1、 第第 4 章相似三角形单元测试题章相似三角形单元测试题 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 36 分）分） 1下列各组线段中，成比例的是（ ） A2cm，3cm，4cm，5cm B2cm，4cm，6cm，8cm C3cm，6cm，8cm，12cm D1cm，3cm，5cm，15cm 2若 2x3y，且 x0，则的值为（ ） A B C D 3若，则的值是（ ） A B C16 D 4如图，直线 abc，则下列结论不正确的为（ ） A B C D 5如图，在ABC 中，DEAB，且，则的值为（ ） A B C D 6如图，已知：ABCDAC，B36，D117，BAD 的度数为
2、（ ） A36 B117 C143 D153 7如图，在ABC 中，AC3，BC6，D 为 BC 边上的一点，且BACADC若ADC 的面积为 a，则ABC 的面积为（ ） A4a Ba Ca D2a 8有下列四种说法：其中说法正确的有（ ） 两个菱形相似； 两个矩形相似； 两个平行四边形相似； 两个正方形相似 A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 9如图，顽皮的小聪在小芳的作业本上用红笔画了个“” （作业本中的横格线都平行，且 相邻两条横格线间的距离都相等） ，A、B、C、D、O 都在横格线上，且线段 AD、BC 交 于点 O若线段 AB4cm，则线段 CD 长为（ ） A4cm B5cm
3、 C6cm D8cm 10如图，在ABCD 中，AB10，AD15，BAD 的平分线交 BC 于点 E，交 DC 的延长 线于点 F，BGAE 于点 G，若 BG8，则CEF 的周长为（ ） A16 B17 C24 D25 11如图，两个三角形是以点 P 为位似中心的位似图形，则点 P 的坐标是（ ） A （3，2） B （3，1） C （2，3） D （2，3） 12如图，点 P 是矩形 ABCD 内一点，连接 PA、PB、PC、PD，已知 AB3，BC4，设 PAB、PBC、PCD、PDA 的面积分别为 S1、S2、S3、S4，以下判断： PA+PB+PC+PD 的最小值为 10；若PAB
4、PCD，则PADPBC； 若 S1S2，则 S3S4；若PABPDA，则 PA2.4其中正确的是（ ） A B C D 二填空题（共二填空题（共 8 小题，满分小题，满分 24 分）分） 13在一幅比例尺是 1：6000000 的图纸上，量得两地的图上距离是 2 厘米，则两地的实际 距离是 千米 14已知（z0） ，则 x：y 15如图，l1l2l3，两条直线与这三条平行线分别交于点 A、B、C 和 D、E、F，已知 ，则的值为 16如图，在 RtABC 中，C90，以顶点 A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 AB， AC 于点 N，M，再分别以点 M，N 为圆心，大于 MN 长为半径画弧，
5、两弧交于点 P，射 线 AP 交边 BC 于点 D，若DACABC，则B 度 17在平面直角坐标系中，抛物线 yx+2 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，点 D 在该抛物线上，且位于直线 AC 的上方，过点 D 作 DFAC 于点 F，连结 CD， 若CFD 与AOC 相似，则点 D 的坐标是 18若ABCDEF，相似比为 3：2，则对应周长的比值是 19用杠杆撬石头的示意图如图所示，P 是支点，当用力压杠杆的 A 端时，杠杆绕 P 点转 动，另一端 B 向上翘起，石头就被撬动现有一块石头要使其滚动，杠杆的 B 端必须向 上翘起 8cm，已知杠杆的动力臂 AP 与阻力臂 BP
6、 之比为 4：1，要使这块石头滚动，至少 要将杠杆的 A 端向下压 cm 20如图，OAB 与ODC 是以点 O 为位似中心的位似图形，相似比为 1：2，若点 B 的 坐标为（2，1） ，则点 C 的坐标为 三解答题（共三解答题（共 7 小题，满分小题，满分 60 分）分） 21如图，小明同学用自制的直角三角形纸板 DEF 测量树的高度 AB，他调整自己的位置， 设法使斜边DF保持水平， 并且边DE与点B在同一直线上 已知纸板的两条边DF50cm， DE40cm，测得边 DF 离地面的高度 AC1.5m，CD12m，求树高 AB 22（1） 如图， 在ABC 中， ABm， ACn （nm）
7、， 点 P 在边 AC 上 当 AP 时， APBABC； （2）如图，已知DEF（DEDF） ，请用直尺和圆规在直线 DF 上求作一点 Q，使 DE 是线段 DF 和 DQ 的比例中项 （保留作图痕迹，不写作法） 23如图，在正方形网格中，四边形 TABC 的顶点坐标分别为：T（1，1） ，A（2，3） ，B（3， 3） ，C（4，2） （1）以点 T 为位似中心，在位似中心的同侧将四边形 TABC 放大为原来的 2 倍，放大后 点 A、B、C 的对应点分别为 A、B、C，画出四边形 TABC （2）写出点 A、B、C的坐标： A（ ） ，B（ ） ，C（ ） 24如图，在矩形 ABCD 中
