1、二二 一般形式的柯西不等式一般形式的柯西不等式 学习目标 1.理解并掌握三维形式的柯西不等式.2.了解柯西不等式的一般形式，体会从特殊 到一般的思维过程.3.会用三维形式及一般形式的柯西不等式解决一些特殊形式的问题 知识点一 三维形式的柯西不等式 思考 1 类比平面向量，在空间向量中，如何用| |，推导三维形式的柯西不等式？ 答案 设 (a1，a2，a3)，(b1，b2，b3)， 则| a21a22a23，| b21b22b23. | |， a21a22a23 b21b22b23|a1b1a2b2a3b3|， (a21a22a23)(b21b22b23)(a1b1a2b2a3b3)2. 思考
2、2 三维形式的柯西不等式中，等号成立的条件是什么？ 答案 当且仅当 ， 共线时，即 0 或存在实数 k，使 a1kb1，a2kb2，a3kb3时，等 号成立 梳理 三维形式的柯西不等式 设 a1，a2，a3，b1，b2，b3是实数，则(a21a22a23)(b21b22b23)(a1b1a2b2a3b3)2，当且仅 当 b1b2b30 或存在一个数 k，使得 aikbi(i1,2,3)时等号成立 知识点二 一般形式的柯西不等式 1一般形式的柯西不等式 设 a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是实数，则(a21a22a2n)(b21b22b2n)(a1b1 a2b2anbn)2. 2柯
3、西不等式等号成立的条件 当且仅当 bi0(i1,2，n)或存在一个数 k，使得 aikbi(i1,2，n)时等号成立. 类型一 利用柯西不等式证明不等式 命题角度1 三维形式的柯西不等式的应用 例 1 设 a，b，c 为正数，且不全相等 求证： 2 ab 2 bc 2 ca 9 abc. 证明 构造两组数 ab， bc， ca； 1 ab， 1 bc， 1 ca，则由柯西不等式得 (abbcca) 1 ab 1 bc 1 ca (111)2， 即 2(abc) 1 ab 1 bc 1 ca 9， 于是 2 ab 2 bc 2 ca 9 abc. 由柯西不等式知， 中有等号成立 ab 1 ab
4、bc 1 bc ca 1 ca abbccaabc. 因为题设中 a，b，c 不全相等，故中等号不成立， 于是 2 ab 2 bc 2 ca 9 abc. 反思与感悟 有些问题一般不具备直接应用柯西不等式的条件，可以通过： (1)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以巧拆常数 (2)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以重新安排各项的次序 (3)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以改变式子的结构，从而达到使用柯西不等式的目 的 (4)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以添项 跟踪训练 1 已知 a，b，cR，求证 a b b c c a b a c b a c 9. 证明 由柯西不等式知， 左边
5、a b 2 b c 2 c a 2 b a 2 c b 2 a c 2 a b b a b c c b c a a c 2 (111)29， 原不等式成立 命题角度2 一般形式的柯西不等式的应用 例 2 设 a1，a2，an为正整数，求证：a 2 1 a2 a22 a3 a2n a1a1a2an. 证明 由柯西不等式，得 a21 a2 a22 a3 a2n a1 (a2a3a1) a1 a2 a2 a2 a3 a3 an a1 a1 2 (a1a2an)2， 故a 2 1 a2 a22 a3 a2n a1a1a2an. 反思与感悟 一般形式的柯西不等式往往看着比较复杂，这时一定要注意式子的结构
