1、二二 用数学归纳法证明不等式用数学归纳法证明不等式 学习目标 1.会用数学归纳法证明与正整数有关的不等式.2.了解贝努利不等式，并会证明 贝努利不等式.3.体会归纳猜想证明的思想方法 知识点 用数学归纳法证明不等式 思考 1 用数学归纳法证明问题必须注意的步骤是什么？ 答案 (1)归纳奠基：验证初始值 nn0. (2)归纳递推：在假设 nk(kn0，kN)成立的前提下，证明 nk1 时问题成立 思考 2 证明不等式与证明等式有什么不同？ 答案 证明不等式需注意的是对式子进行“放缩” 梳理 (1)利用数学归纳法证明不等式 在运用数学归纳法证明不等式时，由 nk 时命题成立，推导 nk1 命题成立
2、时，常常要 与其他方法，如比较法、分析法、综合法、放缩法等结合进行 (2)贝努利(Bernoulli)不等式 如果 x 是实数，且 x1，x0，n 为大于 1 的自然数，则有(1x)n1nx. (3)贝努利不等式的推广 事实上，把贝努利不等式中的正整数 n 改为实数 时， 仍有类似不等式成立 当 是实数，并且满足 1 或者 0 时，有(1x)1x(x1)； 当 是实数，并且满足 01 时，有(1x)1x(x1) 类型一 数学归纳法与放缩法结合证明不等式 例 1 证明：1 1 22 1 32 1 n22 1 n(nN，n2) 证明 (1)当 n2 时，左边1 1 22 5 4，右边2 1 2 3
3、 2，由于 5 4 3 2，因此命题成立 (2)假设当 nk(kN，k2)时，命题成立， 即 1 1 22 1 32 1 k22 1 k. 当 nk1 时，1 1 22 1 32 1 k2 1 k122 1 k 1 k122 1 k 1 kk12 1 k 1 k 1 k1 2 1 k1， 即当 nk1 时，命题成立 由(1)(2)可知，不等式对一切 nN，n2 都成立 反思与感悟 在归纳递推过程中常用到放缩法， 这也是在用数学归纳法证明不等式问题时常 用的方法之一 跟踪训练 1 用数学归纳法证明：11 2 1 3 1 2n1n(nN ，n1) 证明 (1)当 n2 时，左边11 2 1 3，右
4、边2， 左边右边，不等式成立 (2)假设当 nk(k1，kN)时，不等式成立， 即 11 2 1 3 1 2k1k， 则当 nk1 时， 有 11 2 1 3 1 2k1 1 2k 1 2k1 1 2k 11k 1 2k 1 2k1 1 2k 11k12 k 2k k1， 所以当 nk1 时，不等式成立 由(1)(2)知，对于任意大于 1 的正整数 n，不等式均成立 类型二 利用数学归纳法证明数列不等式 例 2 已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 a11 2，an2SnSn10(n2) (1)判断 1 Sn 是否为等差数列，并证明你的结论； (2)证明：S21S22S2n1 2 1 4
5、n(n1 且 nN) (1)解 1 Sn 是等差数列，证明如下：S1a11 2， 所以 1 S12. 当 n2 时，anSnSn1，即 SnSn12SnSn1. 所以 1 Sn 1 Sn12.故 1 Sn 是以 2 为首项，2 为公差的等差数列，且 1 Sn2n. (2)证明 当 n1 时， S211 4 1 2 1 41，不等式成立 假设当 nk(k1)时，不等式成立， 即 S21S22S2k1 2 1 4k成立， 则当 nk1 时，S21S22S2kS2k11 2 1 4k 1 4k12 1 2 1 4 1 k 1 k12 1 2 1 4 k2k1 kk12 1 2 1 4 k2k kk1
6、2 1 2 1 4k1.即当 nk1 时，不等式成立 由可知，对任意 nN不等式都成立 反思与感悟 (1)首先掌握好数学归纳法求解问题的步骤及等差、等比数列的基础知识，这 是解决这类问题的基础 (2)此类题型通常与数列的递推公式、通项公式有关，有时要证明的式子是直接给出，有时 是根据条件从前几项入手，通过观察、猜想，归纳出一个式子，然后再用数学归纳法证明 跟踪训练 2 设 0a1，定义 a11a，an1 1 ana，求证：对一切正整数 n，有 1an 1 1a. 证明 (1)当 n1 时，a11，a11a 1 1a，命题成立 (2)假设当 nk(kN)时，命题成立，即 1ak 1 1a. 当
7、nk1 时， 由递推公式知，ak1 1 aka(1a)a1. 同时，ak1 1 aka1a 1a2 1a 1 1a， 故当 nk1 时，命题也成立，即 1ak1 1 1a. 综合(1)(2)可知，对一切正整数 n，有 1an 1 1a. 1用数学归纳法证明 3nn3(n3，nN)，第一步验证( ) An1 Bn2 Cn3 Dn4 答案 C 解析 由题意知，n 的最小值为 3，所以第一步验证 n3 是否成立 2用数学归纳法证明“Sn 1 n1 1 n2 1 n3 1 n231(nN )”时，S1等于( ) A.1 2 B.1 4 C.1 2 1 3 D.1 2 1 3 1 4 答案 D 解析 S
8、1 1 11 1 12 1 123 1 2 1 3 1 4. 3用数学归纳法证明 1 22 1 32 1 n12 1 2 1 n2.假设当 nk 时，不等式成立，则当 n k1 时，应推证的目标不等式是_ 答案 1 22 1 32 1 k12 1 k22 1 2 1 k3 解析 当 nk1 时，目标不等式为 1 22 1 32 1 k12 1 k22 1 2 1 k3. 4 若不等式 1 n1 1 n2 1 n3 1 3n1 a 24对一切正整数 n 都成立， 求正整数 a 的最大 值，并证明你的结论 解 当 n1 时， 1 11 1 12 1 311 a 24， 即26 24 a 24，a2
9、6. 又 aN，正整数 a 的最大值为 25. 下面用数学归纳法证明 1 n1 1 n2 1 3n1 25 24. (1)当 n1 时，不等式显然成立 (2)假设当 nk(k1)时， 1 k1 1 k2 1 3k1 25 24成立 当 nk1 时，有 1 k11 1 k12 1 3k1 1 3k2 1 3k3 1 3k11 1 k1 1 k2 1 3k1 1 3k2 1 3k3 1 3k4 1 k1 25 24 1 3k2 1 3k4 2 3k1 . 1 3k2 1 3k4 6k1 9k218k8 6k1 9k218k9 2k1 3k12 2 3k1， 1 3k2 1 3k4 2 3k10， 1 k11 1 k12 1 3k11 25 24， 即 nk1 时不等式也成立 由(1)(2)知，对一切 nN，都有 1 n1 1 n2 1 3n1 25 24. 数学归纳法证明不等式的技巧 (1)证明不等式时，由 nk 到 nk1 的推证过程与证明等式有所不同，由于不等式中的不 等关系， 需要我们在证明时， 对原式进行“放大”或者“缩小”才能使用到 nk 时的假设， 所以需要认真分析，适当放缩，才能使问题简单化，这是利用数学归纳法证明不等式时常用 的方法之一 (2)数学归纳法的应用通常需要与数学的其他方法联系在一起， 如比较法、 放缩法、 配凑法、 分析法和综合法等，才能完成证明过程