1、2020-2021 学年河南省焦作十七中九年级（上）月考数学试卷学年河南省焦作十七中九年级（上）月考数学试卷 一选择题（共一选择题（共 10 小题，共小题，共 30 分）分） 1 （3 分）用配方法解一元二次方程 2x23x10，配方正确的是（ ） A （x）2 B （x）2 C （x）2 D （x）2 2 （3 分）下列说法不正确的是（ ） A一组同旁内角相等的平行四边形是矩形 B一组邻边相等的菱形是正方形 C有三个角是直角的四边形是矩形 D对角线相等的菱形是正方形 3 （3 分）若关于 x 的一元二次方程 x22x+kb+10 有两个不相等的实数根，则一次函数 y kx+b 的大致图象可能
2、是（ ） A B C D 4 （3 分）如图，在菱形 ABCD 中，CEAB 于点 E，E 点恰好为 AB 的中点，则菱形 ABCD 的较大内角度数为（ ） A100 B120 C135 D150 5 （3 分）某市 “菜篮子工程”蔬菜基地 2018 年产量为 100 吨， 预计到 2020 年产量可达 121 吨设该基地蔬菜产量的年平均增长率为 x，则可列方程为（ ） A100（1+x）2121 B121（1x）2100 C100（1+2x）121 D100（1+x2）121 6 （3 分）如图，在菱形 ABCD 中，A60，点 E、F 分别为 AD、DC 上的动点，EBF 60，点 E 从
3、点 A 向点 D 运动的过程中，AE+CF 的长度（ ） A逐渐增加 B逐渐减小 C保持不变且与 EF 的长度相等 D保持不变且与 AB 的长度相等 7 （3 分）四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，能判定它是矩形的是（ ） AAOCO，BOOD BABBC，AOCO CAOCO，BODO，ACDB DAOCOBODO 8 （3 分）如图，平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，下列条件： （1）1+ DBC90； （2）OAOB； （3）12，其中能判定平行四边形 ABCD 是菱形的 条件有（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 9 （3 分）如
4、图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，AB6，BC8，过点 O 作 OE AC，交 AD 于点 E，过点 E 作 EFBD，垂足为 F，则 OE+EF 的值为（ ） A B C D 10 （3 分）如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，AG 平分BAC 交 BD 于 G， DEAG 于点 H 下列结论： AD2AE： FDAG； CFCD： 四边形 FGEA 是菱形；OFBE，正确的有（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 二填空题（共二填空题（共 5 小题，共小题，共 15 分）分） 11 （3 分）一元二次方程 x25x 的根 12 （3 分
5、）如图，四边形 ABCD 是菱形，AC24，BD10，DHAB 于点 H，则线段 DH 的长为 13 （3 分）若关于 x 的方程（k1）x2+4x+10 有实数解，则 k 的取值范围是 14 （3 分）如图，在边长为 2的正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是边 AB，BC 的中点， 连接 EC，FD，点 G，H 分别是 EC，FD 的中点，连接 GH，则 GH 的长度为 15 （3 分）如图，正方形 ABCD 的边长是 16，点 E 在边 AB 上，AE3，点 F 是边 BC 上 不与点 B，C 重合的一个动点，把EBF 沿 EF 折叠，点 B 落在 B处若CDB恰为 等腰三角形，则 D
