1、一一 数学归纳法数学归纳法 学习目标 1.了解数学归纳法的基本原理.2.了解数学归纳法的应用范围.3.会用数学归纳法 证明一些简单问题 知识点 数学归纳法 在学校，我们经常会看到这样的一种现象：排成一排的自行车，如果一个同学将第一辆自行 车不小心弄倒了，那么整排自行车就会倒下 思考 1 试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？ 答案 第一辆自行车倒下；任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下 思考 2 由这种思想方法所得的数学方法叫数学归纳法，那么，数学归纳法适用于解决哪类 问题？ 答案 适合解决一些与正整数 n 有关的问题 梳理 数学归纳法的概念及步骤 (1)数学归纳法的定义
2、一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数 n0的所有正整数 n 都成立时，可以用以下 两个步骤： 证明当 nn0时命题成立； 假设当 nk(kN，且 kn0)时命题成立，证明 nk1 时命题也成立 在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于 n0的所有正整数都成立这种证明方 法称为数学归纳法 (2)数学归纳法适用范围 数学归纳法的适用范围仅限于与正整数有关的数学命题的证明 (3)数学归纳法的基本过程 类型一 用数学归纳法证明等式 例 1 用数学归纳法证明1 2 1 22 1 23 1 2n 1 1 2n1 1 2n(nN) 证明 (1)当 n1 时，左边1 2，右边1 1 2 1 2，等
3、式成立 (2)假设当 nk(k1)时，等式成立， 即1 2 1 22 1 2k1 1 2k. 当 nk1 时， 1 2 1 22 1 2k 1 2k 11 1 2k 1 2k 11 1 2k 1， 即当 nk1 时，等式也成立 由(1)(2)可知，原等式对 nN均成立 反思与感悟 利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述 nn0时命题 的形式，二是要准确把握由 nk 到 nk1 时，命题结构的变化特点并且一定要记住： 在证明 nk1 成立时，必须使用归纳假设 跟踪训练 1 用数学归纳法证明 12232n21 6n(n1)(2n1)(nN) 证明 (1)当 n1 时，左边121，
4、右边123 6 1，等式成立 (2)假设当 nk(k1，kN)时，等式成立， 即 122232k2 kk12k1 6 . 当 nk1 时，122232k2(k1)2 kk12k1 6 (k1)2 kk12k16k1 2 6 k12k 27k6 6 k1k112k11 6 . 所以当 nk1 时等式也成立 由(1)(2)可知，等式对任何 nN都成立 类型二 证明与整除有关的问题 例 2 求证：x2ny2n(nN)能被 xy 整除 证明 (1)当 n1 时，x2y2(xy)(xy)能被 xy 整除 (2)假设 nk(k1，kN)时，x2ky2k能被 xy 整除， 那么当 nk1 时，x2k 2y2
5、k2 x2 x2ky2 y2kx2y2kx2y2k x2(x2ky2k)y2k(x2y2) x2ky2k与 x2y2都能被 xy 整除， x2(x2ky2k)y2k(x2y2)能被 xy 整除 即当 nk1 时，x2k 2y2k2 能被 xy 整除 由(1)(2)可知，对任意正整数 n，命题均成立 反思与感悟 利用数学归纳法证明整除问题时，关键是整理出除数因式与商数因式积的形 式这往往要利用“添项”与“减项”“因式分解”等变形技巧来凑出 nk 时的情形，从 而利用归纳假设使问题得证 跟踪训练 2 用数学归纳法证明：n3(n1)3(n2)3能被 9 整除(nN) 证明 (1)当 n1 时，132
6、33336 能被 9 整除， 所以结论成立 (2)假设当 nk(kN，k1)时结论成立， 即 k3(k1)3(k2)3能被 9 整除 则当 nk1 时，(k1)3(k2)3(k3)3 k3(k1)3(k2)3(k3)3k3 k3(k1)3(k2)39k227k27 k3(k1)3(k2)39(k23k3) 因为 k3(k1)3(k2)3能被 9 整除， 9(k23k3)也能被 9 整除， 所以(k1)3(k2)3(k3)3也能被 9 整除， 即当 nk1 时结论也成立 由(1)(2)知，命题对一切 nN成立 类型三 用数学归纳法证明几何命题 例 3 有 n 个圆，任意两个圆都相交于两点，任意三
