1、第第 3 课时课时 三个正数的算术三个正数的算术几何平均不等式几何平均不等式 学习目标 1.理解定理3.2.能用定理3及其推广证明一些不等式.3.会用定理解决函数的最值 或值域问题.4.能运用三个正数的算术几何平均不等式解决简单的实际问题 知识点 三项均值不等式 思考 类比基本不等式：ab 2 ab(a0，b0)，请写出 a，b，cR时，三项的均值不 等式 答案 abc 3 3abc. 梳理 (1)三个正数的算术几何平均不等式(定理 3) 如果 a，b，cR，那么abc 3 3abc，当且仅当 abc 时，等号成立 (2)基本不等式的推广 对于 n 个正数 a1，a2，an，它们的算术平均不小
2、于它们的几何平均，即a1a2an n na1a2an，当且仅当 a1a2an 时，等号成立 (3)重要变形及结论 abc abc 3 3；a3b3c33abc； 3 1 a 1 b 1 c 3abc abc 3 a2b2c2 3 . 上式中 a，b，c 均为正数，等号成立的条件均为 abc. 类型一 用平均不等式求最值 例 1 (1)求函数 y(x1)2(32x) 1x3 2 的最大值； (2)求函数 yx 4 x12(x1)的最小值 解 (1)1x3 2，32x0，x10. 又 y(x1)2(32x) (x1)(x1)(32x) x1x132x 3 3 1 3 31 27，当且仅当 x1x1
3、32x， 即 x4 3 1，3 2 时，ymax 1 27. (2)x1，x10，yx 4 x12 1 2(x1) 1 2(x1) 4 x121 3 3 1 2x1 1 2x1 4 x1214， 当且仅当1 2(x1) 1 2(x1) 4 x12， 即 x3 时等号成立即 ymin4. 反思与感悟 (1)利用三个正数的算术几何平均不等式定理求最值，可简记为“积定和最 小，和定积最大” (2)应用平均不等式定理，要注意三个条件“一正，二定，三相等”同时具备时，方可取得 最值，其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如：配系 数、拆项、分离常数、平方变形等 跟踪训练 1
4、求函数 y(13x)2 x 0 x1 3 的最大值 解 y(13x)2 x1 6 (13x) (13x) 6x 1 6 13x13x6x 3 34 81， 当且仅当 13x13x6x，即 x1 9时，ymax 4 81. 类型二 用平均不等式证明不等式 例 2 已知 a，b，cR.求证：a3b3c3 1 abc2 3. 证明 a3b3c3 1 abc3abc 1 abc2 3， 当且仅当 abc，且 abc 3 3 时等号成立 a3b3c3 1 abc2 3. 引申探究 若本例条件不变，求证：bca a cab b abc c 3. 证明 bca a cab b abc c b a c b a
5、 c c a a b b c 3 3 3 b a c b a c3 3 c a a b b c3633， 当且仅当 abc 时取等号 反思与感悟 证明不等式的方法 (1)首先观察所要证的式子结构特点及题目所给条件，看是否满足“一正、二定、三相等” 的条件若满足即可利用平均不等式证明 (2)若题目不满足该条件，则可灵活利用已知条件构造出能利用三个正数的基本不等式的式 子 跟踪训练 2 已知 x，y，z 都是正数，且 xyz1， 求证：(1xy)(1xz)(1yz)27. 证明 1xy33xy0,1xz33xz0， 1yz33yz0， (1xy)(1xz)(1yz)273xyz2. 又xyz1，
6、(1xy)(1xz)(1yz)27， 当且仅当 xyz1 时，等号成立 类型三 用平均不等式解决实际应用问题 例 3 如图，将边长为 1 的正六边形铁皮(图)的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚 线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器(图)当这个正六棱柱容器的底面边长为多少时， 容积最大，并求出最大容积 解 设正六棱柱的底面 B1B2B3B4B5B6的边长为 x(0 x1)，则 OB1B1B2x. 由正六边形 A1A2A3A4A5A6的边长为 1， 得 OA1A1A21，A1B1OA1OB11x. 作 B1C1A1A2于点 C1， 在 RtA1C1B1中， B1A1C160 ， 则容器的高 B1