6、B的长为 三解答题（共三解答题（共 8 小题，共小题，共 75 分）分） 16 （16 分）用恰当的方法解下列方程： （1）x2+4x20； （2）4x2250； （3） （2x+1）2+4（2x+1）+40； （4） （x1） （x3）8 17 （8 分）如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，对角线 BD 的垂直平分线与边 AD、BC 分 别相交于点 M、N （1）求证：四边形 BNDM 是菱形； （2）若 BD24，MN10，求菱形 BNDM 的周长 18 （8 分）关于 x 的一元二次方程23+0 有实数根 （1）求 k 的取值范围； （2）如果 k 是符合条件的最大整数，且一元二次方
7、程（1）2+30 与方程 23+0 有一个相同的根，求此时 m 的值 19 （8 分）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，过点 A 作 AEBC 于点 E， 延长 BC 至 F，使 CFBE，连接 DF （1）求证：四边形 AEFD 是矩形； （2）若 AC10，ABC60，则矩形 AEFD 的面积是 20 （8 分）某旅行社的一则广告如下： 甲公司想分批组织员工到延安红色旅游学习 （1）如果第一批组织 40 人去学习，则公司应向旅行社交费 元； （2）如果公司计划用 29250 元组织第一批员工去学习，问这次旅游学习应安排多少人参 加？ 21 （8 分）如图，在菱形
8、ABCD 中，AB3，DAB60，点 E 是 AD 边的中点，点 M 是 AB 边上一动点（不与点 A 重合） ，延长 ME 交射线 CD 于点 N，连接 MD，AN （1）求证：四边形 AMDN 是平行四边形； （2）填空：当 AM 的值为 时，四边形 AMDN 是矩形； 当 AM 的值为 时，四边形 AMDN 是菱形 22 （8 分）阅读探究： “任意给定一个矩形 A，是否存在另一个矩形 B，它的周长和面积分 别是已知矩形周长和面积的一半？” （完成下列空格） （1）当已知矩形 A 的边长分别为 6 和 1 时，小亮同学是这样研究的： 设所求矩形的两边分别是 x 和 y，由题意得方程组 ，
9、消去 y 化简得：2x27x+6 0， b24ac49480，x1 ，x2 ， 满足要求的矩形 B 存在 （2）如果已知矩形 A 的边长分别为 2 和 1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求 的矩形 B （3）如果矩形 A 的边长为 m 和 n，请你研究满足什么条件时，矩形 B 存在？ 23 （11 分）四边形 ABCD 是正方形，BEF 是等腰直角三角形，BEF90，BEEF， 连接 DF，G 为 DF 的中点，连接 EG，CG，EC （1）问题发现 如图 1，若点 E 在 CB 的延长线上，直接写出 EG 与 GC 的位置关系及的值； （2）操作探究 将图 1 中的BEF 绕点 B 顺
10、时针旋转至图 2 所示位置，请问（1）中所得的结论是否仍然 成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）解决问题 将图 1 中的BEF 绕点 B 顺时针旋转，若 BE1，AB，当 E，F，D 三点共线时， 请直接写出 CE 的长 2020-2021 学年河南省焦作十七中九年级（上）月考数学试卷（学年河南省焦作十七中九年级（上）月考数学试卷（9 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题，共小题，共 30 分）分） 1 （3 分）用配方法解一元二次方程 2x23x10，配方正确的是（ ） A （x）2 B （x）2 C （x）2 D
11、（x）2 【分析】化二次项系数为 1 后，把常数项右移，应该在左右两边同时加上一次项系 数的一半的平方 【解答】解：由原方程，得 x2x， x2x+， （x）2， 故选：A 2 （3 分）下列说法不正确的是（ ） A一组同旁内角相等的平行四边形是矩形 B一组邻边相等的菱形是正方形 C有三个角是直角的四边形是矩形 D对角线相等的菱形是正方形 【分析】利用正方形的判定、平行四边形的性质，菱形的性质，矩形的判定分别判断后 即可确定正确的选项 【解答】解：A、一组同旁内角相等的平行四边形是矩形，正确； B、一组邻边相等的菱形是正方形，错误； C、有三个角是直角的四边形是矩形，正确； D、对角线相等的菱
