1、三三 排序不等式排序不等式 学习目标 1.了解反序和、乱序和、顺序和等有关概念.2.了解排序不等式及其证明的几何 意义与背景.3.掌握排序不等式的结构形式，并能简单应用 知识点 排序不等式 思考 1 某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品 4 件、5 件及 2 件，现在选择商店中 单价为 3 元、 2 元和 1 元的礼品， 问有多少种不同的购买方案？在这些方案中哪种花钱最少？ 哪种花钱最多？ 答案 (1)共有 3216(种)不同的购买方案 (2)53422125(元)，这种方案花钱最多； 51422319(元)，这种方案花钱最少 思考 2 如图，POQ60 ，比较 112233 AOBA O
2、BA OB SSS与 132231 AOBA OBA OB SSS的 大小 答案 112233132231. AOBA OBA OBAOBA OBA OB SSSSSS 梳理 (1)顺序和、乱序和、反序和的概念 设有两个有序实数组：a1a2an；b1b2bn，c1，c2，cn是 b1，b2，bn 的任意一个排列 乱序和：Sa1c1a2c2ancn. 反序和：S1a1bna2bn1anb1. 顺序和：S2a1b1a2b2anbn. (2)排序不等式(排序原理) 设 a1a2an，b1b2bn为两组实数，c1，c2，cn是 b1，b2，bn的任一排 列，则 a1bna2bn1anb1a1c1a2c
3、2ancna1b1a2b2anbn，当且仅当 a1 a2an或 b1b2bn时，反序和等于顺序和 类型一 利用排序不等式证明不等式 命题角度1 字母已定序问题 例 1 已知 a，b，c 为正数，且 abc， 求证： a5 b3c3 b5 c3a3 c5 a3b3 1 a 1 b 1 c. 证明 ab0，于是1 a 1 b， 又 c0，从而 1 bc 1 ca， 同理 1 ca 1 ab，从而 1 bc 1 ca 1 ab. 又顺序和不小于乱序和，故可得 a5 b3c3 b5 c3a3 c5 a3b3 b5 b3c3 c5 c3a3 a5 a3b3 b 2 c3 c2 a3 a2 b3 a2b2
4、c2， 1 c3 1 b3 1 a3 c 2 c3 a2 a3 b2 b3 1 c 1 a 1 b 1 a 1 b 1 c. 原不等式成立 反思与感悟 利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、 分析所要证明的式子的结构， 从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组 跟踪训练 1 已知 0abc，求证： c2 ab b2 ac a2 bc a2 ab b2 bc c2 ca. 证明 因为 0abc，所以 0abcabc， 所以 1 ab 1 ca 1 bc0， 又 0a2b2c2， 所以 c2 ab b2 ac a2 bc是顺序和， a2 ab b2 bc c2 ca是乱序和，
5、由排序不等式可知顺序和大于等于乱序和， 即不等式 c2 ab b2 ac a2 bc a2 ab b2 bc c2 ca成立 命题角度2 字母大小顺序不定问题 例 2 已知 a，b，c 均为正数，求证： a2 bc b2 ca c2 ab 1 2(abc) 证明 由不等式的对称性，不妨设 abc0， 所以 a2b2c2， 1 bc 1 ca 1 ab. 由顺序和乱序和得到两个不等式： a2 bc b2 ca c2 ab a2 ca b2 ab c2 bc， a2 bc b2 ca c2 ab a2 ab b2 bc c2 ca. 两式相加，得 2 a2 bc b2 ca c2 ab b 2c2
6、 bc c 2a2 ca a 2b2 ab ， 注意到b 2c2 bc 1 2(bc)， c2a2 ca 1 2(ca)， a2b2 ab 1 2(ab)， 所以 2 a2 bc b2 ca c2 ab 1 2(bc) 1 2(ca) 1 2(ab) abc. 故 a2 bc b2 ca c2 ab 1 2(abc) 反思与感悟 对于排序不等式， 其核心是必须有两组完全确定的数据， 所以解题的关键是构 造出这样的两组数据 跟踪训练 2 设 a，b，cR，利用排序不等式证明： a3b3c3b 5c5 2a2 c 5a5 2b2 a 5b5 2c2 . 证明 不妨设 0abc， 则 a5b5c5，
