1、2019-2020 学年浙江省绍兴市学年浙江省绍兴市 XX 中学平行班高二（上）中学平行班高二（上）10 月段月段 考数学试卷考数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的） 1 （4 分）直线 l：x+y30 的倾斜角为（ ） A30 B60 C120 D90 2 （4 分）自点 A（1，4）作圆（x2）2+（y3）21 的切线，则切线长为（ ） A B3 C D5 3 （4 分）如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形
2、可能是（ ） A B C D 4 （4 分）与直线 2x+3y60 关于点（1，1）对称的直线方程是（ ） A2x+3y+80 B2x+3y+70 C3x2y120 D3x2y+20 5 （4 分）已知ABC 的平面直观图ABC，是边长为 a 的正三角形，那么原ABC 的面积为（ ） Aa 2 Ba 2 Ca 2 Da 2 6 （4 分）已知点 M（a，b） （ab0）是圆 x2+y2r2内一点，直线 g 是以 M 为中点的弦所 在直线，直线 l 的方程为 bxay+r20，则（ ） Alg，且 l 与圆相交 Blg，且 l 与圆相离 Clg，且 l 与圆相交 Dlg，且 l 与圆相离 7 （
3、4 分） 过点 A （11， 2） 作圆 x2+y2+2x4y1640 的弦， 其中弦长为整数的共有 （ ） A16 条 B17 条 C32 条 D34 条 8 （4 分）已知实数 x，y 满足，则 3x+4y 的最小值是（ ） A19 B17 C16 D14 9 （4 分）若一个正四面体的表面积为 S1，其内切球的表面积为 S2，则（ ） A B C D 10 （4 分）已知直线 x+y+m0 与圆 x2+y22 交于不同的两点 A、B，O 是坐标原点，|+ |，那么实数 m 的取值范围是（ ） A （2，2） B （2，2） C， D （2， 二二.填空题（本大题共填空题（本大题共 7 小
4、题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 28 分）分） 11 （4 分）设直线 l1： （a+1）x+3y+2a0，直线 l2：2x+（a+2）y+10若 l1l2，则实 数 a 的值为 ； 12 （4 分）过点 M（3，）且被圆 x2+y225 截得弦长为 8 的直线的方程为 13 （4 分）已知点 A（1，2） ，B（4，4） ，若点 C 在圆（x3）2+（y+6）29 上运动， 则ABC 的重心 G 的轨迹方程是 ； 14 （4 分）已知实数 x，y 满足条件，若存在实数 a 使得函数 zax+y（a0） 取到最大值 z（a）的解有无数个，则 a ，z（a） 15 （4 分）若方程k（
5、x2）+3 有两个不等的实根，则 k 的取值范围是 16 （4 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是 ； 17 （4 分）已知圆，圆，M，N 分别 是圆 C1，C2上的动点，P 为 y 轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为 三三.解答题（本大题共解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 52 分解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）分解答应写出文字说明、证明过程或演算过程） 18 （10 分）已知直线 l：kxy+32k0 （1）证明：直线恒过一定点，并求出该定点 P 的坐标； （2）若直线 l 与 x 轴、y 轴的正半轴分别相交于 A，B，求ABO 面积的最小值及此时直
6、线 l 的方程 19 （12 分）过点 P（1，2）作圆 x2+y24 的两条切线，切点分别为 A，B （1）求切线 PA，PB 的方程； （2）求PAB 的外接圆方程； （3）求直线 AB 的方程 20 （10 分）如图，在平面四边形 ABCD 中， 求四边形 ABCD 绕直线 AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积 21 （10 分）已知变量 x，y 满足条件求 （1）zx2+y210y+26 的最小值； （2）的取值范围 22 （10 分）已知圆 C：x2+y2+x6y+30，是否存在斜率为的直线 l，使得直线 l 被圆 截得的弦为 AB，且以 AB 为直径的圆经过原点 O？若存在，写出
