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1.2.3(第1课时)充分条件、必要条件 学案(含答案)

1、1 1. .2.32.3 充分条件、必要条件充分条件、必要条件 第第 1 1 课时课时 充分条件、必要条件充分条件、必要条件 学习目标 1.理解充分条件、必要条件的定义.2.会判断充分条件、必要条件.3.会根据充分不 必要条件、必要不充分条件求参数的取值范围 知识点 1充分条件与必要条件 命题真假 “若 p, 则 q”是真命题 “若 p,则 q”是假命题 推出关系 pq pq 条件关系 p 是 q 的充分条件 q 是 p 的必要条件 p 不是 q 的充分条件 q 不是 p 的必要条件 思考 (1)p 是 q 的充分条件与 q 是 p 的必要条件所表示的推出关系是否相同? (2)以下五种表述形式

2、:pq;p 是 q 的充分条件;q 的充分条件是 p;q 是 p 的必要 条件;p 的必要条件是 q.这五种表述形式等价吗? 答案 (1)相同,都是 pq.(2)等价 2充分条件与必要条件的判断 3充分条件、必要条件与集合的关系 Ax|x 满足条件 p,Bx|x 满足条件 q AB p 是 q 的充分条件 q 是 p 的必要条件 A B p 是 q 的不充分条件 q 是 p 的不必要条件 BA q 是 p 的充分条件 p 是 q 的必要条件 BA q 是 p 的不充分条件 p 是 q 的不必要条件 思考 (1)“x2”是“x3”的_条件,“x3”是“x1”是“x0”的充分条件, p 也可以是“

3、x2”“x3”或“2x3”等 1“x1”是(x1)(x2)0 的_条件(填“充分”“必要”) 答案 充分 2 设集合 Mx|0x3, Nx|05”是“x4”的充分条件; “xy0”是“x0 且 y0”的充分条件; “2x2”是“x2 且 b2,q:ab4,ab4. 答案 解析 (x2)(x3)0, x2 或 x3,不能推出 x20. p 不是 q 的充分条件 两个三角形面积相等,不能推出两个三角形全等, p 不是 q 的充分条件 由 a2 且 b2ab4,ab4, p 是 q 的充分条件 反思感悟 充分条件的两种判定方法 (1)定义法: 确定谁是条件,谁是结论; 尝试从条件推结论,若由条件能推

4、出结论,则条件是结论的充分条件,否则就不是充分条 件 (2)命题判断法: 如果命题:“若 p,则 q”为真命题,那么 p 是 q 的充分条件,同时 q 是 p 的必要条件; 如果命题:“若 p,则 q”为假命题,那么 p 不是 q 的充分条件,同时 q 也不是 p 的必要条 件 跟踪训练 1 判断下列说法中,p 是 q 的充分条件的是_(填序号) p:“x1”,q:“x22x10”; 设 a,b 是实数,p:“ab0”,q:“ab0”; 已知 a,b 为正实数,p:ab1,q:a2b20. 答案 解析 当 x1 时,x22x10,故 pq,所以 p 是 q 的充分条件 由 ab0 不能推出 a

5、b0,故 p 不是 q 的充分条件 因为 ab1a2b20,所以 p 是 q 的充分条件 二、必要条件的判断 例 2 在下列各命题中,q 是 p 的必要条件吗?为什么? (1)p:x20;q:(x2)(x3)0; (2)p:两个三角形相似;q:两个三角形全等; (3)p:m2;q:方程 x2xm0 无实根 解 (1)x20(x2)(x3)0, q 是 p 的必要条件 (2)两个三角形相似推不出两个三角形全等, q 不是 p 的必要条件 (3)方程 x2xm0 无实根, b24ac141(m)14m0, 解得 m1 4. m2m2 同时 y3,q:xy5; (2)p:一个四边形的四个角都相等,q

6、:四边形是正方形 (3)p: 为锐角,q:45 ; (4)p:(x1)(x2)0,q:x10. 解 (1)由于 pq,故 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件 (2)由于 qp,故 q 是 p 的充分条件,p 是 q 的必要条件 (3)由于 qp,故 p 是 q 的必要条件,q 是 p 的充分条件 (4)由于 qp,故 p 是 q 的必要条件,q 是 p 的充分条件 三、充分条件与必要条件的应用 例 3 已知命题 p:2x10,q:1mx1m(m0),若 p 是 q 的必要条件,但不是充 分条件求实数 m 的取值范围 解 p:2x10,q:1mx1m(m0) 因为 p 是 q 的必要

7、条件,但不是充分条件, 所以 q 是 p 的充分条件但不是必要条件, 即x|1mx1mx|2x10, 故有 1m2, 1m2, 1m10, 解得 m3.又 m0, 所以实数 m 的取值范围为(0,3 延伸探究 若本例中“p 是 q 的必要条件但不是充分条件”改为“p 是 q 的充分条件但不是必要条件”, 其他条件不变,求实数 m 的取值范围 解 p:2x10,q:1mx1m(m0) 因为 p 是 q 的充分条件但不是必要条件, 设 p 代表的集合为 A,q 代表的集合为 B, 所以 AB. 所以 1m2, 1m10 或 1m9 或 m9, 所以 m9, 即实数 m 的取值范围是9,) 反思感悟

8、 充分条件与必要条件的应用技巧 (1)应用:可利用充分性与必要性进行相关问题的求解,特别是求参数的值或取值范围问题 (2)求解步骤:先把 p,q 等价转化,利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系,建立关 于参数的不等式(组)进行求解 跟踪训练 3 已知集合 Ay|yx23x1,xR,Bx|x2m0;命题 p:xA,命题 q:xB. (1)若 p 是 q 的充分条件,求实数 m 的取值范围; (2)若 p 是 q 的必要条件,求实数 m 的取值范围 解 由已知可得 A y y x3 2 25 4,xR y y5 4 , Bx|x2m (1)若 p 是 q 的充分条件, 则 pq,所以 AB,

9、所以2m5 4,所以 m 5 8, 即 m 的取值范围是 5 8, . (2)若 p 是 q 的必要条件, 则 qp,所以 BA, 所以2m5 4,解得 m 5 8. 即 m 的取值范围是 ,5 8 . 1若 p 是 q 的充分条件,则 q 是 p 的( ) A充分条件 B必要条件 C既不是充分条件也不是必要条件 D既是充分条件又是必要条件 答案 B 解析 因为 p 是 q 的充分条件,所以 pq,所以 q 是 p 的必要条件 2“同位角相等”是“两直线平行”的( ) A充分条件但不是必要条件 B必要条件但不是充分条件 C既是充分条件,也是必要条件 D既不是充分条件也不是必要条件 答案 C 3“2x1 或 x1”的( ) A充分条件但不是必要条件 B必要条件但不是充分条件 C既不是充分条件也不是必要条件 D既是充分条件,也是必要条件 答案 C 解析 2x1 或 x1 或 x12x1,“2x1 或 x1”是“xa”的充分条件,则 a 的取值范围是_ 答案 (,1 解析 因为 x1xa,所以 a1. 1知识清单: (1)充分条件、必要条件的概念 (2)充分条件、必要条件的判断 (3)充分条件与必要条件的应用 2方法归纳:转化法 3常见误区: 充分条件、必要条件不唯一;求参数范围能否取到端点值