1、二二 极坐标系极坐标系 第第 1 课时课时 极坐标系的概念极坐标系的概念 学习目标 1.了解极坐标系的实际背景.2.理解极坐标系的概念.3.理解极坐标的多值性 知识点 极坐标系 思考1 某同学说他家在学校东偏北60 ， 且距学校1公里处， 那么他说的位置能惟一确定吗？ 这个位置是由哪些量确定的？ 答案 能惟一确定；位置是由角和距离两个量确定的 思考 2 类比平面直角坐标系，怎样建立用角与距离确定平面上点的位置的坐标系？ 答案 选一个点 O 为基点，射线 OA 为参照方向 梳理 极坐标系的概念 (1)极坐标系的定义 取极点：平面内取一个定点 O； 作极轴：自极点 O 引一条射线 Ox； 定单位：
2、选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向) (2)点的极坐标 定义：有序数对(，)叫做点 M 的极坐标，记为 M(，)； 意义：|OM|，即极点 O 与点 M 的距离(0) xOM，即以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角 类型一 由极坐标画出点 例 1 根据下列极坐标作出各点 (1)A 1， 3 ，B 2， 3 ，C 3， 3 ； (2)D 2， 6 ，E 2， 2 ，F 2，2 3 ，G 2， 3 . 解 如图， 反思与感悟 由极坐标作点，先由极角线找点所在角的终边，再由极径确定点的位置通过 作点可以看出“极角确定，极径变，点在一条线”，“极径不变，极
3、角变，点在圆上转” 跟踪训练 1 根据下列极坐标，作出各点 A(5,0)，B 3， 6 ，C 4，3 2 ，D 2，3 2 . 解 在极坐标系中，点 A，B，C，D 的位置是确定的 类型二 求点的极坐标 例 2 设点 A 2， 3 ，直线 l 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点 A 关于极轴，直线 l， 极点的对称点的极坐标(限定 0，) 解 如图所示， 关于极轴的对称点为 B 2， 3 . 关于直线 l 的对称点为 C 2，2 3 . 关于极点 O 的对称点为 D 2，2 3 . 引申探究 1若将极角 限定为 00,00，0,2) 解 作出图形，可知 A 3， 6 关于直线 2的对称点是
4、3，5 6 . 类型三 极坐标系中两点间的距离 例 3 在极坐标系中，点 O 为极点，已知点 A 6， 6 ，B 6，2 3 ，求|AB|的值 解 如图AOB2 3 6 2， AOB 为直角三角形， |AB|OA|2|OB|26 2. 引申探究 在本例条件不变的情况下，求 AB 的中点的极坐标 解 取 AB 的中点 M，连接 OM， 在AOB 中，AOB 2，OAOB， AOM 4，xOM 4 6 5 12. 又|OM|6cos 43 2， M 的极坐标为 3 2，5 12 . 反思与感悟 在极坐标系中，如果 P1(1，1)，P2(2，2)，那么两点间的距离公式|P1P2| 2122212co
5、s12的两种特殊情形为 当 122k，kZ 时，|P1P2|12|； 当 122k，kZ 时，|P1P2|12|. 跟踪训练 3 (1)在极坐标系中， 已知两点 P 3，2 3 ， Q 4， 6 ， 则线段 PQ 的长度为_ 答案 5 解析 作出图形，如图所示，可知 OP 与 OQ 垂直，所以线段 PQ 的长度|PQ| 32425. (2)在极坐标系中，若ABC 的三个顶点为 A 5，5 2 ，B 8，5 6 ，C 3，7 6 ，判断三角形的 形状 解 因为|AB|25282258cos 5 2 5 6 49， |AC|25232253cos 5 2 7 6 49， |BC|28232283c
6、os 5 6 7 6 49. 所以ABC 是等边三角形 1极坐标系中，下列与点(1，)相同的点为( ) A(1,0) B(2，) C(1,2 016) D(1,2 017) 答案 D 2点 M 的直角坐标是(1， 3)，则点 M 的极坐标为( ) A. 2， 3 B. 2， 3 C. 2，2 3 D. 2，2k 3 (kZ) 答案 C 3在极坐标系中，与点 3， 3 关于极轴所在直线对称的点的极坐标是( ) A. 3，2 3 B. 3， 3 C. 3，4 3 D. 3，5 3 答案 B 解析 根据极坐标的对称关系知，点 3， 3 关于极轴所在直线对称的点的极坐标是 3， 3 . 4在极坐标系中，已知 A 1，3 4 ，B 2， 4 两点，则|AB|_. 答案 5 解析 |AB| 1222212cos 3 4 4 5. 1极坐标系的四要素 极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向四者缺一不可 2在极坐标系中找点的位置，应先确定极角，再确定极径，最终确定点的位置 3确定点的极坐标的方法 点 P 的极坐标的一般形式为(，2k)，kZ，则 (1) 为点 P 到极点的距离，是个定值 (2)极角为满足 2k，kZ 的任意角，不惟一，其中 是始边在极轴上，终边过 OP 的任 意一个角，一般取绝对值较小的角