7、C1A1B1sin 60 3 2 (1x) 于是容器的容积为 Vf(x)Sh 6 3 4 x2 3 2 (1x) 9 4x 2(1x)(0 x1) 则 f(x)9 4x 2(1x)9 8 x x(22x) 9 8 xx22x 3 31 3， 当且仅当 xx22x， 即 x2 3时，Vmax 1 3. 故当正六棱柱容器的底面边长为2 3时，最大容积为 1 3. 反思与感悟 利用三个正数的基本不等式解决应用问题的一般步骤 (1)理解题意，设变量设变量时一般要把所求最大值或最小值的变量定为函数 (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为求函数的最大值或最小值问题 (3)在定义域内，求出函数的最大值
8、或最小值 (4)验证相等条件，得出结论 跟踪训练 3 已知球的半径为 R，球内接圆柱的底面半径为 r，高为 h，则 r 和 h 为何值时， 内接圆柱的体积最大？ 解 设内接圆柱的体积为 V， 又 R2r2h 2 4 ， r2R2h 2 4 ， Vr2h R2h 2 4 h. 又 V 4(4R 2h2) h 4 4R2h22 h2 4 1 24R 2h22 2h2 4 1 2 8R2 3 3 4 3 9 R3， 当且仅当 4R2h22h2，即 h2 3 3 R，此时 r 6 3 R 时，等号成立 当 h2 3 3 R，r 6 3 R 时， 内接圆柱的体积最大为4 3 9 R3. 1函数 f(x)
9、1 x22x(x0)的最小值为( ) A3 B4 C5 D6 答案 A 解析 x0，f(x) 1 x2xx3 3 1 x2 x x3，当且仅当 x 1 x2，即 x1 时等号成立 2设 x0，则 f(x)4x 1 2x2的最大值为( ) A4 2 2 B4 2 C不存在 D.5 2 答案 D 解析 x0， f(x)4x 1 2x24 x 2 x 2 1 2x2 43 3 x 2 x 2 1 2x24 3 2 5 2， 当且仅当x 2 x 2 1 2x2，即 x1 时，等号成立 3已知 x 为正数，下列各选项求得的最值正确的是( ) Ayx22x 4 x33 3 x2 2x 4 x36，故 ym
10、in6. By2x1 x3 3 2 x 1 x3 3 2，故 ymin332. Cy2x1 x4，故 ymin4. Dyx(1x)(12x)1 3 3x1x12x 3 38 81，故 ymax 8 81. 答案 C 解析 A， B， D 在使用不等式 abc33abc(a， b， cR)和 abc abc 3 3(a， b， cR )时都不能保证等号成立，最值取不到 C 中，x0，y2x1 x2 x1 x 224，当且仅当 x1 x，即 x1 时取等号 4设 a，bR，且 ab3，则 ab2的最大值为( ) A2 B3 C4 D6 答案 C 解析 ab24ab 2 b 24 ab 2 b 2
11、3 34 ab 3 3 4134，当且仅当 ab 21 时，等号成立即 ab 2的最大值为 4. 5已知 a，b 为实数，且 a0，b0，则 ab1 a a21 b 1 a2 的最小值为_ 答案 9 解析 因为 a0，b0， 所以 ab1 a3 3 a b 1 a3 3 b0， 同理可得 a21 b 1 a23 3 1 b0， 由及不等式的性质， 得 ab1 a a21 b 1 a2 33b3 3 1 b9， 当且仅当 ab1 时，等号成立 1求实际问题的最值一定要注意变量应在实际允许的范围内取值，在使用三个正数的基本 不等式定理求最值时，一定要注意检验等号是否成立 2求形如 yax2b x(x0，a0，b0)的函数的最小值，关键是拆 b x为 b x b 2x b 2x，则 y ax2b xax 2b 2x b 2x3 3 ax2 b 2x b 2x 3 2 3 2ab2.求形如 yax c bx2(x0，a0，bc0)的函 数的最小值， 关键是拆 ax 为ax 2 ax 2 ， 则 yax c bx2 ax 2 ax 2 c bx23 3 ax 2 ax 2 c bx2 3 2 3 2a2c b .