12、形是正方形，正确 故选：B 3 （3 分）若关于 x 的一元二次方程 x22x+kb+10 有两个不相等的实数根，则一次函数 y kx+b 的大致图象可能是（ ） A B C D 【分析】根据一元二次方程 x22x+kb+10 有两个不相等的实数根，得到根的判别式大 于 0，求出 kb 的符号，对各个图象进行判断即可 【解答】解：x22x+kb+10 有两个不相等的实数根， 44（kb+1）0， 解得 kb0， Ak0，b0，即 kb0，故 A 不正确； Bk0，b0，即 kb0，故 B 正确； Ck0，b0，即 kb0，故 C 不正确； Dk0，b0，即 kb0，故 D 不正确 故选：B 4
13、 （3 分）如图，在菱形 ABCD 中，CEAB 于点 E，E 点恰好为 AB 的中点，则菱形 ABCD 的较大内角度数为（ ） A100 B120 C135 D150 【分析】连接 AC，证明ABC 是等边三角形，得出B60，则D60，BAD BCD120，即可得出答案 【解答】解：连接 AC，如图： 四边形 ABCD 是菱形， ABBC，BADBCD，BD，ADBC， BAD+B180， CEAB，点 E 是 AB 中点， BCACAB， ABC 是等边三角形， B60， D60，BADBCD120； 即菱形 ABCD 的较大内角度数为 120； 故选：B 5 （3 分）某市 “菜篮子工程
14、”蔬菜基地 2018 年产量为 100 吨， 预计到 2020 年产量可达 121 吨设该基地蔬菜产量的年平均增长率为 x，则可列方程为（ ） A100（1+x）2121 B121（1x）2100 C100（1+2x）121 D100（1+x2）121 【分析】利用增长后的量增长前的量（1+增长率） ，设平均每次增长的百分率为 x， 根据“从 100 吨增加到 121 吨” ，即可得出方程 【解答】解：由题意知，设该基地蔬菜产量的年平均增长率为 x， 根据 2018 年产量为 100 吨，则 2019 年蔬菜产量为 100（1+x）吨，2020 年蔬菜产量为 100（1+x） （1+x）吨，预
15、计 2020 年产量可达 121 吨， 即：100（1+x） （1+x）121 或 100（1+x）2121 故选：A 6 （3 分）如图，在菱形 ABCD 中，A60，点 E、F 分别为 AD、DC 上的动点，EBF 60，点 E 从点 A 向点 D 运动的过程中，AE+CF 的长度（ ） A逐渐增加 B逐渐减小 C保持不变且与 EF 的长度相等 D保持不变且与 AB 的长度相等 【分析】证明ABEDBF（AAS） ，可得 AEDF，根据线段的和可知：AE+CFAB， 是一定值，可作判断 【解答】解：连接 BD， 四边形 ABCD 是菱形， ABADCD， A60， ABD 是等边三角形，
16、ABBD，ABD60， DCAB， CDBABD60， ACDB， EBF60， ABE+EBDEBD+DBF， ABEDBF， 在ABE 和DBF 中， ， ABEDBF（AAS） ， AEDF， AE+CFDF+CFCDAB， 故选：D 7 （3 分）四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，能判定它是矩形的是（ ） AAOCO，BOOD BABBC，AOCO CAOCO，BODO，ACDB DAOCOBODO 【分析】根据平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定逐个判断即可 【解答】解：A、OAOC，OBOD， 四边形 ABCD 是平行四边形，不能推出四边形 ABCD 是矩形
17、，故本选项不符合题意； B、根据 ABBC，AOCO 不能推出四边形 ABCD 是矩形，故本选项不符合题意； C、OAOC，OBOD， 四边形 ABCD 是平行四边形， ACBD， 平行四边形 ABCD 是菱形，不能推出四边形 ABCD 是矩形，故本选项不符合题意； D、OAOBOCOD， OAOC，OBOD，ACBD， 四边形 ABCD 是平行四边形， ACBD， 四边形 ABCD 是矩形，故本选项符合题意； 故选：D 8 （3 分）如图，平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，下列条件： （1）1+ DBC90； （2）OAOB； （3）12，其中能判定平行四边形 AB
