1、二二 圆锥曲线的参数方程圆锥曲线的参数方程 学习目标 1.掌握椭圆的参数方程及应用.2.了解双曲线、抛物线的参数方程.3.能够利用圆锥 曲线的参数方程解决最值、有关点的轨迹问题 知识点一 椭圆的参数方程 思考 1 圆 x2y2r2的参数方程 xrcos ， yrsin 的参数 的几何意义是什么？ 答案 是点(rcos ，rsin )绕点 O 逆时针旋转的旋转角 思考 2 对于椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)， 若令 xacos ( 为参数)， 那么椭圆 x2 a2 y2 b21 的参数方 程是什么？ 答案 xacos ， ybsin ( 为参数) 梳理 (1)椭圆的参数方程 普通方程
2、参数方程 x2 a2 y2 b21(ab0) xacos ， ybsin ( 为参数) (2) 是点 M(acos ，bsin )的离心角 知识点二 双曲线的参数方程 思考 1 化简 1 cos 2tan2，它的值等于什么？ 答案 1 cos 2tan21. 思考 2 令 ybtan ( 为参数)，写出x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的参数方程 答案 x a cos ， ybtan ( 为参数) 梳理 令 1 cos sec . 双曲线的参数方程 普通方程 参数方程 x2 a2 y2 b21(a0，b0) xasec ， ybtan ( 为参数) 知识点三 抛物线的参数方程 1抛物线的
3、参数方程 普通方程 参数方程 y22px x 2p tan2， y 2p tan ( 为参数) y22px x2pt2， y2pt (t 为参数) 2.参数的几何意义 (1) 表示 OM 的倾斜角 (2)t 1 tan .当 t0 时， x2pt2， y2pt 表示原点. 类型一 椭圆的参数方程 命题角度 1 利用参数方程求最值 例 1 已知实数 x，y 满足x 2 25 y2 161，求目标函数 zx2y 的最大值与最小值 解 椭圆x 2 25 y2 161 的参数方程为 x5cos ， y4sin ( 为参数)， 代入目标函数，得 z5cos 8sin 5282cos(0) 89cos(0
4、)(tan 08 5) 所以目标函数 zmin 89，zmax 89. 反思与感悟 利用椭圆的参数方程，求目标函数的最大(小)值，通常是利用辅助角公式转化 为三角函数求解 跟踪训练 1 已知曲线 C1的参数方程是 x2cos ， y3sin ( 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程是 2，正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上，且 A，B，C，D 依逆时针次序排序，点 A 的极坐标为 2， 3 . (1)求点 A，B，C，D 的直角坐标； (2)求曲线 C1的普通方程，判断曲线形状； (3)设点 P 为 C1上任意一点，求|PA|2|PB|2|
5、PC|2|PD|2的取值范围 解 (1)由曲线 C2的极坐标方程 2 可知， 曲线 C2是圆心在极点，半径为 2 的圆， 正方形 ABCD 的顶点都在 C2上，且 A，B，C，D 依逆时针次序排列，点 A 的极坐标为 2， 3 . 故 B 2，5 6 ， 由对称性，得直角坐标分别为 A(1， 3)，B( 3，1)，C(1， 3)，D( 3，1) (2)由曲线 C1的参数方程，得 x 2cos ， y 3sin ， 两式平方相加，得x 2 4 y2 91. 所以曲线是焦点在 y 轴上的椭圆 (3)由点 P 为曲线 C1： x2cos ， y3sin 上任意一点， 得 P(2cos ，3sin )
6、， 则|PA|2|PB|2|PC|2|PD|2 (2cos 1)2(3sin 3)2(2cos 3)2(3sin 1)2(2cos 1)2(3sin 3)2 (2cos 3)2(3sin 1)2 16cos236sin2163220sin2， 因为 323220sin252， 所以|PA|2|PB|2|PC|2|PD|2的取值范围是32,52 命题角度 2 利用参数方程求轨迹方程 例 2 已知 A， B 分别是椭圆x 2 36 y2 91 的右顶点和上顶点， 动点 C 在该椭圆上运动， 求ABC 的重心 G 的轨迹方程 解 由题意知 A(6,0)，B(0,3)由于动点 C 在椭圆上运动，故可设
7、动点 C 的坐标为(6cos ， 3sin )，点 G 的坐标设为(x，y)，由三角形重心的坐标公式，可得 x606cos 3 ， y033sin 3 ， 即 x22cos ， y1sin . 消去参数 ，得x2 2 4 (y1)21. 反思与感悟 本类题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决求轨迹方程问题的优越性，运用 参数方程显得很简单，运算更简便 跟踪训练 2 已知点 A 在椭圆 x2 144 y2 361 上运动， 点 B(0,9)， 点 M 在线段 AB 上， 且 |AM| |MB| 1 2， 试求动点 M 的轨迹方程 解 由题意知 B(0,9)，设 A(12cos ，6sin )，M(