7、直线 l 的方程，若不存 在，请说明理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的） 1 （4 分）直线 l：x+y30 的倾斜角为（ ） A30 B60 C120 D90 【分析】将直线方程化为斜截式方程，可得直线的斜率，再由斜率公式，即可得到所求 倾斜角 【解答】解：直线 l：x+y30， 可得 y3x， 即有直线的斜率为 k， 设倾斜角为 ， 即有 tan， 由 为钝角，可得 120，
8、故选：C 【点评】 本题考查直线的倾斜角， 注意运用直线的斜率与倾斜角的关系， 考查运算能力， 属于基础题 2 （4 分）自点 A（1，4）作圆（x2）2+（y3）21 的切线，则切线长为（ ） A B3 C D5 【分析】先设切点为 B，利用两点间的距离公式求出 AO 的长，在直角三角形中利用勾股 定理即可求出切线长 【解答】解：因为点 A（1，4） ，设切点为点 B，连接圆心 O（2，3）和点 B 得到 OB AB，圆的半径为 1，而斜边 AO 在直角三角形 OAB 中，根据勾股定理得：切线长 AB3 故选：B 【点评】考查学生理解直线与圆相切时，切线垂直于经过切点的直径，灵活运用两点间
9、的距离公式求线段长度，以及灵活运用勾股定理的能力 3 （4 分）如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是（ ） A B C D 【分析】由斜二测画法的规则可知：平行与 x轴的线在原图中平行于 x 轴，且长度不变 即可选出答案 【解答】解：设直观图中与 x轴和 y轴的交点分别为 A和 B， 根据斜二测画法的规则在直角坐标系中先做出对应的 A 和 B 点， 再由平行与 x轴的线在原图中平行于 x 轴，且长度不变， 作出原图可知选 C 故选：C 【点评】本题考查平面图形的直观图与原图的关系，属基础知识的考查 4 （4 分）与直线 2x+3y60 关于点（1，1）对称的直线方程是（ ） A2x
10、+3y+80 B2x+3y+70 C3x2y120 D3x2y+20 【分析】在所求直线上取点（x，y） ，可得关于点（1，1）对称的点的坐标，代入已知 直线方程，即可得到结论 【解答】解：在所求直线上取点（x，y） ，则关于点（1，1）对称的点的坐标为（2x， 2y） ， 代入直线 2x+3y60，可得 2（2x）+3（2y）60，整理得 2x+3y+80 故选：A 【点评】本题考查直线关于点的对称问题，考查学生的计算能力，属于基础题 5 （4 分）已知ABC 的平面直观图ABC，是边长为 a 的正三角形，那么原ABC 的面积为（ ） Aa 2 Ba 2 Ca 2 Da 2 【分析】根据斜二
11、测画法原理作出ABC 的平面图，求出三角形的高即可得出三角形的 面积 【解答】解：如图（1）所示的三角形 ABC为直观图， 取 BC所在的直线为 x轴，BC的中点为 O，且过 O与 x轴成 45的直线 为 y轴， 过 A点作 MAOy，交 x轴于点 M，则在直角三角形 AMO中，O Aa，AMO45， MOOAa，AMa 在 xOy 坐标平面内，在 x 轴上取点 B 和 C，使 OBOC， 又取 OMa，过点 M 作 x 轴的垂线，且在该直线上截取 MAa，连结 AB，AC， 则ABC 为直观图所对应的平面图形 显然，S ABCBCMAaaa 2 故选：C 【点评】本题考查了平面图形的直观图，
12、斜二测画法原理，属于中档题 6 （4 分）已知点 M（a，b） （ab0）是圆 x2+y2r2内一点，直线 g 是以 M 为中点的弦所 在直线，直线 l 的方程为 bxay+r20，则（ ） Alg，且 l 与圆相交 Blg，且 l 与圆相离 Clg，且 l 与圆相交 Dlg，且 l 与圆相离 【分析】根据点 M（a，b）是圆内一点得出 a2+b2r2； 写出直线 g 的方程，计算圆心到直线 l 的距离 d， 与半径 r 比较得出直线 l 与圆 O 的关系，再判断直线 lg 【解答】解：因为点 M（a，b） （ab0）是圆 x2+y2r2内一点， 所以 a2+b2r2； 又直线 g 的斜率为
13、y， 所以直线 g 的方程为 yb（xa） ， 即 ax+bya2+b2； 则圆心 O（0，0）到直线 l：bxay+r20 的距离为 dr， 所以直线 l 与圆 O 相离； 又 baab0， 所以直线 lg 故选：B 【点评】本题考查了直线与圆位置关系的应用问题，是中档题 7 （4 分） 过点 A （11， 2） 作圆 x2+y2+2x4y1640 的弦， 其中弦长为整数的共有 （ ） A16 条 B17 条 C32 条 D34 条 【分析】化简圆的方程为标准方程，求出弦长的最小值和最大值，取其整数个数 【解答】解：圆的标准方程是： （x+1）2+（y2）2132，圆心（1，2） ，半径 r