18、CD 是菱形的 条件有（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 【分析】由平行四边形的性质、菱形的判定、矩形的判定即可得出结论 【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形， OAOC，OBOD，ADBC， 1BCO， 若1+DBC90时，则BCO+DBC90， BOC90， ACBD， 四边形 ABCD 是菱形； （1）能判定平行四边形 ABCD 是菱形； 若 OAOB，则 ACBD， 四边形 ABCD 是矩形； （2）不能判定平行四边形 ABCD 是菱形； 若12，则2BCO， ABCB， 四边形 ABCD 是菱形； （3）能判定平行四边形 ABCD 是菱形； 故选：C 9 （3 分）
19、如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，AB6，BC8，过点 O 作 OE AC，交 AD 于点 E，过点 E 作 EFBD，垂足为 F，则 OE+EF 的值为（ ） A B C D 【分析】依据矩形的性质即可得到AOD 的面积为 12，再根据 SAODSAOE+SDOE， 即可得到 OE+EF 的值 【解答】解：AB6，BC8， 矩形 ABCD 的面积为 48，AC10， AODOAC5， 对角线 AC，BD 交于点 O， AOD 的面积为 12， EOAO，EFDO， SAODSAOE+SDOE，即 12AOEO+DOEF， 125EO+5EF， 5（EO+EF）24， E
20、O+EF， 故选：C 10 （3 分）如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，AG 平分BAC 交 BD 于 G， DEAG 于点 H 下列结论： AD2AE： FDAG； CFCD： 四边形 FGEA 是菱形；OFBE，正确的有（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 【分析】根据正方形的性质和角平分线的定义得：BAGCAG22.5，由垂直 的定义计算AED9022.567.5， EADEAD22.5， 得 ED 是 AG 的垂 直平分线，则 AEEG，BEG 是等腰直角三角形，则 ADAB2AE，可作判断； 证明DAFABG（ASA） ，可作判断； 分别计算CD
21、FCFD67.5，可作判断； 根据对角线互相平分且垂直的四边形是菱形可作判断； 设 BGx，则 AFAEx，表示 OF 和 BE 的长，可作判断 【解答】解：四边形 ABCD 是正方形， BAD90，BAC45， AG 平分BAC， BAGCAG22.5， AGED， AHEEHG90， AED9022.567.5， ADE22.5， ADB45， EDG22.5ADE， AHDGHD90， DAGDGA， ADDG，AHGH， ED 是 AG 的垂直平分线， AEEG， EAGAGE22.5， BEG45ABG， BGE90， AEEGBE， ADAB2AE， 故不正确； 四边形 ABCD
22、是正方形， ADAB，DAFABG45， ADFBAG22.5， DAFABG（ASA） ， DFAG， 故正确； CDF45+22.567.5，CFDAFE9022.567.5， CDFCFD， CFCD， 故正确； EAHFAH，AHEAHF， AEFAFE， AEAF， EHFH， AHGH，AGEF， 四边形 FGEA 是菱形； 故正确； 设 BGx，则 AFAEx， 由知BEG 是等腰直角三角形， BEx， ABAE+BEx+x（+1）x， AO， OFAOAFx， ， OFBE； 故正确； 本题正确的结论有：； 故选：C 二填空题（共二填空题（共 5 小题，共小题，共 15 分）分
