1、 第第 3 章勾股定理检测卷章勾股定理检测卷 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 30 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1以下列各组数据为边长，可以构成直角三角形的是（ ） A3，5，6 B2，3，4 C1.5，2，2.5 D6，7，9 2在ABC 中，若B+C90，则（ ） ABCAB+AC BAC2AB2+BC2 CAB2AC2+BC2 DBC2AB2+AC2 3如图，分别以直角ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用 S1、S2、S3表示， 若 S27，S32，那么 S1（ ） A9 B5 C53 D45 4已知直角三角形的两条直角边的长分别为 3 和 5，则
2、斜边的长为（ ） A3 B4 C5 D 5在直角三角形 ABC 中，A：B：C2：m：4，则 m 的值是（ ） A3 B4 C2 或 6 D2 或 4 6如图，直线 ABCD，等腰直角三角形的直角顶点 E 在 AB 上，若1+290，则图 中与1 互余的角的个数是（ ） A5 B6 C7 D8 7如图，甲船以 20 海里/时的速度从港口 O 出发向西北方向航行，乙船以 15 海里/时的速 度同时从港口 O 出发向东北方向航行，则 2 小时后，两船相距（ ） A40 海里 B45 海里 C50 海里 D55 海里 8如图，RtABC 中，ACB90，AB5，AC3，把 RtABC 沿直线 BC
3、向右平移 3 个单位长度得到ABC，则四边形 ABCA的面积是（ ） A15 B18 C20 D22 9如图，用 4 个相同的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，若图中直角三角形较 短的直角边长是 5，小正方形的边长是 7，则大正方形的面积是（ ） A121 B144 C169 D196 10在直角三角形 ABC 中，C90，两直角边长及斜边上的高分别为 a，b，h，则下列 关系式成立的是（ ） A B Ch2ab Dh2a2+b2 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 24 分，每小题分，每小题 4 分）分） 11ABC 的三边分别是 6，8，10，则这个三角形的最大内角的
4、度数是 12在 RtABC 中，斜边 BC10，则 BC2+AB2+AC2 13如图，一架 2.5m 长的梯子斜靠在垂直的墙 AO 上，这时 AO 为 2m如果梯子的顶端 A 沿墙下滑 0.5m，那么梯子的底端 B 向外移动 m 14如图，RtABC 中，ACB90，AC12，BC5，延长 BC 至点 D，连接 AD，若 ABD 是以 AD 为其中一腰的等腰三角形，则线段 DC 的长等于 15如图，一根长 20cm 的吸管置于底面直径为 9cm，高为 12cm 的圆柱形水杯中，吸管露 在杯子外面的长度最短是 cm 16如图，已知 OB1，以 OB 为直角边作等腰直角三角形 A1BO，再以 OA
5、1为直角边作等 腰直角三角形 A2A1O，如此下去，则线段 OA2020的长度为 三解答题（共三解答题（共 8 小题，满分小题，满分 66 分）分） 17 （7 分）学校校内有一块如图所示的三角形空地 ABC，其中 AB13 米，BC14 米，AC 15 米，计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米造价为 60 元，学校修建这个花园需要投资多少元？ 18 （7 分）如图，四边形 ABCD 中，ABAD，已知 AD3cm，AB4cm，CD12cm，BC 13cm，求四边形 ABCD 的面积 19 （7 分）如图，ABCDBE，CBE60，DCB30求证：DC2+BE2AC2
6、20 （8 分）我们规定：三角形任意一条边的“线高差”等于这条边与这条边上的高之差如 图，在ABC 中，CD 为 AB 边上的高，AB 的“线高差”等于 ABCD，记为 h（AB） （1）如图，在ABC 中，ABAC，ADBC，垂足为 D，AD6，BD4，则 h（BC） ； （2）如图，在ABC 中，C90，AC6，BC8，求 h（AB） 21 （8 分）在一条东西走向河的一侧有一村庄 C，河边原有两个取水点 A，B，其中 AB BC，由于某种原因，由 C 到 B 的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建 一个取水点 D（A、D、B 在同一条直线上） ，并新修一条路 CD，测得 CA