7、1 c2 1 b2 1 a2， 所以由排序不等式可得 a3b3c3a 5 a2 b5 b2 c5 c2 a5 c2 b5 a2 c5 b2， a3b3c3a 5 a2 b5 b2 c5 c2 a5 b2 b5 c2 c5 a2， 所以 a3b3c3b 5c5 2a2 c 5a5 2b2 a 5b5 2c2 . 类型二 利用排序不等式求最值 例 3 设 a，b，c 为任意正数，求 a bc b ca c ab的最小值 解 由于 a，b，c 的对称性，不妨设 abc0， 则 abacbc， 1 bc 1 ca 1 ab， 由排序不等式，得 a bc b ca c ab b bc c ca a ab
8、， a bc b ca c ab c bc a ca b ab， 上述两式相加，得 2 a bc b ca c ab 3， 即 a bc b ca c ab 3 2. 当且仅当 abc 时， a bc b ca c ab取最小值 3 2. 反思与感悟 求最小(大)值，往往所给式子是顺(反)序和式然后利用顺(反)序和不小(大)于 乱序和的原理构造出一个或二个适当的乱序和，从而求出其最小(大)值 跟踪训练 3 设 0abc 且 abc1.试求 1 a3bc 1 b3ac 1 c3ab的最小值 解 令 S 1 a3bc 1 b3ac 1 c3ab， 则 S abc2 a3bc abc2 b3ac a
9、bc2 c3ab bc abc bc ac bac ac ab cab ab. 由已知可得 1 abc 1 bac 1 cab，abacbc. S bc abc ac ac bac ab ab cab bc c abc a bac b cab. 又 S bc abc ab ac bac bc ab cab ac b abc c bac a cab， 两式相加，得 2S1 a 1 b 1 c3 3 1 abc3. S3 2，即 1 a3bc 1 b3ac 1 c3ab的最小值为 3 2. 1 设 a， b， c 均为正数， 且 Pa3b3c3， Qa2bb2cc2a， 则 P 与 Q 的大小关系
10、是( ) APQ BPQ CPQ DPQ 答案 B 解析 不妨设 abc0，则 a2b2c20.由排序不等式，得 a2ab2bc2ca2bb2c c2a，当且仅当 abc 时，等号成立，所以 PQ. 2已知 a12，a27，a38，a49，a512，b13，b24，b36，b410，b511.将 bi(i 1,2,3,4,5)重新排列记为 c1，c2，c3，c4，c5，则 a1c1a2c2a5c5的最大值是( ) A324 B314 C304 D212 答案 C 解析 a1c1a2c2a5c5a1b1a2b2a3b3a4b4a5b5 2374869101211304. 3n 个正数与这 n 个
11、正数的倒数的乘积的和的最小值为_ 答案 n 解析 设 0a1a2a3an， 则 0a 1 na 1 n1a 1 1， 则由排序不等式得，反序和乱序和顺序和 故最小值为反序和 a1 a 1 1a2 a 1 2an a 1 nn. 4设 a，b 都是正数，求证： a b 2 b a 2a b b a. 证明 由题意不妨设 ab0. 则 a2b2，1 b 1 a，所以 a2 b b2 a . 根据排序不等式知，a 2 b 1 b b2 a 1 a a 2 b 1 a b2 a 1 b， 即 a b 2 b a 2a b b a. 1对排序不等式的理解 排序原理是对不同的两个数组来研究不同的乘积和的问
12、题， 能构造的和按数组中的某种“搭 配”的顺序被分为三种形式：顺序和、反序和、乱序和，对这三种不同的搭配形式只需注意 是怎样的“次序”， 两种较为简单的是“顺与反”， 而乱序和也就是不按“常理”的顺序了 2排序不等式的本质 两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大，反方向单调(一增一减) 时所得两两乘积之和最小 3排序不等式取等号的条件 等号成立的条件是其中一序列为常数序列，即 a1a2an或 b1b2b3bn. 4排序原理的思想 在解答数学问题时，常常涉及一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序， 那么在解答问题时，我们可以利用排序原理的思想方法，将它们按一定顺序排列起来，继而 利用不等关系来解题因此，对于排序原理，我们记住的是处理问题的这种思想及方法，同 时要学会善于利用这种比较经典的结论来处理实际问题