14、13 过点 A （11， 2） 的最短的弦长为 10， 最长的弦长为 26， （分别只有一条） 还有长度为 11， 12，25 的各 2 条，所以共有弦长为整数的 2+21532 条 故选：C 【点评】本题实际上是求弦长问题，容易出错的地方是：除最小最大弦长外，各有 2 条 8 （4 分）已知实数 x，y 满足，则 3x+4y 的最小值是（ ） A19 B17 C16 D14 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义，即可得到结论 【解答】解：作出不等式组 对应的平面区域如图中的点： 设 z3x+4y，由 z3x+4y 得 yx+z， 平移直线 yx+z， 由图象可知当直线 y
15、x+z 经过点 A 时，直线的截距最小， 此时 z 最小，由图可得 A（4，1） ， 此时 z12+416， 故选：C 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键 9 （4 分）若一个正四面体的表面积为 S1，其内切球的表面积为 S2，则（ ） A B C D 【分析】设正四面体 ABCD 的棱长为 a，利用体积分割法计算出内切球半径 r，从而得到 S2关于 a 的式子利用正三角形面积公式，算出正四面体的表面积 S1关于 a 的式子，由 此不难得出 S1与 S2的比值 【解答】解：设正四面体 ABCD 的棱长为 a，可得 等边三角形 ABC 的高等于a，底面中心将高分为
16、2：1 的两段 底面中心到顶点的距离为a 可得正四面体 ABCD 的高为 ha 正四面体 ABCD 的体积 VSABCaa3， 设正四面体 ABCD 的内切球半径为 r，则 4SABCra3，解得 ra 内切球表面积 S24r2 正四面体 ABCD 的表面积为 S14SABCa2， ， 故选：B 【点评】本题给出正四面体，求它的表面积与其内切球表面积的比值，着重考查了正四 面体的性质、球的表面积公式和多面体的外接、内切球半径等知识，属于中档题 10 （4 分）已知直线 x+y+m0 与圆 x2+y22 交于不同的两点 A、B，O 是坐标原点，|+ |，那么实数 m 的取值范围是（ ） A （2
17、，2） B （2，2） C， D （2， 【分析】设 AB 线段的中点为 C，可得|AC|，AOB90，可得 |OC|1，即 1，解不等式 2|m|，求得实数 m 的取值范围 【解答】解：设 AB 线段的中点为 C，则+2， 故|+|，即 2|， |AC|，AOC45，AOB90 当AOB90 时，|AB|R2，圆心到直线的距离|OC|1， 故当AOB90时，由题意可得 |OC|1，即1， 解得 2|m|，解得实数 m 的取值范围是（2，2） ， 故选：A 【点评】本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，绝对值不等式的解法， 得到 1，是解题的关键 二二.填空题（本大题共填空题（本大题
18、共 7 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 28 分）分） 11 （4 分）设直线 l1： （a+1）x+3y+2a0，直线 l2：2x+（a+2）y+10若 l1l2，则实 数 a 的值为 4 ； 【分析】由题意利用两条直线平行的性质，求出实数 a 的值 【解答】解：直线 l1： （a+1）x+3y+2a0，直线 l2：2x+（a+2）y+10若 l1l2， 当 a+20 时，直线 l1：x+3y+40，直线 l2：2x+10，不满足 l1l2，故 a+20 则有 ， 解得 a4， 故答案为：4 【点评】本题主要考查两条直线平行的性质，属于基础题 12 （4 分）过点 M（3，）且被
19、圆 x2+y225 截得弦长为 8 的直线的方程为 x+30 或 3x+4y+150 【分析】由圆的方程找出圆心的坐标及半径，由直线被圆截得的弦长，利用垂径定理得 到弦的一半，弦心距及圆的半径构成直角三角形，再根据勾股定理求出弦心距，一下分 两种情况考虑： 若此弦所在直线方程的斜率不存在， 显然 x3 满足题意； 若斜率存在， 设出斜率为 k，由直线过 P 点，由 P 的坐标及设出的 k 表示出直线的方程，利用点到直 线的距离公式表示出圆心到所设直线的距离d， 让d等于求出的弦心距列出关于k的方程， 求出方程的解得到 k 的值，进而得到所求直线的方程，综上，得到所有满足题意的直线 方程 【解答
20、】解：由圆的方程，得到圆心坐标为（0，0） ，半径 r5， 直线被圆截得的弦长为 8， 弦心距3， 若此弦所在的直线方程斜率不存在时，显然 x3 满足题意； 若此弦所在的直线方程斜率存在，设斜率为 k， 所求直线的方程为 y+k（x+3） ， 圆心到所设直线的距离 d3， 解得：k， 此时所求方程为 y+（x+3） ，即 3x+4y+150， 综上，此弦所在直线的方程为 x+30 或 3x+4y+150 故答案为：x+30 或 3x+4y+150 【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有垂径定理，勾股定理，点到直 线的距离公式，以及直线的斜截式方程，利用了分类讨论的思想，当直线与圆相
