1、三三 直线的参数方程直线的参数方程 学习目标 1.理解并掌握直线的参数方程.2.能够利用直线的参数方程解决有关问题 知识点 直线的参数方程 思考 1 如图， 直线 l 过定点 M0(x0，y0)且倾斜角为 2 ，那么直线的点斜式方程是什么？ 答案 yy0tan (xx0) 思考 2 在思考 1 中，若令 xx0tcos (t 为参数)，那么直线 l 的参数方程是什么？ 答案 xx0tcos ， yy0tsin (t 为参数) 梳理 (1)直线的参数方程 过点 M0(x0，y0)，倾斜角为 的直线 l 的参数方程为 xx0tcos ， yy0tsin (t 为参数)； 由 为直线的倾斜角知，当
2、00. (2)直线参数方程中参数 t 的几何意义 参数 t 的绝对值表示 t 对应的点 M 到 M0的距离 当 M0M 与 e(直线的单位方向向量)同向时，t 取正数； 当 M0M 与 e 反向时，t 取负数，当 M 与 M 0重合时，t0. (3)重要公式：设 A，B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为 tA，tB，则|AB|tBtA| tBtA24tA tB. 类型一 直线的参数方程与普通方程的互化 例 1 (1)化直线 l1的普通方程 x 3y10 为参数方程，并说明|t|的几何意义； (2)化直线 l2的参数方程 x3t， y1 3t (t 为参数)为普通方程，并求倾斜角，说明|t
3、|的几何意 义 解 (1)直线 l1与 x 轴交于点 M0(1,0)， 又 ktan 3 3 ， cos 3 2 ，sin 1 2， 直线 l1的参数方程为 x1 3 2 t， y1 2t (t 为参数) |t|表示 t 对应的点 M(x，y)到 M0的距离 (2)方程组变形为 x3t， y1 3t， 代入消去参数 t， 得直线的点斜式方程 y1 3(x3)，可得 ktan 3，倾斜角 3，普通方程为 3xy 3 310. 又两式平方相加，得(x3)2(y1)24t2， |t| x32y12 2 ，|t|是定点 M1(3,1)到 t 对应的点 M(x，y)的有向线段M1M 的长的一 半 反思与
4、感悟 (1)一条直线可以由定点 M0(x0，y0)，倾斜角 (0)惟一确定，直线上动点 M(x，y)的参数方程为 xx0tcos ， yy0tsin (t 为参数)，这是直线参数方程的标准形式，特别地， 当 2时，直线的参数方程为 xx0， yy0t (t 为参数) (2)直线参数方程的形式不同，参数 t 的几何意义也不同，过定点 M0(x0，y0)，斜率为b a的直线 的参数方程是 xx0at， yy0bt (a，b 为常数，t 为参数) 跟踪训练 1 已知直线 l： x 3 3 2 t， y21 2t (t 为参数) (1)分别求 t0,2，2 时对应的点 M(x，y)； (2)求直线 l
5、 的倾斜角； (3)求直线 l 上的点 M(3 3，0)对应的参数 t，并说明 t 的几何意义 解 (1)由直线 l： x 3 3 2 t， y21 2t (t 为参数)知，当 t0,2，2 时，分别对应直线 l 上 的点( 3，2)，(0,3)，(2 3，1) (2)方法一 化直线 l： x 3 3 2 t， y21 2t (t 为参数)为普通方程为 y2 3 3 (x 3)， 设直线 l 的倾斜角为 ，则 ktan 3 3 (0)， 解得 6. 故直线 l 的倾斜角为 6. 方法二 易知直线 l： x 3tcos 6， y2tsin 6 (t 为参数)， 则直线 l 过定点 M0( 3，2
6、)，且倾斜角为 6， 故直线 l 的倾斜角为 6. (3)由(2)可知直线 l 的单位向量 e cos 6，sin 6 3 2 ，1 2 ，且 M0( 3，2)， 又已知 M(3 3，0)， M0M (2 3，2)4 3 2 ，1 2 4e， 点 M(3 3，0)对应的参数 t4， 几何意义为|M0M |4，且 M 0M 与 e 方向相反 类型二 直线参数方程的应用 命题角度 1 求弦长|AB|问题 例 2 已知抛物线 y28x 的焦点为 F，过 F 且斜率为 2 的直线交抛物线于 A，B 两点 (1)求|AB|； (2)求 AB 的中点 M 的坐标及|FM|. 解 抛物线 y28x 的焦点为
7、 F(2,0)， 依题意，设直线 AB 的参数方程为 x2 1 5t， y 2 5t (t 为参数)，其中 cos 1 5，sin 2 5， 为直线 AB 的倾斜角 将 x2 1 5t， y 2 5t 代入 y28x，整理得 t22 5t200. 设 A，B 对应的参数值为 t1，t2， 则 t1t22 5，t1t220. (1)|AB|t2t1| t1t224t1t22 528010. (2)设 AB 的中点为 M(x，y)，则AM MB ， FM FA FBFM ， FM 1 2(FA FB)t1t2 2 e 5e， 故点 M 对应的参数为 5， 由 x2 5cos ， y 5sin 得
