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1.1.2 集合的基本关系 学案(含答案)

1、1 1. .1.21.2 集合的基本关系集合的基本关系 学习目标 1.理解集合之间的包含与相等的含义.2.能识别给定集合的子集、 真子集.3.了解维 恩图的含义,会用维恩图表示两个集合间的关系 知识点一 子集与真子集 1子集与真子集的定义 概念 定义 符号表示 图形表示 子集 如果集合A的任意一个元素都是集合B的 元素,那么集合 A 称为集合 B 的子集 AB(或 B A) 真子集 如果集合 A 是集合 B 的子集, 并且 B 中至 少有一个元素不属于 A,那么集合 A 称为 集合 B 的真子集 AB(或 BA) 2.维恩图 如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合,那么我们就可作出示意图来形

2、象地表示集合 之间的关系,这种示意图称为维恩图 3子集、真子集的性质 (1)任意集合 A 都是它自身的子集,即 AA. (2)空集是任意一个集合 A 的子集,即A. 思考 (1)任何两个集合之间是否有包含关系? (2)符号“”与“”有何不同? 答案 (1)不一定,如集合 A0,1,2,B1,0,1,这两个集合就没有包含关系 (2)符号“”表示元素与集合间的关系; 而“”表示集合与集合之间的关系 知识点二 集合相等与子集的关系 1一般地,如果集合 A 和集合 B 的元素完全相同,则称集合 A 与集合 B 相等,记作 AB, 读作“A 等于 B” 2由集合相等以及子集的定义可知:如果 AB 且 B

3、A,则 AB;反之,如果 AB,则 AB 且 BA. 1若 AB,则 B 中至少有一个元素不属于 A.( ) 2若 AB,则要么 AB,要么 AB.( ) 3空集没有真子集( ) 4若 AB,则 B 不会是空集( ) 5若 AB,则必有 AB.( ) 一、集合间关系的判断 例 1 指出下列各对集合之间的关系: (1)A1,1,B(1,1),(1,1),(1,1),(1,1); (2)Ax|x 是等边三角形,Bx|x 是等腰三角形; (3)A(1,4),Bx|x50; (4)Mx|x2n1,nN,Nx|x2n1,nN 解 (1)集合 A 的元素是数,集合 B 的元素是有序实数对,故 A 与 B

4、之间无包含关系 (2)等边三角形是三边相等的三角形,等腰三角形是两边相等的三角形,故 AB. (3)集合 Bx|x5,用数轴表示集合 A,B,如图所示,由图可知 AB. (4)由列举法知 M1,3,5,7,N3,5,7,9,故 NM. 反思感悟 (1)判断集合关系的方法 观察法:一一列举观察 元素特征法:首先确定集合的元素是什么,弄清集合元素的特征,再利用集合元素的特征 判断关系 数形结合法:利用数轴或维恩图 (2)证明集合间的包含关系,一般用定义 跟踪训练 1 (1)能正确表示集合 MxR|0 x2和集合 NxR|x2x0关系的维恩 图是( ) 答案 B 解析 解 x2x0 得 x1 或 x

5、0,故 N0,1,易得 NM,其对应的维恩图如选项 B 所 示 (2)已知集合 Ax|x23x20,B1,2,Cx|x8,xN,用适当的符号填空: A_B;A_C; 2_C;2_C. 答案 解析 集合 A 为方程 x23x20 的解集,即 A1,2,而 Cx|x8,xN 0,1,2,3,4,5,6,7故AB;AC;2C;2C. 二、子集、真子集的个数问题 例 2 已知集合 M 满足1,2M1,2,3,4,5,写出集合 M 所有的可能情况 解 由题意可以确定集合 M 必含有元素 1,2,且至少含有元素 3,4,5 中的一个,因此依据集合 M 的元素个数分类如下: 含有 3 个元素:1,2,3,1

