1、一一 平面直角坐标系平面直角坐标系 学习目标 1.了解平面直角坐标系的组成，领会坐标法的应用.2.理解平面直角坐标系中的伸 缩变换.3.能够建立适当的平面直角坐标系，运用解析法解决数学问题. 知识点一 平面直角坐标系 思考 1 在平面中，你最常用的是哪种坐标系？坐标的符号有什么特点？ 答案 直角坐标系；在平面直角坐标系中，第一象限内的点的横纵坐标均为正，第二象限内 的点的横坐标为负，纵坐标为正，第三象限内的点的横纵坐标均为负，第四象限内的点的横 坐标为正，纵坐标为负. 思考 2 坐标法解问题的关键是什么？如何建立恰当的坐标系？ 答案 建立平面直角坐标系；通常选图形的特殊点为坐标原点，边所在直线
2、为坐标轴.比如， 对称中心为图形的顶点，为原点，对称轴边所在直线为坐标轴. 梳理 (1)平面直角坐标系的概念 定义：在同一个平面上相互垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称直角 坐标系. 相关概念： 数轴的正方向：水平放置的数轴向右的方向、竖直放置的数轴向上的方向分别是数轴的正方 向. x 轴或横轴：坐标轴水平的数轴. y 轴或纵轴：坐标轴竖直的数轴. 坐标原点：坐标轴的公共点 O. 对应关系：平面直角坐标系内的点与有序实数对(x，y)之间一一对应. (2)坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步，建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中 涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二
3、步，通过代数运算解决代数问题；第三 步：把代数运算结果翻译成几何结论. 知识点二 平面直角坐标系中的伸缩变换 思考 1 如何由 ysin x 的图象得到 y3sin 2x 的图象？ 答案 ysin x 横坐标缩为原来的1 2 纵坐标不变 ysin 2x 纵坐标伸长为原来的3倍 横坐标不变 y3sin 2x. 思考 2 伸缩变换一定会改变点的坐标和位置吗？ 答案 不一定，伸缩变换对原点的位置没有影响.但是会改变除原点外的点的坐标和位置，但 是象限内的点伸缩变换后仍在原来的象限. 梳理 平面直角坐标系中伸缩变换的定义 (1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩变换就可归结为坐标的伸缩变
4、换， 这就是用代数方法研究几何变换. (2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换： 设点 P(x， y)是平面直角坐标系中任意一点， 在变换 ： xx0， yy0 的作用下，点 P(x，y)对应到点 P(x，y)，称_为平面直角坐标系中 的坐标伸缩变换，简称伸缩变换. 类型一 坐标法的应用 命题角度 1 研究几何问题 例 1 已知ABC 中，ABAC，BD，CE 分别为两腰上的高，求证：BDCE. 证明 如图， 以 BC 所在直线为 x 轴，BC 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系. 设 B(a,0)，C(a,0)，A(0，h). 则直线 AC 的方程为 yh axh， 即 hxayah0.
5、直线 AB 的方程为 yh axh， 即 hxayah0. 由点到直线的距离公式，得 |BD| |2ah| a2h2，|CE| |2ah| a2h2 . |BD|CE|，即 BDCE. 反思与感悟 根据图形的几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则：如果图形有对称中 心，选对称中心为原点；如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴；使图形上的特殊 点尽可能多地在坐标轴上. 跟踪训练 1 在ABCD 中，求证：|AC|2|BD|22(|AB|2|AD|2). 证明 如图，以 A 为坐标原点，AB 所在的直线为 x 轴，建立平面直角坐标系. 设 B(a，0)，C(b，c)， 则 AC 的中心 E b 2
6、， c 2 ， 由对称性知 D(ba，c)， 所以|AB|2a2，|AD|2(ba)2c2， |AC|2b2c2，|BD|2(b2a)2c2， |AC|2|BD|24a22b22c24ab 2(2a2b2c22ab)， |AB|2|AD|22a2b2c22ab， 所以|AC|2|BD|22(|AB|2|AD|2). 命题角度 2 求轨迹方程 例 2 如图，圆 O1与圆 O2的半径都是 1，|O1O2|4，过动点 P 分别作圆 O1，圆 O2的切线 PM，PN(M，N 分别为切点)，使得|PM| 2|PN|，试建立适当的坐标系，并求动点 P 的轨迹 方程. 解 如图，以直线 O1O2为 x 轴，
7、线段 O1O2的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系，则 O1(2,0)，O2(2,0). 设 P(x，y)，则 |PM|2|O1P|2|O1M|2(x2)2y21， |PN|2|O2P|2|O2N|2(x2)2y21. |PM| 2|PN|，|PM|22|PN|2， (x2)2y212(x2)2y21， 即 x212xy230，即(x6)2y233. 动点 P 的轨迹方程为(x6)2y233. 反思与感悟 建立坐标系的几个基本原则：尽量把点和线段放在坐标轴上；对称中心一 般放在原点；对称轴一般作为坐标轴. 跟踪训练 2 在ABC 中，B(3,0)，C(3,0)，直线 AB，AC 的斜率之
