1、一一 曲线的参数方程曲线的参数方程 第第 1 课时课时 参数方程的概念及圆的参数方程参数方程的概念及圆的参数方程 学习目标 1.理解曲线参数方程的有关概念.2.掌握圆的参数方程.3.能够根据圆的参数方程 解决最值问题 知识点一 参数方程的概念 思考 在生活中，两个陌生的人通过第三方建立联系，那么对于曲线上点的坐标(x，y)，直 接描述它们之间的关系比较困难时，可以怎么办呢？ 答案 可以引入参数，作为 x，y 联系的桥梁 梳理 参数方程的概念 (1)参数方程的定义 在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x，y 都是某个变数 t(，)的函数 xft， ygt， 并且对于 t 的每一个允许值
2、，由方程组所确定的点 M(x，y)都在这条曲线上， 那么方程就叫做这条曲线的参数方程，t 叫做参数，相对于参数方程而言，直接给出点的 坐标间关系的方程叫普通方程 (2)参数的意义 参数是联系变数 x，y 的桥梁，可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际 意义的变数 特别提醒：普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式，参数方程可以与普通方程 进行互化 知识点二 圆的参数方程 思考 如图，角 的终边与单位圆交于一点 P，P 的坐标如何表示？ 答案 P(cos ，sin )，由任意角的三角函数的定义即 xcos ，ysin . 梳理 圆的参数方程 圆心和半径 圆的普通方程 圆的参
3、数方程 圆心 O(0,0)，半径 r x2y2r2 xrcos ， yrsin ( 为参数) 圆心 C(a，b)，半径 r (xa)2(yb)2r2 xrcos a， yrsin b ( 为参数) 类型一 参数方程及应用 例 1 已知曲线 C 的参数方程是 x3t， y2t21 (t 为参数) (1)判断点 M1(0,1)，M2(5,4)与曲线 C 的位置关系； (2)已知点 M3(6，a)在曲线 C 上，求 a 的值 解 (1)把点 M1的坐标(0,1)代入方程组， 得 03t， 12t21. 解得 t0. 点 M1在曲线 C 上 同理可知，点 M2不在曲线 C 上 (2)点 M3(6，a)
4、在曲线 C 上， 63t， a2t21， 解得 t2，a9.a9. 反思与感悟 参数方程是曲线方程的另一种表达形式，点与曲线位置关系的判断，与平面直 角坐标普通方程下的判断方法是一致的 跟踪训练 1 在平面直角坐标系中，已知曲线 C 的参数方程是 x2cos ， y22sin ( 为参数) (1)求曲线 C 上的点 Q( 3，3)对应的参数 的值； (2)若点 P(m，1)在曲线 C 上，求 m 的值 解 (1)把点 Q 的坐标( 3，3)代入参数方程， 得 32cos ， 322sin ， 即 cos 3 2 ， sin 1 2， 解得 7 6 2k(kZ)，故曲线上的点 Q 对应的参数 的
5、值是7 6 2k(kZ) (2)把点 P 的坐标(m，1)代入参数方程， 得 m2cos ， 122sin ， 解得 sin 1 2，故 cos 3 2 ，即 m 3， 即所求 m 的值是 3. 类型二 求曲线的参数方程 例 2 如图，ABP 是等腰直角三角形，B 是直角，腰长为 a，顶点 B，A 分别在 x 轴、y 轴上滑动，求点 P 在第一象限的轨迹的参数方程 解 方法一 设点 P(x，y)，过 P 点作 x 轴的垂线交 x 轴于点 Q.如图所示，则 RtOABRtQBP. 取 OBt，t 为参数(0ta) |OA|a2t2， |BQ|a2t2. 又|PQ|OB|t， 点 P 在第一象限的
6、轨迹的参数方程为 xt a2t2， yt (0ta) 方法二 设点 P(x，y)，过点 P 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 Q，如图所示 取QBP， 为参数 0 2 ， 则ABO 2， 在 RtOAB 中，|OB|acos 2 asin . 在 RtQBP 中，|BQ|acos ，|PQ|asin . 点 P 在第一象限的轨迹的参数方程为 xasin cos ， yasin ( 为参数，0 2) 反思与感悟 求曲线参数方程的主要步骤 (1)画出轨迹草图，设 M(x，y)是轨迹上任意一点的坐标 (2)选择适当的参数，参数的选择要考虑以下两点 曲线上每一点的坐标 x，y 与参数的关系比较明显，容易