23、） 11 （3 分）一元二次方程 x25x 的根 x10，x25 【分析】先移项，然后通过提取公因式 x 对等式的左边进行因式分解 【解答】解：由原方程，得 x25x0， 则 x（x5）0， 解得 x10，x25 故答案是：x10，x25 12 （3 分）如图，四边形 ABCD 是菱形，AC24，BD10，DHAB 于点 H，则线段 DH 的长为 【分析】直接利用菱形的性质得出 AO，DO 的长，再利用三角形面积以及勾股定理得出 答案 【解答】解：四边形 ABCD 是菱形，AC24，BD10， S菱形ABCDACBD120，AO12，OD5，ACBD， ADAB13， DHAB， AOBDDH
24、AB， 121013DH， DH 故答案为： 13 （3 分）若关于 x 的方程（k1）x2+4x+10 有实数解，则 k 的取值范围是 k5 【分析】分 k10 和 k10 两种情况，其中 k10 时根据题意列出关于 k 的不等 式求解可得 【解答】解：当 k10 时，方程为 4x+10，显然有实数根； 当 k10，即 k1 时，424（k1）10， 解得 k5 且 k1； 综上，k5 故答案为：k5 14 （3 分）如图，在边长为 2的正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是边 AB，BC 的中点， 连接 EC，FD，点 G，H 分别是 EC，FD 的中点，连接 GH，则 GH 的长度为
25、1 【分析】 方法一： 连接CH并延长交AD于P， 连接PE， 根据正方形的性质得到A90， ADBC，ABADBC2，根据全等三角形的性质得到 PDCF，根据勾股定 理和三角形的中位线定理即可得到结论 方法二： 设 DF， CE 交于 O， 根据正方形的性质得到BDCF90， BCCDAB， 根据线段中点的定义得到BECF， 根据全等三角形的性质得到CEDF， BCECDF， 求得 DFCE，根据勾股定理得到 CEDF，点 G，H 分别 是 EC，FD 的中点，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论 【解答】解：方法一：连接 CH 并延长交 AD 于 P，连接 PE， 四边形 ABCD
26、是正方形， A90，ADBC，ABADBC2， E，F 分别是边 AB，BC 的中点， AECF2， ADBC， DPHFCH， DHPFHC， DHFH， PDHCFH（AAS） ， PDCF， APADPD， PE2， 点 G，H 分别是 EC，FD 的中点， GHEP1； 方法二：设 DF，CE 交于 O， 四边形 ABCD 是正方形， BDCF90，BCCDAB， 点 E，F 分别是边 AB，BC 的中点， BECF， CBEDCF（SAS） ， CEDF，BCECDF， CDF+CFD90， BCE+CFD90， COF90， DFCE， CEDF， 点 G，H 分别是 EC，FD
27、的中点， CGFH， DCF90，CODF， DCO+FCODCO+CDO90， FCOCDO， DCFCOF90， COFDOC， ， CF2OFDF， OF， OH，OD， COFCOD90， COFDOC， ， OC2OFOD， OC， OGCGOC， HG1， 故答案为：1 15 （3 分）如图，正方形 ABCD 的边长是 16，点 E 在边 AB 上，AE3，点 F 是边 BC 上 不与点 B，C 重合的一个动点，把EBF 沿 EF 折叠，点 B 落在 B处若CDB恰为 等腰三角形，则 DB的长为 16 或 4 【分析】根据翻折的性质，可得 BE 的长，根据勾股定理，可得 CE 的长
28、，根据等腰三 角形的判定，可得答案 【解答】解： （i）当 BDBC 时， 过 B点作 GHAD，则BGE90， 当 BCBD 时，AGDHDC8， 由 AE3，AB16，得 BE13 由翻折的性质，得 BEBE13 EGAGAE835， BG12， BHGHBG16124， DB4 （ii）当 DBCD 时，则 DB16（易知点 F 在 BC 上且不与点 C、B 重合） （iii） 当 CBCD 时， 则 CBCB， 由翻折的性质， 得 EBEB， 点 E、 C 在 BB 的垂直平分线上，EC 垂直平分 BB，由折叠，得 EF 也是线段 BB的垂直平分线， 点 F 与点 C 重合，这与已知“
