1、第一讲第一讲 坐标系坐标系 复习课复习课 学习目标 1.复习回顾坐标系的重要知识点.2.进一步熟练极坐标方程的求法，能熟练进行极 坐标方程与直角坐标方程的互化.3.能应用极坐标解决相关问题，并体会极坐标在解决有关问 题时的优越性 1平面直角坐标系中的伸缩变换 设点 P(x， y)是平面直角坐标系中的任意一点， 在变换 ： xx0， yy0 的作用下， 点 P(x， y)对应到点 P(x，y)，称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换 2极坐标系 (1)在平面上取一个定点 O， 由 O 点出发的一条射线 Ox， 一个长度单位及计算角度的正方向(通 常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系O
2、 点称为极点，Ox 称为极轴平面上任一点 M 的 位置可以由线段 OM 的长度 和从 Ox 到 OM 的角度 来刻画(如图所示) 这两个数组成的有 序数对(，)称为点 M 的极坐标 称为极径， 称为极角 (2)极坐标与直角坐标的互化 设 M 为平面上的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(，) 由图可知下面的关系式成立： xcos ， ysin 或 2x2y2， tan y xx0， 顺便指出，上式对 b0)，A，B 分别为椭圆上的两点，且 OAOB. (1)求证： 1 |OA|2 1 |OB|2为定值； (2)求AOB 面积的最大值和最小值 解 以直角坐标系的原点为极点，以 x 轴的正半
3、轴为极轴，建立极坐标系 设 A，B 两点的极坐标分别为(1，1)，(2，2) 不妨设21 2 ， 则 A，B 两点的直角坐标分别为(1cos 1，1sin 1)，(2cos 2，2sin 2) (1)A 在椭圆x 2 a2 y2 b21 上， 1cos 1 2 a2 1sin 1 2 b2 1，21 a2b2 b2cos21a2sin21， 同理 22 a2b2 b2cos22a2sin22 a2b2 b2sin21a2cos21 1 |OA|2 1 |OB|2 1 21 1 22 a2sin21sin22b2cos21cos22 a2b2 a 2b2 a2b2 为定值 (2)在AOB 中，O
4、AOB. S|OA| |BO|1 2 1 212.S 21 4 2 1 2 2. 由(1)知 21 a2b2 b2cos21a2sin21， 2 2 a2b2 b2sin21a2cos21， 2122 a4b4 b4sin21cos21a4sin21cos21a2b2sin41cos41 a4b4 1 4a 4b4sin22 1a 2b2 11 2sin 22 1 a4b4 1 4a 2b22sin22 1a 2b2， 当 sin2210 时，(12)2的最大值为 a2b2， S最大1 2ab， 当 sin2211 时，(12)2的最小值为 4a4b4 a2b22， S最小 a2b2 a2b2
5、. 反思与感悟 (1)用极坐标解决问题的关键是建立适当的极坐标系建系的原则是有利用极径、 极角表示问题中的量 (2)用极坐标解决问题，并不能忽视极坐标与直角坐标间的互化问题 跟踪训练 3 用极坐标法证明：过抛物线的焦点的弦被焦点分成的两部分的倒数和为常数 证明 设 F 为抛物线的焦点，AB 是过焦点 F 的弦，焦点到准线的距离为 . 以 F 为极点，Fx 为极轴，建立如图所示的极坐标系 设 A 的极坐标为(1，)， 则 B 的极坐标为(2，)， 由抛物线的定义知， 1 1cos 1，11cos ， 1 1cos .同理 2 1cos 1cos ， 1 |AF| 1 |BF| 1 1 1 2 1
6、cos 1cos 2 (常数) 1已知曲线 C1，C2的极坐标方程分别为 cos 1，4cos 0，0 2 ，则曲线 C1 与 C2交点的极坐标为_ 答案 2， 3 2在以 O 为极点的极坐标系中，圆 4sin 和直线 sin a 相交于 A，B 两点若AOB 是等边三角形，则 a 的值为_ 答案 3 解析 由于圆和直线的直角坐标方程分别为x2y24y和ya， 它们相交于A， B两点， AOB 为等边三角形， 所以不妨取直线 OB 的方程为 y 3x， 联立 x2y24y， y 3x， 消去 y，得 x2 3x， 解得 x 3或 x0， 所以 y 3x3，即 a3. 3已知圆的极坐标方程为 4
7、cos ，圆心为 C，点 P 的极坐标为 4， 3 ，则|CP|_. 答案 2 3 4已知极坐标方程 C1：10，C2：sin 3 6， (1)化 C1，C2的极坐标方程为直角坐标方程，并分别判断曲线形状； (2)求 C1，C2交点间的距离 解 (1)由 C1：10，得 2100，所以 x2y2100， 所以 C1为圆心是(0,0)，半径是 10 的圆 由 C2：sin 3 6，得 1 2sin 3 2 cos 6. 所以 y 3x12，即 3xy120， 所以 C2表示直线 (2)由于圆心(0,0)到直线 3xy120 的距离为 d 12 3212 6r10，故直线与圆相交， 所以直线 l 被圆截得的弦长为 2 r2d22 1026216. 1对于极坐标问题，重点是极坐标与直角坐标的互化公式，充分体现转化与化归的思想 2极坐标方程的求法，可以用直接法即直接去求极坐标方程，也可以先求曲线的直角坐标方 程，再利用互化公式，将直角坐标方程化为极坐标方程 3要充分体会极坐标的优势，有些问题，用极坐标解决就比较方便简洁