1、第第 2 课时课时 参数方程和普通方程的互化参数方程和普通方程的互化 学习目标 1.了解参数方程化为普通方程的意义.2.掌握参数方程化为普通方程的基本方法. 3.能根据参数方程与普通方程的互化灵活解决问题 知识点 参数方程和普通方程的互化 思考 1 要判断一个点是否在曲线上，你觉得用参数方程方便还是用普通方程方便？ 答案 用普通方程比较方便 思考 2 把参数方程化为普通方程的关键是什么？ 答案 关键是消参数 梳理 (1)曲线的普通方程和参数方程的互相转化 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式一般地，可以通过消去参数而从参数 方程得到普通方程； 如果知道变数 x，y 中的一个与参数 t
2、的关系，例如 xf(t)，把它代入普通方程，求出另一 个变数与参数的关系 yg(t)，那么 xft， ygt 就是曲线的参数方程 (2)参数方程化为普通方程的三种常用方法 代入法：利用解方程的技巧求出参数 t，然后代入消去参数； 三角函数法：利用三角恒等式消去参数； 整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去 特别提醒：化参数方程为普通方程 F(x，y)0，在消参过程中注意变量 x，y 的取值范围，必 须根据参数的取值范围，确定 f(t)和 g(t)的值域得 x，y 的取值范围. 类型一 参数方程化为普通方程 例 1 将下列参数方程化为普通方程，并判断曲线的形状 (1) x t1，
3、y12 t (t 为参数)；(2) x5cos ， y4sin 1 ( 为参数)；(3) x1t 1t， y 2t 1t (t1，t 为参 数) 解 (1)由 x t11，得 tx1，代入 y12 t， 得 y2x3(x1)，这是以(1,1)为端点的一条射线 (2)由 x5cos ， y4sin 1， 得 cos x 5， sin y1 4 ， 22，得x 2 25 y12 16 1，这是椭圆 (3)方法一 xy1t 1t 2t 1t 1t 1t1， 又 x1t 1t 2 1t1，故 x1， y 2t 1t 21t2 1t 2 2 1t，故 y2， 所以所求的方程为 xy1(x1，y2) 方程
4、表示直线(去掉一点(1,2) 方法二 由 x1t 1t，所以 xxt1t， 所以(x1)t1x，即 t1x 1x，代入 y 中得， y 2t 1t 21x 1x 11x 1x 21x 1x1x1x， 所以 xy1(x1，y2) 方程表示直线(去掉一点(1,2) 反思与感悟 消去参数方程中参数的技巧 (1)加减消参数法：如果参数方程中参数的符号相等或相反，常常利用两式相减或相加的方法 消去参数 (2)代入消参数法：利用方程思想，解出参数的值，代入另一个方程消去参数的方法，称为代 入消参法，这是非常重要的消参方法 (3)三角函数式消参数法：利用三角函数基本关系式 sin2cos21 消去参数 .
5、跟踪训练 1 将下列参数方程化为普通方程： (1) xt1 t， yt21 t2 (t 为参数)； (2) x23cos ， y3sin ( 为参数) 解 (1)xt1 t，x 2t21 t22， 把 yt21 t2代入得 x 2y2. 又当 t0 时，xt1 t2，当且仅当 t1 时等号成立；当 t0 时，xt 1 t2，当且仅当 t1 时等号成立x2 或 x2， 普通方程为 x2y2(x2 或 x2) (2) x23cos ， y3sin 可化为 x23cos ， y3sin ， 两式平方相加得(x2)2y29， 即普通方程为(x2)2y29. 类型二 普通方程化为参数方程 例 2 已知圆
6、 C 的方程为 x2y22x0，根据下列条件，求圆 C 的参数方程 (1)以过原点的直线的倾斜角 为参数； (2)设 x2m，m 为参数 解 (1)过原点且倾斜角为 的直线方程为 yxtan ， 由方程组 x2y22x0， yxtan 消去 y，得 x2x2tan22x0， 解得 x0 或 x 2 1tan2 2cos2 sin2cos22cos 2. 当 x0 时，y0，当 x2cos2 时，yxtan 2cos sin sin 2. 又 x0， y0 适合参数方程 x2cos2， ysin 2， 所求圆 C 的参数方程为 x2cos2， ysin 2 ( 为参数，00，则点 P 的轨迹是(
7、 ) A直线 x2y3 B以(3,0)为端点的射线 C圆(x1)2y21 D以(1,1)，(3,0)为端点的线段 答案 D 2将参数方程 x2sin2， ysin2 ( 为参数)化成普通方程为( ) Ayx2 Byx2 Cyx2(2x3) Dyx2(0y1) 答案 C 解析 由 x2sin2，得 sin2x2，代入 ysin2， yx2. 又 sin2x20,1，x2,3 3参数方程 xsin 2， ysin cos ( 为参数)表示的曲线的普通方程是_ 答案 y2x1(1x1) 4将参数方程 xt1 t， yt21 t2 (t 为参数)化成普通方程为_ 答案 x2y2(y2) 解析 由 xt
8、1 t，得 x 2t21 t22， 又 yt21 t2，x 2y2.t21 t22，y2. 5参数方程 x3cos 4sin ， y4cos 3sin ( 为参数)表示的图形是_ 答案 圆 解析 x2y2(3cos 4sin )2(4cos 3sin )225，表示圆 1参数方程和普通方程的互化 参数方程化为普通方程，可通过代入消元法和三角恒等式消参法消去参数方程中的参数，通 过曲线的普通方程来判断曲线的类型，研究曲线的性质 由普通方程化为参数方程要选定恰当的参数，寻求曲线上任一点 M 的坐标(x，y)和参数的关 系，根据实际问题的要求，可以选择时间、角度、线段长度、直线的斜率、截距等作为参数 2同一问题参数的选择往往不是惟一的，适当地选择参数，可以简化解题的过程，降低计算 量，提高准确率 3参数方程与普通方程的等价性 把参数方程化为普通方程后，很容易改变变量的取值范围，从而使得两种方程所表示的曲线 不一致，因此我们要注意参数方程与普通方程的等价性