1、1 1. .1.21.2 集合的基本关系集合的基本关系 学习目标 1.理解集合之间的包含与相等的含义.2.能识别给定集合的子集、 真子集.3.了解维 恩图的含义，会用维恩图表示两个集合间的关系 知识点一 子集与真子集 1子集与真子集的定义 概念 定义 符号表示 图形表示 子集 如果集合A的任意一个元素都是集合B的 元素，那么集合 A 称为集合 B 的子集 AB(或 B A) 真子集 如果集合 A 是集合 B 的子集， 并且 B 中至 少有一个元素不属于 A，那么集合 A 称为 集合 B 的真子集 AB(或 BA) 2.维恩图 如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，那么我们就可作出示意图来形
2、象地表示集合 之间的关系，这种示意图称为维恩图 3子集、真子集的性质 (1)任意集合 A 都是它自身的子集，即 AA. (2)空集是任意一个集合 A 的子集，即A. 思考 (1)任何两个集合之间是否有包含关系？ (2)符号“”与“”有何不同？ 答案 (1)不一定，如集合 A0,1,2，B1,0,1，这两个集合就没有包含关系 (2)符号“”表示元素与集合间的关系； 而“”表示集合与集合之间的关系 知识点二 集合相等与子集的关系 1一般地，如果集合 A 和集合 B 的元素完全相同，则称集合 A 与集合 B 相等，记作 AB， 读作“A 等于 B” 2由集合相等以及子集的定义可知：如果 AB 且 B
3、A，则 AB；反之，如果 AB，则 AB 且 BA. 1若 AB，则 B 中至少有一个元素不属于 A.( ) 2若 AB，则要么 AB，要么 AB.( ) 3空集没有真子集( ) 4若 AB，则 B 不会是空集( ) 5若 AB，则必有 AB.( ) 一、集合间关系的判断 例 1 指出下列各对集合之间的关系： (1)A1,1，B(1，1)，(1,1)，(1，1)，(1,1)； (2)Ax|x 是等边三角形，Bx|x 是等腰三角形； (3)A(1,4)，Bx|x50； (4)Mx|x2n1，nN，Nx|x2n1，nN 解 (1)集合 A 的元素是数，集合 B 的元素是有序实数对，故 A 与 B
4、之间无包含关系 (2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故 AB. (3)集合 Bx|x5，用数轴表示集合 A，B，如图所示，由图可知 AB. (4)由列举法知 M1,3,5,7，N3,5,7,9，故 NM. 反思感悟 (1)判断集合关系的方法 观察法：一一列举观察 元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征 判断关系 数形结合法：利用数轴或维恩图 (2)证明集合间的包含关系，一般用定义 跟踪训练 1 (1)能正确表示集合 MxR|0 x2和集合 NxR|x2x0关系的维恩 图是( ) 答案 B 解析 解 x2x0 得 x1 或 x
5、0，故 N0,1，易得 NM，其对应的维恩图如选项 B 所 示 (2)已知集合 Ax|x23x20，B1,2，Cx|x8，xN，用适当的符号填空： A_B；A_C； 2_C；2_C. 答案 解析 集合 A 为方程 x23x20 的解集，即 A1,2，而 Cx|x8，xN 0,1,2,3,4,5,6,7故AB；AC；2C；2C. 二、子集、真子集的个数问题 例 2 已知集合 M 满足1,2M1,2,3,4,5，写出集合 M 所有的可能情况 解 由题意可以确定集合 M 必含有元素 1,2，且至少含有元素 3,4,5 中的一个，因此依据集合 M 的元素个数分类如下： 含有 3 个元素：1,2,3，1