21、交时， 常常由弦心距，弦的一半及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题 13 （4 分）已知点 A（1，2） ，B（4，4） ，若点 C 在圆（x3）2+（y+6）29 上运动， 则ABC 的重心 G 的轨迹方程是 （x2）2+y21 ； 【分析】设 G（x，y） ，欲求ABC 的重心 G 的轨迹方程，即求出其坐标 x，y 的关系式 即可，利用重心坐标公式表示出点 C 的坐标，最后根据顶点 C 在圆（x3）2+（y+6）2 9 运动，得出关于 x，y 的方程即可 【解答】解：记 G（x，y） ，C（x0，y0） ，A（1，2） ，B（4，4） ， 由重心公式得：x，y， 于是有：x03
22、x3，y03y6， 而 C 点在圆（x3）2+（y+6）29 上运动， （3x33）2+（3y6+6）29，化简得： （x2）2+y21 故ABC 的重心 G 的轨迹方程是： （x2）2+y21 故答案为： （x2）2+y21 【点评】充分利用圆的几何性质挖掘出动点所满足的条件是本题的关键，本题直接将动 点满足的几何等量关系“翻译”成动点 x，y，得方程，即为所求动点的轨迹方程 14 （4 分）已知实数 x，y 满足条件，若存在实数 a 使得函数 zax+y（a0） 取到最大值 z（a）的解有无数个，则 a 1 ，z（a） 1 【分析】zax+y 可化为 yax+z，由题意作平面区域，从而利用
23、数形结合求解 【解答】解：zax+y 可化为 yax+z， 由题意作平面区域如下， 结合图象可知， yax+z 与直线 yx+1 重合， 故a1，z1， 故答案为：1，1 【点评】本题考查了学生的作图能力及数形结合的思想方法的应用，属于中档题 15 （4 分）若方程k（x2）+3 有两个不等的实根，则 k 的取值范围是 （， 【分析】 作函数 y与直线 yk （x2） +3 的图象， 从而利用几何意义求解即可 【解答】解：作函数 y与直线 yk（x2）+3 的图象如下， 函数 y的图象是半圆，直线 yk（x2）+3 的图象恒过点（2，3） ； 结合图象可知， 当过点（2，0）时，k， 当直线
24、yk（x2）+3 与半圆相切时， 2， 解得，k， 故 k 的取值范围是（， 故答案为： （， 【点评】 本题考查了函数的几何意义的应用及方程的根与函数的图象的交点的关系应用 16 （4 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是 ； 【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可 【解答】解：由题意可知：几何体是多面体，是长方体去掉利用三棱锥后的剩余部分， 如图：BE，EF， BF， 几 何 体 的 表 面 积 为 ： 2 1+2 3+2 1 3+2 15+ 故答案为：15+ 【点评】本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状，画出直观图是解题 的关键 1
25、7 （4 分）已知圆，圆，M，N 分别 是圆 C1，C2上的动点，P 为 y 轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为 【分析】求出 C2关于 y 轴的对称点 C3，根据|PM|+|PN|PC1|1+|PC2|2|C1C3|3， 求得最小值 【解答】解：如图所示， 设 C2（6，5）关于 y 轴的对称点为 C3，则 C3（6，5） ， |PM|+|PN|PC1|1+|PC2|2|C1C3|3333 则|PM|+|PN|的最小值为 33 故答案为：33 【点评】本题考查了直线与圆以及圆与圆的位置关系应用问题，是基础题 三三.解答题（本大题共解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 52 分解答应
26、写出文字说明、证明过程或演算过程）分解答应写出文字说明、证明过程或演算过程） 18 （10 分）已知直线 l：kxy+32k0 （1）证明：直线恒过一定点，并求出该定点 P 的坐标； （2）若直线 l 与 x 轴、y 轴的正半轴分别相交于 A，B，求ABO 面积的最小值及此时直 线 l 的方程 【分析】 （1）根据直线方程，可化成：k（x2）+3y0，当 k 的系数和 3y 都为 0 时，方程恒成立，可求得定点； （2）直线 l 与 x 轴、y 轴的正半轴分别相交于 A，B，则ABO 面积为，由 基本不等式可求得ABO 面积的最小值及此时直线 l 的方程 【解答】解： （1）证明：直线的方程
