1、第2课时参数方程和普通方程的互化,第二讲一曲线的参数方程,学习目标 1.了解参数方程化为普通方程的意义. 2.掌握参数方程化为普通方程的基本方法. 3.能根据参数方程与普通方程的互化灵活解决问题.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,思考1要判断一个点是否在曲线上，你觉得用参数方程方便还是用普通方程方便？,知识点参数方程和普通方程的互化,答案用普通方程比较方便.,思考2把参数方程化为普通方程的关键是什么？,答案关键是消参数.,梳理(1)曲线的普通方程和参数方程的互相转化 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般地，可以通过 而从参数方程得到普通方程； 如果知道变数x，y
2、中的一个与参数t的关系，例如 ，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系 ，那么 就是曲线的参数方程.,消去参数,xf(t),yg(t),(2)参数方程化为普通方程的三种常用方法 代入法：利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参数； 三角函数法：利用三角恒等式消去参数； 整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去. 特别提醒：化参数方程为普通方程F(x，y)0，在消参过程中注意变量x，y的取值范围，必须根据参数的取值范围，确定f(t)和g(t)的值域得x，y的取值范围.,题型探究,例1将下列参数方程化为普通方程，并判断曲线的形状.,类型一参数方程化为普通方程,解答,得y2x3(
3、x1)，这是以(1,1)为端点的一条射线.,解答,解答,所以所求的方程为xy1(x1，y2). 方程表示直线(去掉一点(1,2).,所以xy1(x1，y2). 方程表示直线(去掉一点(1,2).,反思与感悟消去参数方程中参数的技巧 (1)加减消参数法：如果参数方程中参数的符号相等或相反，常常利用两式相减或相加的方法消去参数. (2)代入消参数法：利用方程思想，解出参数的值，代入另一个方程消去参数的方法，称为代入消参法，这是非常重要的消参方法. (3)三角函数式消参数法：利用三角函数基本关系式sin2cos21消去参数.,解答,跟踪训练1将下列参数方程化为普通方程：,x2或x2， 普通方程为x2
4、y2(x2或x2).,解答,两式平方相加得(x2)2y29， 即普通方程为(x2)2y29.,例2已知圆C的方程为x2y22x0，根据下列条件，求圆C的参数方程. (1)以过原点的直线的倾斜角为参数；,类型二普通方程化为参数方程,解答,解过原点且倾斜角为的直线方程为yxtan ，,当x0时，y0，当x2cos2时，yxtan 2cos sin sin 2.,(2)设x2m，m为参数.,解答,解把x2m代入圆C的普通方程，得4m2y24m0，,反思与感悟(1)普通方程化为参数方程时，选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价. (2)参数的选取不同，得到的参数方程是
5、不同的.,跟踪训练2已知曲线的普通方程为4x2y216. (1)若令y4sin (为参数)，如何求曲线的参数方程？,解答,解把y4sin 代入方程，得到4x216sin216， 于是4x21616sin216cos2， x2cos (由的任意性可取x2cos ).,(2)若令yt(t为参数)，如何求曲线的参数方程？若令x2t(t为参数)，如何求曲线的参数方程？,解答,解将yt代入普通方程4x2y216，得4x2t216，,因此，椭圆4x2y216的参数方程是,同理将x2t代入普通方程4x2y216，,例3已知x，y满足圆C：x2(y1)21的方程，直线l的参数方程为 (t为参数). (1)求3
6、x4y的最大值和最小值；,类型三参数方程与普通方程互化的应用,3x4y的最大值为9，最小值为1.,解答,解答,(2)若P(x，y)是圆C上的点，求P到直线l的最小距离，并求此时点P的坐标.,反思与感悟(1)参普互化有利于问题的解决，根据需要，合理选择用参数方程还是普通方程. (2)解决与圆有关的最大值，最小值问题时，通常用圆的参数方程，将问题转化为求三角函数的最大值，最小值问题.,跟踪训练3在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程为xy40.以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为24 cos 60. (1)求直线l的极坐标方程，曲线C的直角坐标方程；,解答,解直线l
7、的方程为xy40， 因为xcos ，ysin ， 所以l的极坐标方程为cos sin 40.,所以24cos 4sin 60， 因为2x2y2，xcos ，ysin ， 所以曲线C的直角坐标方程为(x2)2(y2)22.,(2)若点P是曲线C上任意一点，P点的直角坐标为(x，y)，求x2y的最大值和最小值.,解答,达标检测,1.若点P在曲线cos 2sin 3上，其中0 ，0，则点P的轨迹是 A.直线x2y3 B.以(3,0)为端点的射线 C.圆(x1)2y21 D.以(1,1)，(3,0)为端点的线段,答案,1,2,3,4,5,2.将参数方程 (为参数)化成普通方程为 A.yx2 B.yx2
8、 C.yx2(2x3) D.yx2(0y1),1,2,3,4,5,解析由x2sin2，得sin2x2，代入ysin2， yx2. 又sin2x20,1，x2,3.,答案,解析,3.参数方程 (为参数)表示的曲线的普通方程是_ _.,1,2,3,4,5,(1x1),y2x1,答案,4.将参数方程 (t为参数)化成普通方程为_.,1,2,3,4,5,答案,解析,x2y2(y2),1,2,3,4,5,答案,解析,圆,解析x2y2(3cos 4sin )2(4cos 3sin )225，表示圆.,5.参数方程 (为参数)表示的图形是_.,1.参数方程和普通方程的互化 参数方程化为普通方程，可通过代入消元法和三角恒等式消参法消去参数方程中的参数，通过曲线的普通方程来判断曲线的类型，研究曲线的性质. 由普通方程化为参数方程要选定恰当的参数，寻求曲线上任一点M的坐标(x，y)和参数的关系，根据实际问题的要求，可以选择时间、角度、线段长度、直线的斜率、截距等作为参数. 2.同一问题参数的选择往往不是惟一的，适当地选择参数，可以简化解题的过程，降低计算量，提高准确率.,规律与方法,3.参数方程与普通方程的等价性 把参数方程化为普通方程后，很容易改变变量的取值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不一致，因此我们要注意参数方程与普通方程的等价性.,规与方法,