29、点 F 是边 BC 上不与点 B，C 重合的一个动点”不符， 故此种情况不存在，应舍去 综上所述，DB的长为 16 或 4 故答案为：16 或 4 三解答题（共三解答题（共 8 小题，共小题，共 75 分）分） 16 （16 分）用恰当的方法解下列方程： （1）x2+4x20； （2）4x2250； （3） （2x+1）2+4（2x+1）+40； （4） （x1） （x3）8 【分析】 （1）利用公式法求解可得； （2）利用直接开平方法求解可得； （3）利用换元法求解可得； （4）整理成一般式，再利用公式法求解可得 【解答】解： （1）a1，b4，c2， 4241（2）240， 则 x2， 即
30、 x12+，x22； （2）4x225， x2， 解得 x1，x2； （3）令 2x+1a， 则 a2+4a+40， （a+2）20， 解得 a2， 2x+12， 解得 x1x21.5； （4）方程整理为一般式，得：x24x50， 解得： （x5） （x+1）0， 则 x50 或 x+10， 解得 x15，x21 17 （8 分）如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，对角线 BD 的垂直平分线与边 AD、BC 分 别相交于点 M、N （1）求证：四边形 BNDM 是菱形； （2）若 BD24，MN10，求菱形 BNDM 的周长 【分析】 （1） 证MODNOB （AAS） ， 得出 OMON
31、， 由 OBOD， 证出四边形 BNDM 是平行四边形，进而得出结论； （2）由菱形的性质得出 BMBNDMDN，OBBD12，OMMN5，由勾股 定理得 BM13，即可得出答案 【解答】 （1）证明：ADBC， DMOBNO， MN 是对角线 BD 的垂直平分线， OBOD，MNBD， 在MOD 和NOB 中， MODNOB（AAS） ， OMON， OBOD， 四边形 BNDM 是平行四边形， MNBD， 四边形 BNDM 是菱形； （2）解：四边形 BNDM 是菱形，BD24，MN10， BMBNDMDN，OBBD12，OMMN5， 在 RtBOM 中，由勾股定理得：BM13， 菱形 B
32、NDM 的周长4BM41352 18 （8 分）关于 x 的一元二次方程23+0 有实数根 （1）求 k 的取值范围； （2）如果 k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程（1）2+30 与方程 23+0 有一个相同的根，求此时 m 的值 【分析】 （1）利用判别式的意义得到（3）24k0，然后解不等式即可； （2）先确定 k2，再解方程23+20，解得 x11，x22，然后分别把 x1 和 x 2 代入元二次方程（1）2+30 可得到满足条件的 m 的值 【解答】解： （1）根据题意得（3）24k0， 解得 k； （2）满足条件的 k 的最大整数为 2，此时方程23+0 变形为方程23+20
33、， 解得 x11，x22， 当相同的解为 x1 时， 把 x1 代入方程 （1） 2+30 得 m1+1+m30， 解得 m； 当相同的解为 x2 时，把 x2 代入方程（1）2+30 得 4（m1）+2+m 30，解得 m1，而 m10，不符合题意，舍去， 所以 m 的值为 19 （8 分）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，过点 A 作 AEBC 于点 E， 延长 BC 至 F，使 CFBE，连接 DF （1）求证：四边形 AEFD 是矩形； （2）若 AC10，ABC60，则矩形 AEFD 的面积是 25 【分析】 （1）根据菱形的性质得到 ADBC 且 ADBC