7、列出方程； x，y 的值可以由参数惟一确定 (3)根据已知条件、 图形的几何性质、 问题的物理意义等， 建立点的坐标与参数的函数关系式， 证明可以省略 跟踪训练 2 长为 3 的线段两端点 A，B 分别在 x 轴正半轴和 y 轴正半轴上滑动，AB 3AP， 点 P 的轨迹为曲线 C. (1)以直线 AB 的倾斜角 为参数，求曲线 C 的参数方程； (2)求点 P 到点 D(0，2)距离的最大值 解 (1)设 P(x，y)，由题意，得 x2 3|AB|cos()2cos ， y1 3|AB|sin()sin . 所以曲线 C 的参数方程为 x2cos ， ysin . ( 为参数， 2) (2)
8、由(1)得|PD|2(2cos )2(sin 2)2 4cos2sin24sin 4 3sin24sin 8 3 sin 2 3 228 3 . 当 sin 2 3时，|PD|取得最大值 2 21 3 . 类型三 圆的参数方程及应用 例 3 如图，圆 O 的半径为 2，P 是圆 O 上的动点，Q(4,0)在 x 轴上M 是 PQ 的中点，当点 P 绕 O 作匀速圆周运动时， (1)求点 M 的轨迹的参数方程，并判断轨迹所表示的图形； (2)若(x，y)是 M 轨迹上的点，求 x2y 的取值范围 解 (1)设点 M(x，y)，令xOP， 则圆 O 的参数方程为 x2cos ， y2sin ( 为
9、参数)， 点 P 的坐标为(2cos ，2sin )又 Q(4,0)， x2cos 4 2 cos 2， y2sin 0 2 sin . 点 M 的轨迹的参数方程为 xcos 2， ysin ( 为参数) 由参数方程知，点 M 的轨迹是以(2,0)为圆心，1 为半径的圆 (2)x2ycos 22sin 5sin()2，tan 1 2. 1sin()1， 52x2y 52. 即 x2y 的取值范围是 52， 52 反思与感悟 (1)圆的参数方程中的参数是角，所以圆上的点的坐标是三角函数 (2)运用圆的参数方程，可以将相关问题转化为三角函数问题，利用三角函数知识解决问题 跟踪训练 3 已知实数 x
10、，y 满足(x1)2(y1)29，求 x2y2的最大值和最小值 解 由已知， 可把点(x， y)视为圆(x1)2(y1)29 上的点， 设 x13cos ， y13sin ( 为参数) 则 x2y2(13cos )2(13sin )2 116(sin cos )116 2sin 4 . 1sin 4 1， 116 2x2y2116 2. x2y2的最大值为 116 2，最小值为 116 2. 1下列方程： xm， ym (m 为参数)； xm， yn (m，n 为参数)； x1， y2； xy0 中，参数方程的个数为( ) A1 B2 C3 D4 答案 A 2曲线 x12cos ， y32si
11、n ( 为参数)围成图形的面积等于( ) A B2 C3 D4 答案 D 3圆 C： x34cos ， y24sin ( 为参数)的圆心坐标为_，和圆 C 关于直线 xy0 对 称的圆 C的普通方程是_ 答案 (3，2) (x2)2(y3)216(或 x2y24x6y30) 解析 将参数方程化为标准方程，得 (x3)2(y2)216， 故圆心坐标为(3，2) 点 P(3，2)关于直线 yx 的对称点为 P(2,3)， 则圆 C 关于直线 yx 对称的圆 C的普通方程为 (x2)2(y3)216(或 x2y24x6y30) 4已知 xt1， yt2 (t 为参数)，若 y1，则 x_. 答案 0
12、 或 2 解析 yt21， t 1.x112 或 x110. 5若 P(2，1)为圆 O： x15cos ， y5sin (02)的弦的中点，则该弦所在直线 l 的方 程为_ 答案 xy30 解析 圆心 O(1,0)，kOP1，即直线 l 的斜率为 1. 直线 l 的方程为 xy30. 1参数方程 (1)参数的作用：参数是间接地建立横、纵坐标 x，y 之间的关系的中间变量，起到了桥梁的 作用 (2)参数方程是通过变数反映坐标变量 x 与 y 之间的间接联系 2求曲线参数方程的步骤 第一步，建系，设 M(x，y)是轨迹上任意一点； 第二步，选参数，比如选参数 t； 第三步，建立 x，y 与参数间的关系，即 xft， ygt.