8、，AEBD 于点 E，点 P 是边 AD 上一点，已知 PEEC （1）求证：AEPDEC； （2）若 AB3，BC5，求 AP 的长 25如图，将ABC 绕点 A 旋转至ABC的位置，点 B刚好在 BC 上，连接 CC，AC，BC 交 AC 于点 E （1）请写出图中所有的相似三角形 （不包括全等） ； （2）求证：BACC 26如图，RtABC，C90，AC10cm，BC8cm点 P 从点 C 出发，以 2cm/s 的速 度沿 CA 向点 A 匀速运动，同时点 Q 从点 B 出发，以 1cm/s 的速度沿 BC 向点 C 匀速运 动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止 （1）求经过几秒后
9、，PCQ 的面积等于ABC 面积的？ （2）经过几秒，PCQ 与ABC 相似？ 27 在正方形 ABCD 中， 点 M 是射线 BC 上一点， 点 N 是 CD 延长线上一点， 且 BMDN 直 线 BD 与 MN 相交于 E （1）如图 1，当点 M 在 BC 上时，求证：BD2DEBM； （2）如图 2，当点 M 在 BC 延长线上时，连接 BN 交 AD 于点 F若 DE，且 AB： ND1：2 时，求线段 BN 的长 参考答案参考答案 一选择题（共一选择题（共 12 小题）小题） 1解：A、2534，选项 A 不成比例； B、2846，选项 B 不成比例； C、31268，选项 C 不
10、成比例； D、11535，选项 D 成比例 故选：D 2解：2x3y，且 x0， 两边除以 2y 得：， 11， 故选：C 3解：， 设 a2x，则 b3x，c4x， 故原式 故选：B 4解：A、abc， ，本选项结论正确，不符合题意； B、abc， ，本选项结论正确，不符合题意； C、abc， ，本选项结论正确，不符合题意； D、连接 AF，交 BE 于 H， bc， ABHACF， ，本选项结论不正确，符合题意； 故选：D 5解：DEAB， ， 的值为， 故选：A 6解：ABCDAC， DACB36，BACD117， BADDAC+BAC153， 故选：D 7解：ACDBCA，BACADC
11、 CADCBA， （）2（）24， SABC4a 故选：A 8解：两个菱形不一定相似，因为对应角不一定相等； 两个矩形不一定相似，因为对应边不一定成比例； 两个平行四边形不一定相似，因为形状不一定相同； 两个正方形相似，正确 故选：D 9解：如图，过点 O 作 OEAB 于点 E，OFCD 于点 F，则 OE、OF 分别是AOB、 DOC 的高线， 练习本中的横格线都平行， AOBDOC， ，即， CD6cm 故选：C 10解：在ABCD 中，CDAB10，BCAD15，BAD 的平分线交 BC 于点 E， ABDC，BAFDAF， BAFF， DAFF， DFAD15， 同理 BEAB10，
12、 CFDFCD15105； 在ABG 中，BGAE，AB10，BG8， 在 RtABG 中，AG6， AE2AG12， ABE 的周长等于 10+10+1232， 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCF， CEFBEA，相似比为 5：101：2， CEF 的周长为 16 故选：A 11解：如图点 P 为位似中心， ，即， 解得，PB3， 点 P 的坐标为（3，2） ， 故选：A 12解：当点 P 是矩形 ABCD 两对角线的交点时，PA+PB+PC+PD 的值最小，根据勾股 定理得，ACBD5，所以 PA+PB+PC+PD 的最小值为 10，故正确； 若PABPCD，则 PAPC，PBPD
13、，所以 P 在线段 AC、BD 的垂直平分线上， 即 P 是矩形 ABCD 两对角线的交点，所以PADPBC，故正确； 如图，若 S1S2， 过点 P 作 PHBC 于 H，HP 的延长线交 AD 于 G， 则 PGAD 四边形 ABHG 是矩形， GHAB， S2+S4ADPH+BCPGBC （PH+PG）BCGHBCAB， 过点 P 作 PMAB 于 M，MP 的延长线交 CD 于 N， 同理 S1+S3BCAB， S1+S3S2+S4，则 S3S4，故正确； 若PABPDA， 则PABPDA，PAB+PADPDA+PAD90，APD 180（PDA+PAD）90，同理可得APB90，那么
