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3.2一般形式的柯西不等式 学案(含答案)

1、二二 一般形式的柯西不等式一般形式的柯西不等式 学习目标 1.理解并掌握三维形式的柯西不等式.2.了解柯西不等式的一般形式,体会从特殊 到一般的思维过程.3.会用三维形式及一般形式的柯西不等式解决一些特殊形式的问题 知识点一 三维形式的柯西不等式 思考 1 类比平面向量,在空间向量中,如何用| |,推导三维形式的柯西不等式? 答案 设 (a1,a2,a3),(b1,b2,b3), 则| a21a22a23,| b21b22b23. | |, a21a22a23 b21b22b23|a1b1a2b2a3b3|, (a21a22a23)(b21b22b23)(a1b1a2b2a3b3)2. 思考

2、2 三维形式的柯西不等式中,等号成立的条件是什么? 答案 当且仅当 , 共线时,即 0 或存在实数 k,使 a1kb1,a2kb2,a3kb3时,等 号成立 梳理 三维形式的柯西不等式 设 a1,a2,a3,b1,b2,b3是实数,则(a21a22a23)(b21b22b23)(a1b1a2b2a3b3)2,当且仅 当 b1b2b30 或存在一个数 k,使得 aikbi(i1,2,3)时等号成立 知识点二 一般形式的柯西不等式 1一般形式的柯西不等式 设 a1,a2,a3,an,b1,b2,b3,bn是实数,则(a21a22a2n)(b21b22b2n)(a1b1 a2b2anbn)2. 2柯

3、西不等式等号成立的条件 当且仅当 bi0(i1,2,n)或存在一个数 k,使得 aikbi(i1,2,n)时等号成立. 类型一 利用柯西不等式证明不等式 命题角度1 三维形式的柯西不等式的应用 例 1 设 a,b,c 为正数,且不全相等 求证: 2 ab 2 bc 2 ca 9 abc. 证明 构造两组数 ab, bc, ca; 1 ab, 1 bc, 1 ca,则由柯西不等式得 (abbcca) 1 ab 1 bc 1 ca (111)2, 即 2(abc) 1 ab 1 bc 1 ca 9, 于是 2 ab 2 bc 2 ca 9 abc. 由柯西不等式知, 中有等号成立 ab 1 ab

4、bc 1 bc ca 1 ca abbccaabc. 因为题设中 a,b,c 不全相等,故中等号不成立, 于是 2 ab 2 bc 2 ca 9 abc. 反思与感悟 有些问题一般不具备直接应用柯西不等式的条件,可以通过: (1)构造符合柯西不等式的形式及条件,可以巧拆常数 (2)构造符合柯西不等式的形式及条件,可以重新安排各项的次序 (3)构造符合柯西不等式的形式及条件,可以改变式子的结构,从而达到使用柯西不等式的目 的 (4)构造符合柯西不等式的形式及条件,可以添项 跟踪训练 1 已知 a,b,cR,求证 a b b c c a b a c b a c 9. 证明 由柯西不等式知, 左边

5、a b 2 b c 2 c a 2 b a 2 c b 2 a c 2 a b b a b c c b c a a c 2 (111)29, 原不等式成立 命题角度2 一般形式的柯西不等式的应用 例 2 设 a1,a2,an为正整数,求证:a 2 1 a2 a22 a3 a2n a1a1a2an. 证明 由柯西不等式,得 a21 a2 a22 a3 a2n a1 (a2a3a1) a1 a2 a2 a2 a3 a3 an a1 a1 2 (a1a2an)2, 故a 2 1 a2 a22 a3 a2n a1a1a2an. 反思与感悟 一般形式的柯西不等式往往看着比较复杂,这时一定要注意式子的结构

6、特征, 一边一定要出现“方、和、积”的形式 跟踪训练 2 已知 a1,a2,anR,且 a1a2an1,求证: a21 a1a2 a22 a2a3 a2n1 an1an a2n ana1 1 2. 证明 a21 a1a2 a22 a2a3 a2n ana1 2 a21 a1a2 a22 a2a3 a2n ana1 (a1a2)(a2a3)(ana1) a21 a1a2 a1a2 a22 a2a3 a2a3 a2n ana1 ana1 2 (a1a2an)21, a21 a1a2 a22 a2a3 a2n ana1 1 2. 类型二 利用柯西不等式求函数的最值 例 3 (1)若实数 x,y,z