27、kxy+32k0即 k（x2）+3y0，当 时 k 无论取何值方程总成立；即， 恒过定点 P（2，3） （2）直线 l：kxy+32k0 与 x 轴、y 轴的正半轴分别相交于 A，B，由（1）知，k 0 令 x0，得，y32k；令 y0，得 x；k0k0； SABC12； 当且仅当4k时，即 k时，SABC有最小值 12 （SABC）min12 此时直线方程：3x+2y120 【点评】本题考查了直线过定点问题，函数求最值问题，数形结合解题是关键，属于基 础题 19 （12 分）过点 P（1，2）作圆 x2+y24 的两条切线，切点分别为 A，B （1）求切线 PA，PB 的方程； （2）求PA
28、B 的外接圆方程； （3）求直线 AB 的方程 【分析】 （1）直接利用点到直线的距离公式的应用求出直线的方程 （2）首先求出点 A、B、P 的坐标，进一步利用圆的一般式的应用，求出圆的方程 （3）利用圆与圆的位置关系式的应用求出直线的方程 【解答】解： （1）点 P（1，2）在圆 x2+y24 的外部，设过点 P 的切线方程外 y2k （x1） ， kxy+2k0，圆心 O（0，0）到直线的距离为 dr，即2， 化简得 3k2+4k0， 解得 k0 或 k， 当 k0 时，直线方程为 y20； 当 k时，直线方程为 y2（x1） ， 化为一般方程是 4x+3y100； 综上知，所求的切线方程
29、为：y2 或 4x+3y100； （2）由于直线 PA 与圆相切于（0，2） ， 另外，解得， 即 B（） ， 所以设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F0，经过 A、B、P 三点， ，解得：D1，E2，F0， 即：x2+y2x2y0 故外接圆的方程为 x2+y2x2y0 （3）由于直线 AB 经过圆 x2+y24 和 x2+y2x2y0， 所以两圆的方程相减得 x+2y40，即直线 AB 的方程为：x+2y40 【点评】本题考查的知识要点：直线与圆的位置关系式的应用，点到直线的距离公式的 应用，圆与圆的位置关系的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属 于基础题型 20 （10
30、 分）如图，在平面四边形 ABCD 中， 求四边形 ABCD 绕直线 AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积 【分析】由题意知所得几何体是一个圆台挖去一个圆锥，计算该几何体的表面积与体积 即可 【解答】解：由ADC，AB5，CD4，AD2， ECr2，DE2，BC5； 所得几何体是一个圆台挖去一个圆锥， 计算该几何体的表面积为 S表面积S圆台下底+S圆台侧+S圆锥侧 R2+（R+r）l+rl + （2+5）5+24 （120+8）； 体积为 VV圆台V圆锥（R2+r2+Rr）hr2h +2542 【点评】本题考查了旋转体的结构特征与表面积、体积的计算问题，是基础题 21 （10 分）已知变量
31、x，y 满足条件求 （1）zx2+y210y+26 的最小值； （2）的取值范围 【分析】先画出约束条件的可行域，然后分析 （1） （2）目标函数的几何意义，结合图 象，用数形结合的思想，即可求解 【解答】 解： （1） 作出可行域 zx2+ （y5） 2+1 它的几何意义是可行域内的点与 （0， 5） 点的距离的平方再加 1，要求最小值，转化为（0，5）到直线：xy+20 的距离的平方 加 1， （2）表示连线的斜率的 3 倍， ， 【点评】本题考查线性规划的简单应用，数形结合的应用，考查计算能力 22 （10 分）已知圆 C：x2+y2+x6y+30，是否存在斜率为的直线 l，使得直线 l
32、 被圆 截得的弦为 AB，且以 AB 为直径的圆经过原点 O？若存在，写出直线 l 的方程，若不存 在，请说明理由 【分析】假设所求直线存在，将条件以 AB 为直径的圆经过原点 O，转化为 OAOB通 过联立方程可求 【解答】解：假设存在，设直线方程为，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ； 由消去 y 得 5x2+（164b）x+4b224b+120； ，； 以 AB 为直径的圆经过原点 O，； 8b222b+150； 代入得0； 所求直线方程为 【点评】本题考查用待定系数法求圆的方程以及直线方程的方法，体现了分类讨论的数 学思想本题隐藏着 OAOB 这一条件，由 OAOB 得到 x1x2+y1y20，是本题的“题 眼”所在，由此根据这一重要信息点，采用“设而不求”法为解题带来了快捷效应除 此之外， 还应对求出的值进行必要的检验， 这是因为在求解过程中并没有确保有交点 A、 B 存在