1、四四 渐开线与摆线渐开线与摆线 学习目标 1.了解圆的渐开线的参数方程.2.了解摆线的生成过程及它的参数方程.3.学习并 体会用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤 知识点一 渐开线 思考 把绕在圆盘上的细绳展开，细绳外端点的轨迹是一条曲线，看看曲线的形状若要建 立曲线的参数方程，请试着确定一下参数 答案 根据动点满足的几何条件，我们以基圆圆心 O 为原点，直线 OA 为 x 轴，建立平面直 角坐标系，如图所示设基圆的半径为 r，绳子外端 M 的坐标为(x，y)显然，点 M 由角 惟一确定 梳理 圆的渐开线及其参数方程 (1)定义 把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头的外端点，保持线
2、与圆相切，外端点的 轨迹就叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆 (2)参数方程 设基圆的半径为 r，圆的渐开线的参数方程是 xrcos sin ， yrsin cos ( 是参数) 知识点二 摆线 思考 当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹是什么？ 答案 摆线 梳理 摆线及其参数方程 (1)定义 当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时， 圆周上的一个定点的轨迹叫做平摆线， 简称摆线， 又叫做旋轮线 (2)参数方程 设圆的半径为 r，圆滚动的角为 ，那么摆线的参数方程是 xrsin ， yr1cos ( 是参数) 类型一 圆的渐开线 例 1 求半径为 4 的圆的渐开线的
3、参数方程 解 以圆心为原点 O， 绳端点的初始位置为 M0， 向量OM0 的方向为 x 轴正方向， 建立坐标系， 设渐开线上的任意点 M(x， y)， 绳拉直时和圆的切点为 A， 故 OAAM， 按渐开线定义， 弧 0 AM 的长和线段 AM 的长相等，记OA 和 x 轴正向所夹的角为 (以弧度为单位)，则|AM| 0 AM 4. 作 AB 垂直于 x 轴，过 M 点作 AB 的垂线，由三角函数和向量知识，得OA (4cos ，4sin ) 由几何知识知，MAB，AM (4sin ，4cos )， 得OM OA AM (4cos 4sin ，4sin 4cos ) (4(cos sin )，4
4、(sin cos ) 又OM (x，y)， 因此所求的参数方程为 x4cos sin ， y4sin cos . 反思与感悟 圆的渐开线的参数方程中，字母 r 表示基圆的半径，字母 是指绳子外端运动 时绳子上的定点 M 相对于圆心的张角 跟踪训练 1 已知圆的渐开线方程为 xcos sin 30 sin sin 30 ， ysin cos 60 cos cos 60 ( 为参数)，则该基圆 半径为_，当圆心角 时，曲线上点 A 的直角坐标为_ 答案 1 2 1 2， 2 解析 xcos sin 30 sin sin 30 ， ysin cos 60 cos cos 60 ， 即 x1 2cos
5、 sin ， y1 2sin cos ( 为参数) 基圆半径 r1 2. 当 时，x1 2，y 2， A 的直角坐标为 1 2， 2 . 类型二 平摆线 例2 已知一个圆的参数方程为 x3cos ， y3sin (为参数)， 那么圆的摆线方程中与参数 2对 应的点 A 与点 B 3 2 ，2 之间的距离为_ 答案 10 解析 由圆的参数方程 x3cos ， y3sin 知， 圆的方程为 x2y29， 圆的圆心为(0,0)，半径 r3， 圆上定点 M 的摆线的参数方程为 x3sin ， y31cos ( 为参数) 当 2时，x3 21 3 2 3，y3(10)3， A 3 2 3，3 ，|AB|
6、 3212 10. 反思与感悟 (1)摆线的参数方程 摆线的参数方程为 xrsin ， yr1cos ( 为参数)，其中 r：生成圆的半径，：圆在直线上滚 动时，点 M 绕圆心作圆周运动转过的角度ABM. (2)将参数 的值代入渐开线或摆线的参数方程可以确定对应点的坐标， 进而可求渐开线或摆 线上两点间的距离 跟踪训练 2 已知一个圆的摆线的参数方程是 x33sin ， y33cos ( 为参数)， 则该摆线一个拱 的高度是_；一个拱的跨度为_ 答案 6 6 解析 当 时，y33cos 6 为拱高；当 2 时，x323sin 26 为跨度. 1圆 x3cos ， y3sin ( 为参数)的平摆
7、线上一点的纵坐标为 0，那么其横坐标可能是( ) A B3 C6 D10 答案 C 2当 2 时，圆的渐开线 x6cos sin ， y6sin cos ( 为参数)上的点是( ) A(6,0) B(6,6) C(6，12) D(，12) 答案 C 3.如图所示，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，曲线 AEFGH叫做“正方形的渐开线”， 其中 AE，EF，FG，GH的圆心依次按 B，C，D，A 循环，它们依次相连接，则曲线 AEFGH 的长是( ) A3 B4 C5 D6 答案 C 解析 根据渐开线的定义可知，AE是半径为 1 的1 4圆周长，长度为 2，继续旋转可得EF 是 半径为
8、2 的1 4圆周长，长度为 ；FG 是半径为 3 的1 4圆周长，长度为 3 2 ；GH是半径为 4 的1 4 圆周长，长度为 2.所以曲线 AEFGH 的长是 5. 4已知一个圆的摆线方程是 x44sin ， y44cos ( 为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开 线的参数方程 解 首先根据摆线的参数方程可知，圆的半径为 4， 所以面积为 16，该圆对应的渐开线的参数方程是 x4cos 4sin ， y4sin 4cos ( 为参数) 1圆的渐开线的参数方程中，字母 r 表示基圆的半径，字母 是指绳子外端运动时绳子上的 定点 M 相对于圆心的张角 2由圆的摆线的参数方程的形式可知，只要确定了摆线生成圆的半径，就能确定摆线的参数 方程 3由于渐开线、摆线的方程复杂，所以不宜用普通方程来表示