6、,2,4，1,2,5； 含有 4 个元素：1,2,3,4，1,2,3,5，1,2,4,5； 含有 5 个元素：1,2,3,4,5 故满足条件的集合 M 为1,2,3， 1,2,4， 1,2,5， 1,2,3,4， 1,2,3,5， 1,2,4,5， 1,2,3,4,5 反思感悟 公式法求有限集合的子集个数 (1)含 n 个元素的集合有 2n个子集 (2)含 n 个元素的集合有(2n1)个真子集 (3)含 n(n1)个元素的集合有(2n2)个非空真子集 跟踪训练 2 已知集合 A(x，y)|xy2，x，yN，试写出 A 的所有子集 解 A(x，y)|xy2，x，yN， A(0,2)，(1,1)，
7、(2,0) A 的子集有：，(0,2)，(1,1)，(2,0)，(0,2)，(1,1)，(0,2)，(2,0)，(1,1)，(2,0)， (0,2)，(1,1)，(2,0) 三、集合间关系的应用 例 3 已知集合 Ax|2x5，Bx|m1x2m1，若 BA，求实数 m 的取值范 围 解 (1)当 B时，如图所示 m12， 2m12， 2m15， 2m1m1， 解这两个不等式组，得 2m3. (2)当 B时， 由 m12m1，得 m2. 综上可得，m 的取值范围是m|m3 延伸探究 1若本例条件“Ax|2x5”改为“Ax|2x2m1，得 m2， 2m13， m3， m2， 即 2m3， 综上可得
8、，m 的取值范围是m|mm1， m12， 52m1， 即 m2， m3， m3， m， 即 m 的取值范围为. 反思感悟 (1)利用数轴处理不等式表示的集合间的关系问题时，可化抽象为直观，要注意端 点值的取舍，“含”用实心点表示，“不含”用空心点表示 (2)涉及到“AB”或“AB 且 B”的问题，一定要分 A和 A两种情况讨论，不 要忽视空集的情况 跟踪训练3 (1)已知集合A3,4， Bx|2m1xm1， 且BA.求实数m的取值范围 (2)已知集合 Ax|x24x30，Bx|mx30，且 BA，求实数 m 的取值集合 解 (1)BA， 当 B时，m12m1，解得 m2. 当 B时，有 32m
9、1， m14， 2m1m1， 解得1m2， 综上得 m 的取值范围为1，) (2)由 x24x30，得 x1 或 x3. 集合 A1,3 当 B时，此时 m0，满足 BA. 当 B时，则 m0，Bx|mx30 3 m . BA，3 m1 或 3 m3，解得 m3 或 m1. 综上可知，所求实数 m 的取值集合为0,1,3 1(多选)集合 Px|x210，T1,0,1，则 P 与 T 的关系为( ) APT BTP CPT DPT 答案 AB 解析 集合 Px|x2101,1，T1,0,1，PT，或者写成 TP. 2集合 A1,0,1，A 的子集中，含有元素 0 的子集共有( ) A2 个 B4
10、 个 C6 个 D8 个 答案 B 解析 根据题意， 在集合 A 的子集中， 含有元素 0 的子集有0， 0,1， 0， 1， 1,0,1,4 个 3下列正确表示集合 M1,0,1和 Nx|x2x0关系的维恩图是( ) 答案 B 解析 由 Nx|x2x0，得 N1,0 M1,0,1，NM. 4已知 Mx|x2 2，xR，给定下列关系：M；M；M；M. 其中正确的有_(填序号) 答案 解析 显然正确；中 与 M 的关系为元素与集合的关系，不应该用“”符号；中 与 M 的关系是集合与集合的关系，不应该用“”符号 5设 x，yR，A(x，y)|yx，B x，y y x1 ，则 A，B 准确的关系是_ 答案 BA 解析 因为 B x，y y x1 (x，y)|yx， 且 x0，故 BA. 1知识清单： (1)子集、真子集、维恩图的概念及集合间关系的判断 (2)求子集、真子集的个数问题 (3)由集合间的关系求参数的值或范围 2方法归纳：数形结合、分类讨论 3常见误区： 忽略对集合是否为空集的讨论，利用数轴解题时忽视是否能够取到端点