成集合； 中(2 020,1)与(1,2 020)是两个不同的数对， 是确定的， 能构成集合 2(多
10、选)下列说法正确的是( ) A1N B5Z CQ D 3R 答案 ABD 解析 因为 是无理数，所以 Q，故选 ABD. 3已知集合 A 中的元素 x 满足 x1 3，3A. 又314 3，3A. 4以方程 x25x60 和方程 x2x20 的根为元素的集合中共有_个元素 答案 3 解析 方程 x25x60 的根是 2,3，方程 x2x20 的根是1,2.根据集合中元素的互异 性知，以两方程的根为元素的集合中共有 3 个元素 5设集合 A 是由 1，k2为元素构成的集合，则实数 k 的取值范围是_ 答案 k 1 解析 1A，k2A，结合集合中元素的互异性可知 k21，解得 k 1. 1知识清单： (1)元素与集合的概念、元素与集合的关系 (2)常用数集的表示 (3)集合中元素的特性及应用 2方法归纳：分类讨论 3常见误区：忽视集合中元素的互异性