1、一一 比较法比较法 学习目标 1.理解比较法证明不等式的理论依据.2.掌握利用比较法证明不等式的一般步骤.3. 体会比较法所体现的转化与化归的数学思想方法 知识点一 作差比较法 思考 比差法的理论依据是什么？ 答案 abab0；abab0；abab0. 梳理 作差比较法 (1)作差比较法的理论依据：ab0ab；ab0ab；ab0ab. (2)作差比较法解题的一般步骤：作差；变形整理；判定符号；得出结论 其中变形整理是解题的关键，变形整理的目的是为了能够直接判定与 0 的大小关系，常用的 方法：因式分解，配方，通分，分子或分母有理化等 知识点二 作商比较法 思考 1 对于两个正数 a，b，若a
2、b1，能够判断 a，b 的大小吗？ 答案 能，根据不等式的性质知，对于正数 a，b，a b1ab. 思考 2 类比作差比较法，请谈谈作商比较法 答案 对于正数 a，b，a b1ab； a b1ab； a b1 ab. 梳理 (1)作商比较法：若 a0，b0，要证明 ab，只要证明a b1；要证明 ba，只要证 明a b1.这种证明不等式的方法，叫做作商比较法 (2)作商比较法的理论依据是不等式的基本性质： b0，若a b1，则 ab；若 a b1，则 ab； b0，若a b1，则 ab；若 a b1，则 ab. (3)作商比较法解题的一般步骤：判定 a，b 符号；作商；变形整理；判定与 1 的
3、大 小关系；得出结论. 类型一 作差比较法证明不等式 例 1 已知正数 a，b，c 成等比数列，求证：a2b2c2(abc)2. 证明 因为正数 a，b，c 成等比数列， 所以 b2ac，b ac， 又(a2b2c2)(abc)2 a2b2c2a2b2c22ab2ac2bc 2ab4b22bc2b(a2bc) 2b( a c)20， 所以 a2b2c2(abc)2. 反思与感悟 作差比较法的关键是作差后的变形， 一般通过分解因式或将差式转化为积商式， 以便与 0 比较大小 跟踪训练 1 已知 a1，求证： a1 a a a1. 证明 ( a1 a)( a a1) 1 a1 a 1 a a1 a
4、1 a1 a1 a a a10， a1 a a a1. 类型二 作商比较法证明不等式 例 2 已知 a0，b0，求证：aabb 2 a b ab . 证明 因为 aabb0， 2 a b ab 0， 所以 aabb 2 a b ab 22 a bb a ab 2 a b ab . 当 ab 时，显然有 2 a b a b 1； 当 ab0 时，a b1， ab 2 0， 所以由指数函数的单调性可知， 2 a b a b 1； 当 ba0 时，0a b1， ab 2 0， 所以由指数函数的单调性可知， 2 a b a b 1. 综上可知，对任意实数 a，b，都有 aabb 2 a b ab .
5、引申探究 1若 a0，b0，求证： 2 a b ab abba. 证明 因为 abba0， 2 a b ab 0， 所以 abba 2 a b ab 2 22 . b a b aa b a ab b 所以当 ab 时，显然有 2 1; b a a b 当 ab0 时，a b1， ba 2 0， 由指数函数的单调性， 可得 2 b a a b a b 01； 当 ba0 时，0a b1， ba 2 0， 由指数函数的单调性， 可得 2 b a a b a b 01， 综上可知，对任意 a0，b0，都有 abba 2 a b ab . 2当 a0，b0 时，比较 aabb与 abba的大小 解 由
6、例 2 和探究 1 知，aabb 2 a b ab abba. 反思与感悟 作商比较法证明不等式的一般步骤 (1)作商：将不等式左右两边的式子进行作商 (2)变形：化简商式到最简形式 (3)判断：判断商与 1 的大小关系，也就是判断商大于 1 或小于 1 或等于 1. (4)得出结论 跟踪训练 2 已知 a0，b0，求证： a b b a a b. 证明 a b b a a b a b a b b a a b a abb b aba a aba2b abb2 2abab ab a 2b2ab ab 2abab ab . 又a2b22ab， a 2b2ab ab 2abab ab 2abab a
7、b 2abab ab1， 当且仅当 ab0 时取等号， a b b a a b. 类型三 比较法的应用 例 3 证明：若 a，b，m 都是正数，并且 ab，则am bm a b(糖水不等式) 证明 am bm a b mba bbm. a，b，m 都是正数，且 ab， ba0，b(bm)0， mba bbm0，即 am bm a b0， am bm a b. 反思与感悟 比较法理论上便于理解，实用时便于操作，故应用比较广泛 跟踪训练 3 甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度 m 行走， 另一半以速度 n 行走； 乙有一半路程以速度 m 行走， 另一半路程以速度 n 行走
8、 如果 mn， 问甲、乙二人谁先到达指定地点？ 解 设从出发地点至指定地点的路程为 s， 甲、 乙二人走完这段路程所用的时间分别为 t1， t2， 依题意有 t1 2m t1 2ns， s 2m s 2nt2. t1 2s mn，t2 smn 2mn ， t1t2 2s mn smn 2mn s4mnmn 2 2mnmn smn2 2mnmn. 其中 s，m，n 都是正数，且 mn， t1t20，即 t1t2.从而知甲比乙先到达指定地点 1已知不等式：x232x(xR)；a5b5a3b2a2b3(a，bR)；a2b22(ab 1)其中正确的个数为( ) A0 B1 C2 D3 答案 C 解析
9、x232x(x1)220，故正确； 取 ab1，则 a5b52，a3b2a2b32，故不正确；a2b22(ab1)(a1)2 (b1)20，故正确 2.1 a1 成立的充要条件是( ) Aa1 Ba0 Ca0 Da1 或 a0 答案 D 解析 1 a1 1 a10 1a a 0a0 或 a1. 3若 x，yR，记 wx23xy，u4xyy2，则( ) Awu Bwu Cwu D无法确定 答案 C 解析 wux2xyy2 xy 2 23y 2 4 0， wu. 4a，b 都是正数，P a b 2 ，Q ab，则 P，Q 的大小关系是( ) APQ BPQ CPQ DPQ 答案 D 解析 a，b
10、都是正数， P0，Q0， P2Q2 a b 2 2( ab)2 a b 2 2 0.(当且仅当 ab 时取等号) P2Q20，PQ. 5设 ab0，求证：a 2b2 a2b2 ab ab. 证明 方法一 a2b2 a2b2 ab ab abab 2a2b2 a2b2ab 2abab a2b2ab0(ab0)， 原不等式成立 方法二 ab0，a2b20. 左边0，右边0. 左边 右边 ab2 a2b2 1 2ab a2b21.原不等式成立 1作差比较法证明不等式的技巧 (1)作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差 能否化简或值是多少 (2)变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒 等变形的方法 (3)因式分解是常用的变形手段，为了便于判断差式的符号，常将差式变形为一个常数，或几 个因式积的形式，当所得的差式是某字母的二次三项式时，常用判别式法判断符号 2适用作商比较法证明的不等式的特点 适合欲证的不等式两端是乘积形式、幂指数的不等式或某些不同底数对数值的大小比较