7、满足 x2y3za(a 为常数),则 x2y2z2的最小值为_ (2)已知 0 x1,0y1,则函数 f(x) x2y2 x12y12的最小值是_ 答案 (1)a 2 14 (2) 2 解析 (1)(122232)(x2y2z2)(x2y3z)2a2,当且仅当1 x 2 y 3 z时取等号,即 14(x 2 y2z2)a2, x2y2z2a 2 14,即 x 2y2z2的最小值为a 2 14. (2) x2y2 x12y12 xx12yy12 2, 故 f(x)的最小值为 2. 反思与感悟 利用柯西不等式求最值时,关键是对原目标函数进行配凑,以保证出现常数结 果同时,要注意等号成立的条件 跟踪

8、训练 3 已知 a0,b0,c0,函数 f(x)|xa|xb|c 的最小值为 4. (1)求 abc 的值; (2)求1 4a 21 9b 2c2的最小值 解 (1)因为 f(x)|xa|xb|c|(xa)(xb)|c|ab|c, 当且仅当axb 时,等号成立 又 a0,b0, 所以|ab|ab, 所以 f(x)的最小值为 abc, 又已知 f(x)的最小值为 4,所以 abc4. (2)由(1)知 abc4, 由柯西不等式得 1 4a 21 9b 2c2 (491) a 22 b 33c1 2 (abc)216, 即1 4a 21 9b 2c28 7, 当且仅当 1 2a 2 1 3b 3

9、c 1, 即 a8 7,b 18 7 ,c2 7时等号成立, 故1 4a 21 9b 2c2的最小值为8 7. 1已知 x,y,zR且 xyz2,则 x2 y 3z的最大值为( ) A2 7 B2 3 C4 D5 答案 C 解析 ( x2 y 3z)2(1 x2 y 3 z)21222( 3)2( x)2( y)2( z)2 8(xyz)16 (当且仅当 x1 4y 1 3z 1 4时取等号), x2 y 3z4. 2若 a,b,cR,且1 a 1 2b 1 3c1,则 a2b3c 的最小值为( ) A9 B3 C. 3 D6 答案 A 解析 由柯西不等式得 a2b3c(a2b3c) 1 a

10、1 2b 1 3c (111)29, a2b3c 的最小值为 9. 3设 a,b,c,d 均为正实数,则(abcd) 1 a 1 b 1 c 1 d 的最小值为_ 答案 16 解析 (abcd) 1 a 1 b 1 c 1 d ( a)2( b)2( c)2( d)2 1 a 2 1 b 2 1 c 2 1 d 2 a1 a b 1 b c 1 c d 1 d 2 (1111)24216, 当且仅当 abcd 时取等号 4已知正数 x,y,z 满足 xyz1,求证: x2 y2z y2 z2x z2 x2y 1 3. 证明 因为 x0,y0,z0,所以由柯西不等式得(y2z)2(z2x)2 (

11、x2y)2 x2 y2z y2 z2x z2 x2y (xyz)2,当且仅当y2z x z2x y x2y z ,即 xyz 1 3时,等号成立, 所以 x2 y2z y2 z2x z2 x2y xyz2 y2zz2xx2y 1 3. 1柯西不等式的一般结构为(a21a22a2n)(b21b22b2n)(a1b1a2b2anbn)2,在 利用柯西不等式证明不等式时关键是正确构造左边的两个数组,从而利用题目的条件正确解 题 2 要求 axbyz 的最大值, 利用柯西不等式(axbyz)2(a2b212)(x2y2z2)的形式, 再结合已知条件进行配凑,是常见的变形技巧对于许多不等式问题,用柯西不等式来解往 往是简明的,正确理解柯西不等式,掌握它的结构特点,就能更灵活地应用它