34、，等量代换得到 BCEF，推出四 边形 AEFD 是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）根据全等三角形的判定定理得到 RtABERtDCF （HL） ，求得矩形 AEFD 的 面积菱形 ABCD 的面积，根据等腰三角形的性质得到结论 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是菱形， ADBC，ADBC， CFBE， BCEF， ADEF，ADEF， 四边形 AEFD 是平行四边形， AEBC， AEF90， 平行四边形 AEFD 是矩形； （2）解：ABCD，BECF，AEBDFC90， RtABERtDCF （HL） ， 矩形 AEFD 的面积菱形 ABCD 的面积， ABC
35、60， ABC 是等边三角形， AC10， AEAC5，AB10，BO5， ADEF10， 矩形 AEFD 的面积菱形 ABCD 的面积101050， 故答案为：50 20 （8 分）某旅行社的一则广告如下： 甲公司想分批组织员工到延安红色旅游学习 （1）如果第一批组织 40 人去学习，则公司应向旅行社交费 28000 元； （2）如果公司计划用 29250 元组织第一批员工去学习，问这次旅游学习应安排多少人参 加？ 【分析】 （1）首先表示出 40 人是平均每人的费用，进而得出总费用； （2）表示出每人平均费用为：80010（x30） ，进而得出等式求出答案 【解答】解： （1）人数多于 3
36、0 人，那么每增加 1 人，人均收费降低 10 元， 第一批组织 40 人去学习， 则公司应向旅行社交费： 40800 （4030） 1028000 （元） ； 故答案为：28000； （2）设这次旅游应安排 x 人参加， 308002400029250， x30，根据题意得： x80010（x30）29250， 整理得，x2110 x+29250， 解得：x145，x265 80010（x30）500， x60 x45 答：这次旅游应安排 45 人参加 21 （8 分）如图，在菱形 ABCD 中，AB3，DAB60，点 E 是 AD 边的中点，点 M 是 AB 边上一动点（不与点 A 重合）
37、 ，延长 ME 交射线 CD 于点 N，连接 MD，AN （1）求证：四边形 AMDN 是平行四边形； （2）填空：当 AM 的值为 1.5 时，四边形 AMDN 是矩形； 当 AM 的值为 3 时，四边形 AMDN 是菱形 【分析】 （1）求出DNEAME，根据全等及时向的性质得出 NEME，根据平行四 边形的判定得出即可； （2）根据等边三角形的判定得出ABD 是等边三角形，根据等边三角形的性质求出 DMAB，根据矩形的判定得出即可； 求出ABD 是等边三角形，求出 M 和 B 重合，根据菱形的判定得出即可 【解答】 （1）证明：点 E 是 AD 边的中点， AEDE， 四边形 ABCD
38、是菱形， DCAB， DNEAME， 在DNE 和AME 中 ， DNEAME（AAS） ， NEME， AEDE， 四边形 AMDN 是平行四边形； （2）解：当 AM1.5 时，四边形 AMDN 是矩形， 理由是：连接 BD， 四边形 ABCD 是菱形， ADAB3， DAB60， ADB 是等边三角形， ADBD3， AM1.5，AB3， AMBM， DMAB， 即DMA90， 四边形 AMDN 是平行四边形， 四边形 AMDN 是矩形， 即当 AM1.5 时，四边形 AMDN 是矩形， 故答案为：1.5； 当 AM3 时，四边形 AMDN 是菱形， 理由是，此时 AMAB3， 即 M
39、和 B 重合， 由知：ABD 是等边三角形， AMMD， 四边形 AMDN 是平行四边形， 四边形 AMDN 是菱形， 故答案为：3 22 （8 分）阅读探究： “任意给定一个矩形 A，是否存在另一个矩形 B，它的周长和面积分 别是已知矩形周长和面积的一半？” （完成下列空格） （1）当已知矩形 A 的边长分别为 6 和 1 时，小亮同学是这样研究的： 设所求矩形的两边分别是 x 和 y，由题意得方程组 ，消去 y 化简得：2x27x+6 0， b24ac49480，x1 ，x2 2 ， 满足要求的矩形 B 存在 （2）如果已知矩形 A 的边长分别为 2 和 1，请你仿照小亮的方法研究是否存在