6、特征， 一边一定要出现“方、和、积”的形式 跟踪训练 2 已知 a1，a2，anR，且 a1a2an1，求证： a21 a1a2 a22 a2a3 a2n1 an1an a2n ana1 1 2. 证明 a21 a1a2 a22 a2a3 a2n ana1 2 a21 a1a2 a22 a2a3 a2n ana1 (a1a2)(a2a3)(ana1) a21 a1a2 a1a2 a22 a2a3 a2a3 a2n ana1 ana1 2 (a1a2an)21， a21 a1a2 a22 a2a3 a2n ana1 1 2. 类型二 利用柯西不等式求函数的最值 例 3 (1)若实数 x，y，z
7、满足 x2y3za(a 为常数)，则 x2y2z2的最小值为_ (2)已知 0 x1,0y1，则函数 f(x) x2y2 x12y12的最小值是_ 答案 (1)a 2 14 (2) 2 解析 (1)(122232)(x2y2z2)(x2y3z)2a2，当且仅当1 x 2 y 3 z时取等号，即 14(x 2 y2z2)a2， x2y2z2a 2 14，即 x 2y2z2的最小值为a 2 14. (2) x2y2 x12y12 xx12yy12 2， 故 f(x)的最小值为 2. 反思与感悟 利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结 果同时，要注意等号成立的条件 跟踪
8、训练 3 已知 a0，b0，c0，函数 f(x)|xa|xb|c 的最小值为 4. (1)求 abc 的值； (2)求1 4a 21 9b 2c2的最小值 解 (1)因为 f(x)|xa|xb|c|(xa)(xb)|c|ab|c， 当且仅当axb 时，等号成立 又 a0，b0， 所以|ab|ab， 所以 f(x)的最小值为 abc， 又已知 f(x)的最小值为 4，所以 abc4. (2)由(1)知 abc4， 由柯西不等式得 1 4a 21 9b 2c2 (491) a 22 b 33c1 2 (abc)216， 即1 4a 21 9b 2c28 7， 当且仅当 1 2a 2 1 3b 3
9、c 1， 即 a8 7，b 18 7 ，c2 7时等号成立， 故1 4a 21 9b 2c2的最小值为8 7. 1已知 x，y，zR且 xyz2，则 x2 y 3z的最大值为( ) A2 7 B2 3 C4 D5 答案 C 解析 ( x2 y 3z)2(1 x2 y 3 z)21222( 3)2( x)2( y)2( z)2 8(xyz)16 (当且仅当 x1 4y 1 3z 1 4时取等号)， x2 y 3z4. 2若 a，b，cR，且1 a 1 2b 1 3c1，则 a2b3c 的最小值为( ) A9 B3 C. 3 D6 答案 A 解析 由柯西不等式得 a2b3c(a2b3c) 1 a
10、1 2b 1 3c (111)29， a2b3c 的最小值为 9. 3设 a，b，c，d 均为正实数，则(abcd) 1 a 1 b 1 c 1 d 的最小值为_ 答案 16 解析 (abcd) 1 a 1 b 1 c 1 d ( a)2( b)2( c)2( d)2 1 a 2 1 b 2 1 c 2 1 d 2 a1 a b 1 b c 1 c d 1 d 2 (1111)24216， 当且仅当 abcd 时取等号 4已知正数 x，y，z 满足 xyz1，求证： x2 y2z y2 z2x z2 x2y 1 3. 证明 因为 x0，y0，z0，所以由柯西不等式得(y2z)2(z2x)2 (
11、x2y)2 x2 y2z y2 z2x z2 x2y (xyz)2，当且仅当y2z x z2x y x2y z ，即 xyz 1 3时，等号成立， 所以 x2 y2z y2 z2x z2 x2y xyz2 y2zz2xx2y 1 3. 1柯西不等式的一般结构为(a21a22a2n)(b21b22b2n)(a1b1a2b2anbn)2，在 利用柯西不等式证明不等式时关键是正确构造左边的两个数组，从而利用题目的条件正确解 题 2 要求 axbyz 的最大值， 利用柯西不等式(axbyz)2(a2b212)(x2y2z2)的形式， 再结合已知条件进行配凑，是常见的变形技巧对于许多不等式问题，用柯西不等式来解往 往是简明的，正确理解柯西不等式，掌握它的结构特点，就能更灵活地应用它