8、积为4 9，求顶点 A 的轨 迹方程. 解 设 A(x，y)，则 kAB y x3，kAC y x3(x 3). 由 kAB kAC y x3 y x3 4 9，化简可得 x2 9 y2 41， 所以顶点 A 的轨迹方程为x 2 9 y2 41(x 3). 类型二 伸缩变换 例 3 求圆 x2y21 经过 ： x3x， y4y 变换后得到的新曲线的方程，并说明新曲线的形 状. 解 x3x， y4y， x1 3x， y1 4y， 把 x，y 代入方程 x2y21，得x 2 9 y 2 16 1. 即所求新曲线的方程为x 2 9 y2 161. 新曲线是以长轴为 8，短轴为 6，焦点在 y 轴上的
9、椭圆. 引申探究 1.若曲线 C 经过 x1 2x， y1 3y 变换后得到圆 x2y21，求曲线 C 的方程. 解 曲线 C 经过 x1 2x， y1 3y 变换后得到的圆为 x2y21. (x，y)满足 x2y21，即 x2y21. 1 2x 2 1 3y 21， x 2 4 y2 91 即为曲线 C 的方程. 2.若圆 x2y21 经过变换 后得到曲线 C：x 2 25 y2 161，求 的坐标变换公式. 解 设 ： xx0， yy0， xx ， yy ， 代入 x2y21，得x 2 2 y 2 2 1. 曲线 C的方程为x 2 2 y2 21. 又已知曲线 C的方程为x 2 25 y2
10、 161， 225， 216， 5， 4. ： x5x， y4y. 反思与感悟 (1)平面直角坐标系中的方程表示图形，则平面图形的伸缩变换就可归结为坐标 的伸缩变换，这就是用代数的方法研究几何变换. (2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变 换 ： xx0， yy0 的作用下，点 P(x，y)对应到点 P(x，y)，称 为平面直角坐标 系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换. 跟踪训练 3 在同一直角坐标系中，将直线 x2y2 变成直线 2xy4，求满足条件的 伸缩变换. 解 设满足条件的伸缩变换为 xx0， yy0， 将其代入方程 2xy4， 得
11、2xy4， 与 x2y2 比较，将其变成 2x4y4.比较系数得 1，4. 所以 xx， y4y. 直线 x2y2 图象上所有点的横坐标不变， 纵坐标扩大到原来的 4 倍可得到 直线 2xy4. 1.在同一平面直角坐标系中，将曲线 y3sin 2x 变为曲线 ysin x的伸缩变换是( ) A. x2x， y1 3y B. x2x， y1 3y C. x2x， y3y D. x2x， y3y 答案 B 2.在同一平面直角坐标系中， 曲线 y3sin 2x 经过伸缩变换 x2x， y3y 后， 所得曲线为( ) A.ysin x B.y9sin 4x C.ysin 4x D.y9sin x 答案
12、 D 解析 伸缩变换 x2x， y3y， x1 2x， y1 3y， 代入 y3sin 2x，可得1 3y3sin x， 即 y9sin x.故选 D. 3.已知ABCD 中三个顶点 A， B， C 的坐标分别是(1,2)， (3,0)， (5,1)， 则点 D 的坐标是( ) A.(9，1) B.(3,1) C.(1,3) D.(2,2) 答案 C 解析 由平行四边形对边互相平行，即斜率相等，可求出点 D 的坐标.设 D(x，y)， 则 kABkDC， kADkBC， 即 20 13 y1 x5， 2y 1x 01 35. 解得 x1， y3. 故点 D 的坐标为(1,3). 4.在ABC
13、中， B(2,0)， C(2,0)， ABC 的周长为 10， 则 A 点的轨迹方程为_. 答案 x2 9 y2 51(y0) 解析 ABC 的周长为 10，|AB|AC|BC|10，而|BC|4，|AB|AC|64.A 点的轨迹为除去长轴两顶点的椭圆，且 2a6，2c4.a3，c2，b2a2c25. A 点的轨迹方程为x 2 9 y2 51(y0). 5.用解析法证明：若 C 是以 AB 为直径的圆上的任意一点(异于 A，B)，则 ACBC. 证明 设 AB2r，线段 AB 的中心为 O，以线段 AB 所在的直线为 x 轴，O 为坐标原点建立 平面直角坐标系，则圆 O 的方程为 x2y2r2.设 A(r，0)，B(r，0)，C(x，y)， 则 kAC y xr，kBC y xr，则 kAC kBC y xr y xr y2 x2r2， 又 x2y2r2，所以 y2r2x2， 所以 kAC kBCr 2x2 x2r21， 所以 ACBC. 1.平面直角坐标系的作用与建立 平面直角坐标系是确定点的位置、 刻画方程的曲线形状和位置的平台， 建立平面直角坐标系， 常常利用垂直直线为坐标轴，充分利用图形的对称性等特征. 2.伸缩变换的类型与特点 伸缩变换包括点的伸缩变换，以及曲线的伸缩变换，曲线经过伸缩变换对应的曲线方程就会 变化，通过伸缩变换可以领会曲线与方程之间的数形转化与联系.