40、满足要求 的矩形 B （3）如果矩形 A 的边长为 m 和 n，请你研究满足什么条件时，矩形 B 存在？ 【分析】 （1）利用求根公式即可求出方程的两根； （2）仿照（1）找准关于 x 的一元二次方程，由根的判别式70，可得出方程无 解，即不存在满足要求的矩形 B； （3）仿照（1）找准关于 x 的一元二次方程，由根的判别式0，可找出 m、n 之间的 关系 【解答】解： （1）利用求根公式可知：x1，x22 故答案为：；2 （2）设所求矩形的两边分别是 x 和 y， 根据题意得：， 消去 y 化简得：2x23x+20 b24ac（3）242270， 该方程无解， 不存在满足要求的矩形 B （3
41、）设所求矩形的两边分别是 x 和 y， 根据题意得：， 消去 y 化简得：2x2（m+n）x+mn0 矩形 B 存在， b24ac（m+n）242mn0， （mn）24mn 故当 m、n 满足（mn）24mn 时，矩形 B 存在 23 （11 分）四边形 ABCD 是正方形，BEF 是等腰直角三角形，BEF90，BEEF， 连接 DF，G 为 DF 的中点，连接 EG，CG，EC （1）问题发现 如图 1，若点 E 在 CB 的延长线上，直接写出 EG 与 GC 的位置关系及的值； （2）操作探究 将图 1 中的BEF 绕点 B 顺时针旋转至图 2 所示位置，请问（1）中所得的结论是否仍然 成
42、立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）解决问题 将图 1 中的BEF 绕点 B 顺时针旋转，若 BE1，AB，当 E，F，D 三点共线时， 请直接写出 CE 的长 【分析】 （1）过 G 作 GHEC 于 H，推出 EFGHDC，求出 H 为 EC 中点，根据梯形 的中位线求出 EGGC，GH（EF+DC）（EB+BC） ，推出 GHEHBC，根据 直角三角形的判定推出EGC 是等腰直角三角形即可； （2） 延长 EG 到 H， 使 EGGH， 连接 CH， 过 E 作 BC 的垂线 EQ， 证EFGHDG， 推出 DHEFBE，FEGDHG，求出EBCHDC，证出EBCH
43、DC，推 出 CECH，BCEDCH，求出ECH 是等腰直角三角形，即可得出答案； （3）分两种情况：CE 在 BC 的上方，如图 3，作辅助线，构建等腰直角三角形，求 出 cosDBE，推出DBE60，证明GDCEBC（ASA） ，则 ECCG， DGEB1，从而得结论；CE 在 BC 的下方，如图 4，同理可得结论 【解答】解： （1）EGCG，； 理由是：如图 1，过 G 作 GHEC 于 H， FEBDCB90， EFGHDC， G 为 DF 中点， H 为 EC 中点， EGGC，GH（EF+DC）（EB+BC）CE， 即 GHEHHC， EGC90， 即EGC 是等腰直角三角形，；
44、 （2）结论还成立， 理由是：如图 2，延长 EG 到 H，使 EGGH，连接 CH，过 E 作 BC 的垂线 EQ，延长 CB 交 EQ 于 R，延长 CD，交 EH 于 N， 在EFG 和HDG 中， ， EFGHDG（SAS） ， DHEFBE，FEGDHG， EFDH， 同理得 ERCD， 12， 129034， EBC18041801HDC， 在EBC 和HDC 中， ， EBCHDC（SAS） CECH，BCEDCH， ECHDCH+ECDBCE+ECDBCD90， ECH 是等腰直角三角形， G 为 EH 的中点， EGGC， 即（1）中的结论仍然成立； （3）分两种情况： 如图
45、 3，连接 BD，过 C 作 CGEC，交 ED 的延长线于 G， AB，正方形 ABCD， BD2， RtBED 中，cosDBE， DBE60，BDF30 tanBDE， DEBE， ABD45， ABE604515， EBC90+15105， EDCBDE+CDB30+4575， CDG18075105， CDGCBE， ECGBCD90， DCGBCE， BCCD， GDCEBC（ASA） ， ECCG，DGEB1， ECG 是等腰直角三角形， EGCE， EGED+DG+1， CE； 如图 4，连接 BD，过 C 作 CHEC，交 ED 于 H， 同理得DHCBEC（ASA） ， ECCH，DHEB1， 同理可知：DE， EHDEDH1， ECH 是等腰直角三角形， EHCE， CE； 综上，CE 的长为