7、个圆不相交于同一点，求证这 n 个圆将 平面分成 f(n)n2n2 个部分(nN) 证明 (1)当 n1 时，一个圆将平面分成两个部分， 且 f(1)1122， 所以 n1 时命题成立 (2)假设 nk(k1)时命题成立， 即 k 个圆把平面分成 f(k)k2k2 个部分 则当 nk1 时， 在 k1 个圆中任取一个圆 O，剩下的 k 个圆将平面分成 f(k)个部分，而圆 O 与 k 个圆有 2k 个交点，这 2k 个点将圆 O 分成 k 段弧，每段弧将原平面一分为二， 故得 f(k1)f(k)2kk2k22k (k1)2(k1)2. 所以当 nk1 时，命题成立 综合(1)(2)可知，对一切
8、 nN，命题成立 反思与感悟 (1)数学归纳法证明几何问题的关键在于分析清楚 nk 与 nk1 时二者的差 异，这时常常借助于图形的直观性，然后用数学式子予以描述，建立起 f(k)与 f(k1)之间的 递推关系，实在分析不出的情况下，将 nk1 和 nk 分别代入所证的式子，然后作差， 即可求出增加量，然后只需稍加说明即可 (2)利用数学归纳法证明几何问题要注意利用数形结合寻找公式，还要注意结论要有必要的 文字说明 跟踪训练 3 平面内有 n 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，求证：这 n 条直 线把平面分割成1 2(n 2n2)个区域(nN ) 证明 (1)当 n1 时，一条直线把
9、平面分成两个区域， 又1 2(1 212)2，n1 时命题成立 (2)假设当 nk(k1，kN)时，命题成立，即 k 条满足题意的直线把平面分割成了1 2(k 2k 2)个区域 那么当 nk1 时，k1 条直线中的 k 条直线把平面分成了1 2(k 2k2)个区域，第 k1 条 直线被这 k 条直线分成 k1 段，每段把它们所在的区域分成了两块， 因此增加了 k1 个区域， k1 条直线把平面分成了1 2(k 2k2)k11 2(k1) 2(k1)2个区域 当 nk1 时命题也成立 由(1)(2)知，对一切的 nN，此命题均成立 1 用数学归纳法证明“凸 n 边形的内角和等于(n2)”时， 归
10、纳奠基中 n0的取值应为( ) A1 B2 C3 D4 答案 C 解析 边数最少的凸 n 边形为三角形，故 n03. 2用数学归纳法证明 1aa2an 11a n2 1a (nN，a1)，在验证 n1 成立时， 左边所得的项为( ) A1 B1aa2 C1a D1aa2a3 答案 B 解析 当 n1 时，n12，故左边所得的项为 1aa2. 3用数学归纳法证明 34n 152n1(nN)能被 8 整除，当 nk1 时，34(k1)152(k1)1应 变形为_ 答案 81(34k 152k1)5652k1(或 25(34k152k1)5634k1) 解析 34(k 1)152(k1)134k55
11、2k38134k12552k18134k18152k1 5652k 181(34k152k1)5652k1. 4用数学归纳法证明 13(2n1)n2(nN) 证明 (1)当 n1 时，左边1，右边1，等式成立 (2)假设当 nk(k1)时，等式成立， 即 13(2k1)k2， 那么，当 nk1 时， 13(2k1)2(k1)1k22(k1)1k22k1(k1)2. 所以当 nk1 时等式成立 由(1)和(2)可知等式对任意正整数 n 都成立 1应用数学归纳法时应注意的问题 (1)第一步中的验证，对于有些问题验证的并不是 n1，有时需验证 n2，n3. (2)对 nk1 时式子的项数以及 nk 与 nk1 的关系的正确分析是应用数学归纳法成功 证明问题的保障 (3)“假设 nk 时命题成立，利用这一假设证明 nk1 时命题成立”，这是应用数学归纳 法证明问题的核心环节，对待这一推导过程决不可含糊不清，推导的步骤要完整、严谨、规 范 2判断利用数学归纳法证明问题是否正确 (1)是要看有无归纳基础 (2)是证明当 nk1 时是否应用了归纳假设 3与 n 有关的整除问题一般都用数学归纳法证明其中关键问题是从当 nk1 时的表达 式中分解出 nk 时的表达式与一个含除式的因式或几个含除式的因式，这样才能得出结论 成立