8、x，y)， 则 x 12cos 1 20 11 2 8cos ， y 6sin 1 29 11 2 4sin 3， 动点 M 的轨迹的参数方程是 x8cos ， y4sin 3 ( 是参数)，消去参数 ，得x 2 64 y32 16 1. 类型二 双曲线的参数方程 例 3 已知等轴双曲线 C 的实轴长为 2，焦点在 x 轴上 (1)求双曲线的普通方程和参数方程； (2)已知点 P(0,1)，点 Q 在双曲线 C 上，求|PQ|的最小值 解 (1)设等轴双曲线 C 的普通方程为 x2y2a2(a0)， 依题意，得 2a2，所以 a1， 所以 x2y21，化为参数方程为 xsec ， ytan (
9、 为参数) (2)因为点 P(0,1)，Q 在双曲线 C 上， 设 Q(sec ，tan )， 则|PQ|sec21tan 2 sec2tan22tan 1 2tan22tan 2 2 tan 1 2 23 2 3 2 6 2 . 当且仅当 tan 1 2时，|PQ|min 6 2 . 反思与感悟 双曲线的参数方程中，常用的三角函数关系式为 sin2cos211tan2 1 cos2sec 2sec2tan21. 跟踪训练 3 设 P 为等轴双曲线 x2y21 上的一点，F1和 F2为两个焦点，证明：|F1P| |F2P| |OP|2. 证明 如图， 设双曲线上的动点为 P(x， y)， 焦点
10、 F1( 2， 0)， F2( 2， 0)， 双曲线的参数方程为 xsec ， ytan ， ( 为参数)， 则(|F1P| |F2P|)2 (sec 2)2tan2 (sec 2)2tan2 (sec22 2sec 2tan2)(sec22 2sec 2tan2)( 2sec 1)2( 2sec 1)2 (2sec21)2. 又|OP|2sec2tan22sec21， 由此得|F1P| |F2P|OP|2. 类型三 抛物线的参数方程 例 4 已知抛物线 C 的参数方程为 x8t2， y8t (t 为参数)若斜率为 1 的直线经过抛物线 C 的 焦点，且与圆(x4)2y2r2(r0)相切，则
11、r_. 答案 2 解析 由题意知抛物线的普通方程为 y28x，其焦点为(2,0)，过焦点且斜率为 1 的直线方程 为 xy20，由题意知圆心(4,0)到直线的距离 d|402| 2 2，即半径 r 2. 反思与感悟 在解决问题时，根据题目特征，合理选择使用参数方程还是普通方程，所以熟 练进行参数方程和普通方程的互化，是解题的必备技能 跟踪训练 4 将方程 xtan t， y1cos 2t 1cos 2t (t 为参数)化为普通方程是_ 答案 yx2 解析 由 y1cos 2t 1cos 2t 2sin2t 2cos2ttan 2t， 将 tan tx 代入上式，得 yx2，即为所求方程 1参数
12、方程 x2cos ， ysin ( 为参数)表示( ) A直线 B圆 C椭圆 D双曲线 答案 C 2曲线 x3sec ， y4tan ( 为参数)的焦点与原点的距离为( ) A2 B3 C4 D5 答案 D 3曲线 x1cos ， y2sin ( 为参数)的对称中心( ) A在直线 y2x 上 B在直线 y2x 上 C在直线 yx1 上 D在直线 yx1 上 答案 B 解析 曲线可化为(x1)2(y2)21，其对称中心为圆心(1,2)，该点在直线 y2x 上， 故选 B. 4把椭圆的普通方程 9x24y236 化为参数方程是( ) A. x3cos ， y2sin ( 为参数) B. x2co
13、s ， y3sin ( 为参数) C. x9cos ， y4sin ( 为参数) D. x4cos ， y9sin ( 为参数) 答案 B 解析 椭圆的普通方程 9x24y236 可化为x 2 4 y2 91，令 x2cos ，y3sin ， 可得参数方程为 x2cos ， y3sin ( 为参数) 5 已知椭圆x 2 25 y2 161， 点 A 的坐标为(3,0) 在椭圆上找一点 P， 使点 P 与点 A 的距离最大 解 椭圆的参数方程为 x5cos ， y4sin ( 为参数) 设 P(5cos ，4sin )，则 |PA| 5cos 324sin 2 9cos230cos 25 3cos 52|3cos 5|8， 当 cos 1 时，|PA|最大 此时，sin 0，点 P 的坐标为(5,0) 1利用圆锥曲线的参数方程，可以方便求解一些需要曲线上点的两个坐标独立表示的问题， 如求最大值、最小值问题、轨迹问题等 2当需要研究圆锥曲线的形状、性质时，又通常需要将圆锥曲线的参数方程化为普通方程 3如果用到椭圆、双曲线的参数方程，注意三角恒等式的应用