14、BPD180，B、 P、D 三点共线，PA 是直角BAD 斜边上的高，根据面积公式可得 PA2.4，故正确 故选：D 二填空题（共二填空题（共 8 小题）小题） 13解：因为比例尺， 所以实际距离2600000012000000（厘米） ， 12000000 厘米120 千米 故答案为：120 14解：原方程组化为：， +得：5x3z， 解得：xz， 把 xz 代入得：zyz， 解得：yz， 所以 x：y（z） ： （z）3：4， 故答案为：3：4 15解：l1l2l3， ， ， ， 16解：由作图可知，AD 平分CAB， CADDAB， DACABC， CADB， CAB2B， CAB+B9
15、0， 3B90， B30， 故答案为 30 17解：AOCDFC90， 若DCFACO 时，DCFACO， 如图 1，过点 D 作 DGy 轴于点 G，过点 C 作 CQDC 交 x 轴于点 Q， DCQAOC， DCF+ACQ90，即ACO+ACQ90， 而ACO+CAO90， ACQCAO， QAQC， 设 Q（m，0） ，则 m+4，解得 m， Q（，0） ， QCO+DCG90，QCO+CQO90， DCGCQO， RtDCGRtCQO， ，即， 设 DG4t，CG3t，则 D（4t，3t+2） ， 把 D（4t，3t+2）代入 yx2x+2 得8t2+6t+23t+2， 整理得 8t
16、23t0，解得 t10（舍去） ，t2， D（，） ； 当DCFCAO 时，DCFCAO，则 CDAO， 点 D 的纵坐标为 2， 把 y2 代入 yx2x+2 得x2x+22，解得 x13，x20（舍去） ， D（3，2） ， 综上所述，点 D 的坐标为（，）或（3，2） 故答案为： （，）或（3，2） 18解：ABCDEF，相似比为 3：2， 对应周长的比值为 3：2， 故答案为：3：2 19解：如图：AM、BN 都与水平线垂直，即 AMBN； 易知：APMBPN； ， 杠杆的动力臂 AP 与阻力臂 BP 之比为 5：1， ，即 AM4BN； 当 BN8cm 时，AM32cm； 故要使这块
17、石头滚动，至少要将杠杆的端点 A 向下压 32cm 故答案为：32 20解：OAB 与ODC 是以点 O 为位似中心的位似图形，相似比为 1：2，点 B 的坐 标为（2，1） ， 点 C 的横纵坐标都乘以2，即 C 点坐标为： （4，2） 故答案为： （4，2） 三解答题（共三解答题（共 8 小题）小题） 21解：在 RtDEF 中，DE2+EF2DF2， 即：402+EF2502， EF30， 由题意得：BCDDEF90，CDBEDF， DCBDEF， ， EF30cm0.3m，DE40cm0.4m，CD12m， ， 解得：BC9 米， AC1.5m， ABAC+BC1.5+910.5m 2
18、2 （1）解：APBABC， ， ， AP， 故答案为 （2）解：作DEQF 如图点 Q 就是所求作的点 23解： （1）如图所示：四边形 TABC即为所求 （2）A（3，5） ，B（5，5） ，C（7，3） 故答案为： （3，5） ； （5，5） ； （7，3） 24 （1）证明：AEBD，PEEC， AEDPEC90， AEPDEC， EAD+ADE90，ADE+CDE90， EAPEDC， AEPDEC； （2）解：在 RtADE 和 RtBAE 中， AEBAED90， 又DAE+BAE90， DAE+ADE90， BAEADE， AEBAED， ， 由（2）知，AEPDEC， ， 即
19、， AP 25 解： （1） 由旋转的性质可知： BABC， ACBACB， ABAB， AC AC， CACCBC， BACBAC， BABCAC， BABBABCACC， BACBCC， ABECCE，ABBACC， 故答案为：ABECCE，ABBACC，AECBEC； （2）由题意可知：ABAB，ACAC，BACBAC， BABCAC，BABB，ACCACC， ， 即BACC 26解： （1）设经过 x 秒，PCQ 的面积等于ABC 面积的， ， 解得：x1x24， 答：经过 4 秒后，PCQ 的面积等于ABC 面积的； （2）设经过 t 秒，PCQ 与ABC 相似， 因为CC， 所以分
20、为两种情况：， ， 解得：t； ， ， 解得：t； 答：经过秒或秒时，PCQ 与ABC 相似 27解： （1）如图 1，过点 M 作 MFBC 交 BD 于点 F， 四边形 ABCD 是正方形， C90， FMCD， NDEMFE， FMBM， BMDN， FMDN， 在EFM 和EDN 中， ， EFMEDN（AAS） ， EFED， BD2DEBF， 根据勾股定理得：BFBM， 即 BD2DEBM； （2）过点 M 作 MFBC 交 BD 的延长线于点 H， 四边形 ABCD 是正方形， BCD90， HMCD， NDEMHE， HMBM， BMDN， HMDN， NEDMEH， EHMEDN（AAS） ， EHED， BD+2DEBF， 根据勾股定理得：BFBM， 即 BD+2DEBM， BDBC， DE， CM2， AB：ND1：2， CD：ND1：2， 即 CD： （CD+2）1：2， 解得 CD2， ND4， CNCD+ND6，