7、6.5 千米，CD 6 千米，AD2.5 千米 （1）问 CD 是否为从村庄 C 到河边最近的路？请通过计算加以说明； （2）求原来的路线 BC 的长 22 （8 分）两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图 1 所示放置，图 2 是由它抽象出的 几何图形，B，C，E 在同一条直线上，连结 DC （1）请找出图 2 中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母） ； （2）证明：DCBE 23 （10 分）如图，ABC 中，ACB90，AB10，BC6，若点 P 从点 A 出发，以每 秒 1 个单位长度的速度沿折线 ACBA 运动，设运动时间为 t 秒（t0） （1）若点 P 在
8、 AC 上，且满足 PAPB 时，求此时 t 的值； （2）若点 P 恰好在BAC 的平分线上，求 t 的值 24 （11 分） （1）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导 或验证公式，俗称“无字证明” ，例如，著名的赵爽弦图（如图，其中四个直角三角形 较大的直角边长都为 a，较小的直角边长都为 b，斜边长都为 c） ，大正方形的面积可以表 示为 c2， 也可以表示为 4ab+ （ab） 2， 所以 4 ab+ （ab） 2c2， 即 a2+b2c2 由 此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为 a，b，斜边长为 c，则 a2+b2 c2图为美国第二十任
9、总统伽菲尔德的“总统证法” ，请你利用图推导勾股定理 （2）试用勾股定理解决以下问题： 如果直角三角形 ABC 的两直角边长为 3 和 4，则斜边上的高为 （3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a2b）2a24ab+4b2，画在上面的网格 中，并标出字母 a，b 所表示的线段 参考答案参考答案 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 30 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1解：A、32+5262，不可以构成直角三角形； B、22+3242，不可以构成直角三角形； C、1.52+222.52，可以构成直角三角形； D、62+7292，不可以构成直角三角形 故选：C 2解：在
10、ABC 中，若B+C90， A90， BC2AB2+AC2， 故选：D 3解：在 RtABC 中，AB2BC2+AC2， S1AB2，S2BC2，S3AC2， S1S2+S3 S27，S32， S17+29 故选：A 4解：直角三角形的两条直角边的长分别为 3 和 5， 斜边的长为： 故选：D 5解：设A、B、C 的度数分别为 2x、mx、4x， 当C 为直角时，2x+mx4x， 解得，m2， 当B 为直角时，2x+4xmx， 解得，m6， 故选：C 6解：FEG 是等腰直角三角形， FEG90， 1+390， 直线 ABCD， 378，4256， 1+290， 2345678， 图中与1 互
11、余的角的个数是 7 个， 故选：C 7解： 两船行驶的方向是西北方向和东北方向， BOC90， 两小时后，两艘船分别行驶了 20240 海里，15230 海里， 根据勾股定理得：50（海里） 故选：C 8解：把 RtABC 沿直线 BC 向右平移 3 个单位长度得到ABC， ABAB5， ACAC3， ACBACB90，AACC3， BC4，ACAC， 四边形 ACCA是矩形， 四边形 ABCA的面积（AA+BC） AC（3+4+3）315， 故选：A 9解：直角三角形较短的直角边长是 5，小正方形的边长是 7， 直角三角形的较长直角边5+712， 直角三角形斜边长13， 大正方形的边长是 1
12、3， 大正方形的面积是 1313169 故选：C 10解：设斜边为 c，根据勾股定理得出 c， abch， abh，即 a2b2a2h2+b2h2， +， 即 故选：B 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 24 分，每小题分，每小题 4 分）分） 11解：62+82102， 以 6，8，10 为边能组成直角三角形， 最大的角的度数是 90， 故答案为：90 12解：在 RtABC 中，斜边 BC10， AB2+AC2BC2100， BC2+AB2+AC22BC2200 故答案是：200 13解：RtOAB 中，AB2.5m，AO2m， OBm； 同理，RtOCD 中， CD2.