8、M(3,2)，|FM| t1t2 2 5. 反思与感悟 设二次曲线 C：F(x，y)0，直线 l： xx0tcos ， yy0tsin (t 为参数)，如果 l 与 C 相交于 A，B 两点，那么将 l 的方程代入 F(x，y)0 后，可得 at2btc0，则该方程有两 个不等实数根 t1，t2，此时 M0A t 1e， M0B t 2e，e(cos ，sin )，于是易得以下两个常 见的公式：(1)|AB|t1t2|；(2)线段 AB 的中点 M 对应的参数 tt1t2 2 ，且|M0M|t1t2| 2 . 跟踪训练 2 直线 l 过点 P0(4,0)，倾斜角 6，l 与圆 x 2y27 相
9、交于 A，B 两点 (1)求弦长|AB|； (2)求 A，B 两点坐标 解 (1)直线 l 过点 P0(4,0)，倾斜角 6， 可设直线 l 的参数方程为 x4 3 2 t， yt 2， (t 为参数)， 代入圆方程，得 4 3 2 t 2 1 2t 27. 整理得 t24 3t90. 设 A，B 对应的参数分别为 t1，t2， 由根与系数的关系，得 t1t24 3，t1t29， |AB|t2t1|t1t224t1t22 3. (2)解得 t13 3，t2 3，代入直线参数方程 x4 3 2 t， y1 2t， 得 A 1 2， 3 3 2 ，B 5 2， 3 2 或 A 5 2， 3 2 ，
10、B 1 2， 3 3 2 . 命题角度 2 求积|M0A| |M0B|问题 例 3 过点 P 10 2 ，0 作倾斜角为 的直线与曲线 x212y21 交于点 M，N，求|PM| |PN|的 最小值及相应的 值 解 设直线为 x 10 2 tcos ， ytsin (0 2，t 为参数)， 代入曲线 x212y21， 并整理得(111sin2)t2( 10cos )t3 20. 由 0 得，sin2 1 19，设 M，N 对应的参数为 t1，t2， t1t2 3 2 111sin2， |PM| |PN|t1t2| 3 2 111sin2 3 222sin2. 当 sin2 1 19时，|PM|
11、 |PN|取得最小值，且最小值为 19 20. 反思与感悟 利用直线的参数方程，可以求一些距离问题，当求直线上某一定点到直线与曲 线交点的距离时，根据直线参数方程中参数的几何意义解题更为方便 跟踪训练 3 已知直线 l 经过点 P(1,1)，倾斜角 6， (1)写出直线 l 的参数方程； (2)设 l 与圆 x2y24 相交于两点 A，B，求点 P 到 A，B 两点的距离之积 解 (1)因为直线 l 过点 P(1,1)，倾斜角为 6， 所以直线的参数方程为 x1tcos 6， y1tsin 6， (t 为参数)， 即 x1 3 2 t， y11 2t (t 为参数)为所求 (2)因为点 A，B
12、 都在直线 l 上，所以可设它们对应的参数为 t1和 t2，则点 A，B 的坐标分别为 A 1 3 2 t1，11 2t1 ，B 1 3 2 t2，11 2t2 ， 把直线 l 的参数方程代入圆的方程 x2y24， 整理得到 t2( 31)t20， 因为 t1和 t2是方程的解，从而 t1t22. 所以|PA| |PB|t1t2|2|2. 类型三 直线参数方程的综合应用 例 4 已知曲线 C1： x4 2 2 t， y 2 2 t (t 为参数)， C2： x2cos ， y1sin ( 为参数) (1)化 C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； (2)若曲线 C1和 C2相
13、交于 A，B 两点，求|AB|. 解 (1)由曲线 C1： x4 2 2 t， y 2 2 t， 消去参数 t，得 yx4， 所以曲线 C1表示一条直线 由曲线 C2： x2cos ， y1sin ， 消去参数 ， 得(x2)2(y1)21， 所以曲线 C2表示以(2,1)为圆心，1 为半径的圆 (2)方法一 圆心 C2(2,1)到直线 xy40 的距离为 d|214| 2 2 2 ， 所以|AB|2 r2d2211 2 2. 方法二 将直线的参数方程 C1： x4 2 2 t， y 2 2 t (t 为参数) 代入曲线 C2：(x2)2(y1)21， 整理得 t23 2t40. 设 A，B