6、,2,4,1,2,5; 含有 4 个元素:1,2,3,4,1,2,3,5,1,2,4,5; 含有 5 个元素:1,2,3,4,5 故满足条件的集合 M 为1,2,3, 1,2,4, 1,2,5, 1,2,3,4, 1,2,3,5, 1,2,4,5, 1,2,3,4,5 反思感悟 公式法求有限集合的子集个数 (1)含 n 个元素的集合有 2n个子集 (2)含 n 个元素的集合有(2n1)个真子集 (3)含 n(n1)个元素的集合有(2n2)个非空真子集 跟踪训练 2 已知集合 A(x,y)|xy2,x,yN,试写出 A 的所有子集 解 A(x,y)|xy2,x,yN, A(0,2),(1,1),

7、(2,0) A 的子集有:,(0,2),(1,1),(2,0),(0,2),(1,1),(0,2),(2,0),(1,1),(2,0), (0,2),(1,1),(2,0) 三、集合间关系的应用 例 3 已知集合 Ax|2x5,Bx|m1x2m1,若 BA,求实数 m 的取值范 围 解 (1)当 B时,如图所示 m12, 2m12, 2m15, 2m1m1, 解这两个不等式组,得 2m3. (2)当 B时, 由 m12m1,得 m2. 综上可得,m 的取值范围是m|m3 延伸探究 1若本例条件“Ax|2x5”改为“Ax|2x2m1,得 m2, 2m13, m3, m2, 即 2m3, 综上可得

8、,m 的取值范围是m|mm1, m12, 52m1, 即 m2, m3, m3, m, 即 m 的取值范围为. 反思感悟 (1)利用数轴处理不等式表示的集合间的关系问题时,可化抽象为直观,要注意端 点值的取舍,“含”用实心点表示,“不含”用空心点表示 (2)涉及到“AB”或“AB 且 B”的问题,一定要分 A和 A两种情况讨论,不 要忽视空集的情况 跟踪训练3 (1)已知集合A3,4, Bx|2m1xm1, 且BA.求实数m的取值范围 (2)已知集合 Ax|x24x30,Bx|mx30,且 BA,求实数 m 的取值集合 解 (1)BA, 当 B时,m12m1,解得 m2. 当 B时,有 32m

9、1, m14, 2m1m1, 解得1m2, 综上得 m 的取值范围为1,) (2)由 x24x30,得 x1 或 x3. 集合 A1,3 当 B时,此时 m0,满足 BA. 当 B时,则 m0,Bx|mx30 3 m . BA,3 m1 或 3 m3,解得 m3 或 m1. 综上可知,所求实数 m 的取值集合为0,1,3 1(多选)集合 Px|x210,T1,0,1,则 P 与 T 的关系为( ) APT BTP CPT DPT 答案 AB 解析 集合 Px|x2101,1,T1,0,1,PT,或者写成 TP. 2集合 A1,0,1,A 的子集中,含有元素 0 的子集共有( ) A2 个 B4

10、 个 C6 个 D8 个 答案 B 解析 根据题意, 在集合 A 的子集中, 含有元素 0 的子集有0, 0,1, 0, 1, 1,0,1,4 个 3下列正确表示集合 M1,0,1和 Nx|x2x0关系的维恩图是( ) 答案 B 解析 由 Nx|x2x0,得 N1,0 M1,0,1,NM. 4已知 Mx|x2 2,xR,给定下列关系:M;M;M;M. 其中正确的有_(填序号) 答案 解析 显然正确;中 与 M 的关系为元素与集合的关系,不应该用“”符号;中 与 M 的关系是集合与集合的关系,不应该用“”符号 5设 x,yR,A(x,y)|yx,B x,y y x1 ,则 A,B 准确的关系是_ 答案 BA 解析 因为 B x,y y x1 (x,y)|yx, 且 x0,故 BA. 1知识清单: (1)子集、真子集、维恩图的概念及集合间关系的判断 (2)求子集、真子集的个数问题 (3)由集合间的关系求参数的值或范围 2方法归纳:数形结合、分类讨论 3常见误区: 忽略对集合是否为空集的讨论,利用数轴解题时忽视是否能够取到端点