13、5m，OC20.51.5m， ODm， BDODOB21.50.5（m） 答：梯子底端 B 向外移了 0.5 米， 故答案为：0.5 14解：RtABC 中，ACB90，AC12，BC5， AB13 ABD 是以 AD 为其中一腰的等腰三角形， 分两种情况： 当 ADAB 时， ACBD， DCBC5； 当 ADBD 时， 设 DCx，则 ADBD5+x RtADC 中，ACD90， DC2+AC2AD2，即 x2+122（5+x）2， 解得 x 综上所述，线段 DC 的长等于 5 或 故答案为：5 或 15解：如图，当吸管、底面直径、杯子的高恰好构成直角三角形时，h 最短， 此时 AB（cm
14、） ， 故 h最短20155（cm） ； 故答案为：5 16解：OBA1为等腰直角三角形，OB1， BA1OB1，OA1OB， OA1A2为等腰直角三角形， A1A2OA1，OA2OA12， OA2A3为等腰直角三角形， A2A3OA22，OA3OA22， OA3A4为等腰直角三角形， A3A4OA32，OA4OA34， OA4A5为等腰直角三角形， A4A5OA44，OA5OA44， OA5A6为等腰直角三角形， A5A6OA54 2，OA6OA58 OAn的长度为（）n 当 n2020 时，OA2020（）202021010 故答案为：21010 三解答题（共三解答题（共 8 小题，满分小
15、题，满分 66 分）分） 17解：过点 A 作 ADBC 于点 D，设 BDx，则 CD14x， 在 RtABD 与 RtACD 中， AD2AB2BD2，AD2AC2CD2， AB2BD2AC2CD2，即 132x2152（14x）2，解得 x5， AD2AB2BD213252144， AD12（米） ， 学校修建这个花园的费用5040（元） 答：学校修建这个花园需要投资 5040 元 18解：连接 BD， AD4cm，AB3cm，ABAD， BD5（cm） SABDABAD6（cm2） 在BDC 中，52+122132，即 BD2+BC2CD2， BDC 为直角三角形，即DBC90， SD
16、BCBDBC30（cm2） S四边形ABCDSBDCSABD30624（cm2） 答：四边形 ABCD 的面积为 24cm2 19证明：ABCDBE， BEBC，ACED； 连接 EC则BCE 为等边三角形， BCCE，BCE60， DCB30， DCE90， 在 RtDCE 中， DC2+CE2DE2， DC2+BE2AC2 20解： （1）在ABC 中，ABAC，ADBC， BC2BD248， h（BC）BCAD2， （2）在ABC 中，C90，AC6，BC8， AB， h（AB）104.85.2， 故答案为： （1）2 21解： （1）是， 理由：62+2.526.52， CD2+AD2
17、AC2， ADC 为直角三角形， CDAB， CD 是从村庄 C 到河边最近的路； （2）设 BCx 千米，则 BD（x2.5）千米， CDAB， 62+（x2.5）2x2， 解得：x8.45， 答：路线 BC 的长为 8.45 千米 22 （1）ABEACD 证明：ABC 与AED 均为等腰直角三角形， ABAC，AEAD，BACEAD90 BAC+CAEEAD+CAE 即BAECAD， 在ABE 与ACD 中， ， ABEACD； （2）证明ABEACD， ACDABE45， 又ACB45， BCDACB+ACD90， DCBE 23解： （1）如图 1，PAPB， 在 RtACB 中，
18、设 APt，则 PC8t， 在 RtPCB 中，依勾股定理得： （8t）2+62t2， 解得， 即此时 t 的值为； （2）分两种情况： 点 P 在 BC 上时，如图 2 所示：过点 P 作 PEAB， 则 PCt8，PB14t， AP 平分BAC 且 PCAC PEPC 在ACP 与AEP 中， ACPAEP（AAS） ， AEAC8， BE2， 在 RtPEB 中，依勾股定理得：PE2+EB2PB2 即： （t8）2+22（14t）2 解得：； 点 P 又回到 A 点时， AC+BC+AB8+6+1024， t24； 综上所述，点 P 在BAC 的平分线上时，t 的值为秒或 24 秒 24解： （1）梯形 ABCD 的面积为（a+b） （a+b）a2+ab+b2， 也利用表示为ab+c2+ab， a2+ab+b2ab+c2+ab， 即 a2+b2c2； （2）直角三角形的两直角边分别为 3，4， 斜边为 5， 设斜边上的高为 h，直角三角形的面积为345h， h， 故答案为； （3）图形面积为： （a2b）2a24ab+4b2， 边长为 a2b， 由此可画出的图形为：