1、二二 综合法与分析法综合法与分析法 学习目标 1.理解综合法、分析法证明不等式的原理和思维特点.2.掌握综合法、分析法证 明不等式的方法和步骤.3.会用综合法、分析法证明一些不等式 知识点 综合法与分析法 思考 1 在“推理与证明”中， 学习过分析法、 综合法， 请回顾分析法、 综合法的基本特征 答案 分析法是逆推证法或执果索因法，综合法是顺推证法或由因导果法 思考 2 综合法与分析法有什么区别和联系？ 答案 区别：综合法，由因导果，形式简洁，易于表达； 分析法，执果索因，利于思考，易于探索 联系：都属于直接证明，常用分析法分析，用综合法表达 梳理 (1)综合法 定义：一般地，从已知条件出发，
2、利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、 论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法，综合法又叫顺推证法或由因导果法 特点：由因导果，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知” 证明的框图表示 用 P 表示已知条件或已有定义、定理、公理等，用 Q 表示所要证明的不等式，则综合法可 用框图表示为 PQ1 Q1Q2 Q2Q3 QnQ (2)分析法 定义：证明命题时，常常从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条 件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证 的命题成立，这种证明方法叫做分析法这是一种“执果索因”的思考和证明方法 特点：执果索
3、因，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知” 证明过程的框图表示 用 Q 表示要证明的不等式，则分析法可用框图表示为 QP1 P1P2 P2P3 得到一个明显成立的条件 类型一 综合法证明不等式 例 1 已知 a，bR，且 ab1， 求证： a1 a 2 b1 b 225 2 . 证明 方法一 a，bR，且 ab1， ab ab 2 21 4. a1 a 2 b1 b 24(a2b2) 1 a2 1 b2 4(ab)22abab 22ab a2b2 4(12ab)12ab a2b2 4 121 4 121 4 1 4 2 25 2 . a1 a 2 b1 b 225 2 . 方法二 左边 a1
4、 a 2 b1 b 2 a2b24 1 a2 1 b2 4a2b2ab 2 a2 ab 2 b2 4a2b212b a b 2 a2 a2 b2 2a b 1 4(a2b2)22 b a a b b2 a2 a2 b2 4ab 2 2 222 b a a b2 b a a b 41 2242 25 2 ， a1 a 2 b1 b 225 2 . 反思与感悟 综合法证明不等式， 揭示出条件和结论之间的因果联系， 为此要着力分析已知 与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系合理进行转换，恰当选择已知不等式， 这是证明的关键 跟踪训练 1 已知 x0，y0，且 xy1， 求证： 11 x 11
5、y 9. 证明 方法一 x0，y0，1xy2 xy. xy1 4. 11 x 11 y 11 x 1 y 1 xy 1xy xy 1 xy1 2 xy189. 当且仅当 xy1 2时等号成立 方法二 xy1，x0，y0， 11 x 11 y 1xy x 1xy y 2y x 2x y 52 y x x y 5229. 当且仅当 xy1 2时，等号成立 类型二 分析法证明不等式 例 2 若 a，b，c 是不全相等的正数， 求证：lg ab 2 lg cb 2 lg ac 2 lg alg blg c. 证明 要证 lg ab 2 lg cb 2 lg ac 2 lg alg blg c， 即证
6、lg ab 2 cb 2 ac 2 lg(abc)成立， 只需证ab 2 cb 2 ac 2 abc 成立 又ab 2 ab0，cb 2 cb0，ac 2 ac0， ab 2 cb 2 ac 2 abc0.(*) 又a，b，c 是不全相等的正数，(*)式等号不成立， 原不等式成立 跟踪训练 2 已知 x0，y0，求证：(x2y2) 1 2 (x3y3) 1 3. 证明 要证明(x2y2) 1 2 (x3y3) 1 3， 只需证(x2y2)3(x3y3)2. 即证 x63x4y23x2y4y6x62x3y3y6， 即证 3x4y23x2y42x3y3. x0，y0，x2y20.即证 3x23y2
7、2xy. 3x23y2x2y22xy， 3x23y22xy 成立 (x2y2) 1 2 (x3y3) 1 3. 类型三 分析综合法证明不等式 例 3 设 a0，b0，且 ab1，求证： a1 b1 6. 证明 要证 a1 b1 6， 只需证( a1 b1)26， 即证(ab)22 abab16. ab1，只需证 ab23 2，即证 ab 1 4. 由 a0，b0，ab1， 得 ab ab 2 21 4，即 ab 1 4成立 原不等式成立 跟踪训练 3 已知ABC 的三边长是 a，b，c，且 m 为正数，求证： a am b bm c cm. 证明 要证 a am b bm c cm， 只需证
8、a(bm)(cm)b(am)(cm)c(am) (bm)0， 即证 abcabmacmam2abcabmbcmbm2abcacmbcmcm20， 即证 abc2abm(abc)m20. 由于 a，b，c 是ABC 的边长，m0，故有 abc， 即(abc)m20.所以 abc2abm(abc)m20 是成立的 因此 a am b bm c cm成立 1若 ab0，则下列不等式中成立的是( ) A.1 a 1 b Ba1 bb 1 a Cb1 aa 1 b D.b a b1 a1 答案 C 解析 ab0，ab0， a ab b ab0，即 1 b 1 a0. a1 bb 1 a. 2已知函数 f
9、(x) 1 2 x，a0，b0，ab，Af ab 2 ，Bf( ab)，Cf 2ab ab ，则 A， B，C 中最大的为_ 答案 C 解析 a0，b0，ab，ab 2 ab 2ab ab. 又函数 f(x) 1 2 x在 R 上单调递减， f ab 2 f( ab)f 2ab ab ，即 ABC. 3已知 x0，y0，证明：(1xy2)(1x2y)9xy. 证明 因为 x0，y0， 所以 1xy233xy20,1x2y33x2y0， 故(1xy2)(1x2y)33xy2 33x2y9xy. 4已知 a，bR，且 2cab， 求证：c c2abac c2ab. 证明 要证 c c2abac c2ab， 只需证 c2abac c2ab， 即证|ac|c2ab，两边平方得 a22acc2c2ab， 即证 a2ab2ac，即 a(ab)2ac. a，bR，且 ab2c，a(ab)2ac 显然成立 原不等式成立 1综合法和分析法的比较 (1)相同点：都是直接证明 (2)不同点：综合法，由因导果，形式简洁，易于表达；分析法，执果索因，利于思考，易 于探索 2证明不等式的通常做法 常用分析法找证题切入点，用综合法写证题过程