14、对应的参数分别为 t1，t2， 则 t1t23 2，t1t24， 所以|AB|t1t2| t1t224t1t2 2. 引申探究 1若点 P(4,0)是曲线 C1上的定点，本例其它条件不变，求|PA|PB|的值 解 由曲线 C2： x2cos ， y1sin 知， 曲线 C2是圆(x2)2(y1)21. 因为点 P(4,0)在圆(x2)2(y1)21 外， 将直线的参数方程 x4 2 2 t， y 2 2 t 代入曲线 C2：(x2)2(y1)21，得 t23 2t40， 设 A，B 对应的参数为 t1，t2，则 t1，t2同号， 且 t1t23 2，t1 t24， 所以|PA|PB|t1|t2
15、|t1t2|3 2. 2在探究 1 条件不变的情况下，求 1 |PA| 1 |PB|的值 解 由探究 1 知，t1t23 2，t1 t24， 所以|PA|PB|t1t2|3 2， |PA| |PB|t1t2|4. 所以 1 |PA| 1 |PB| |PA|PB| |PA| |PB| 3 2 4 . 反思与感悟 (1)参数方程中一个确定的参数值对应着曲线上一个确定的点，由参数方程求曲 线交点坐标时，可以通过方程组求出参数值，再根据参数值得出交点坐标 (2)解题时如果涉及求直线被曲线截得的线段的长度或者直线上的点与曲线交点之间线段长 度的和、乘积等，都可以利用直线参数方程中参数的几何意义加以解决
16、跟踪训练 4 已知直线 l： x5 3 2 t， y 31 2t (t 为参数)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为 极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2cos . (1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)设点 M 的直角坐标为(5， 3)，直线 l 与曲线 C 的交点为 A，B，求|MA| |MB|的值； (3)求 1 |MA| 1 |MB| 的值 解 (1)曲线 C 的极坐标方程 2cos 化为直角坐标方程为 x2y22x0. (2)将 x5 3 2 t， y 31 2t 代入 x2y22x0， 得 t25 3t180. 设这个方程的两个实根分别为 t1，t2， 则
17、由参数 t 的几何意义可知，|MA| |MB|t1t2|18. (3)由(2)知 t1，t2为同号， |MB|MA| |t2|t1 | |t 2t1| t1t224t1t2 3， 1 |MA| 1 |MB| | |MB|MA| |MA| |MB| 3 18. 1直线 x23t， y1t (t 为参数)上对应 t0，t1 两点间的距离是( ) A1 B. 10 C10 D2 2 答案 B 解析 因为题目所给方程不是参数方程的标准形式，参数 t 不具有几何意义，故不能直接由 101 来得距离，应将 t0，t1 分别代入方程得到两点坐标(2，1)和(5,0)，由两点间距 离公式来求出距离， 即252
18、102 10. 2直线 x3tcos ， y2tsin (t 为参数， 6)不经过( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案 D 3若直线 l1： x12t， y2kt (t 为参数)与直线 l2： xs， y12s (s 为参数)垂直，则 k_. 答案 1 解析 由k 2 (2)1，得 k1. 4设直线 l 过点 A(2，4)，倾斜角为5 6 ，则直线 l 的参数方程为_ 答案 x2 3 2 t， y41 2t (t 为参数) 解析 5 6 ，cos 3 2 ，sin 1 2， l 的参数方程为 x2 3 2 t， y41 2t (t 为参数) 5 一直线过点 P0(3,4
19、)， 倾斜角 4， 求此直线与直线 3x2y6 的交点 M 与 P0 之间的距离 解 设直线的参数方程为 x3 2 2 t， y4 2 2 t， (t 为参数)， 将它代入已知直线 3x2y60， 得 3 3 2 2 t 2 4 2 2 t 6， 解得 t11 2 5 ， |MP0|t|11 2 5 . 1经过点 M0(x0，y0)，倾斜角为 的直线 l 的参数方程为 xx0tcos ， yy0tsin (t 为参数)其中 t 表示直线 l 上以定点 M0为起点，任意一点 M(x，y)为终点的有向线段M0M 的数量，可以为 正、为负，也可以为零 2直线 l： xx0tcos ， yy0tsin (t 为参数)与二次曲线 C 交于两点 A， B， A， B 对应的参数为 t1， t2.则|AB|t1t2|.但|M0A|M0B|与|AB|不完全相同，当 t1与 t2异号时，|M0A|M0B|AB|t1 t2|；当 t1与 t2同号时，|M0A|M0B|t1t2|AB|. 3要注意区别直线参数方程是否为标准形式，若不是标准形式，则参数 t 就不具有相应的几 何意义