1、第2课时基本不等式,第一讲一 不等式,学习目标 1.理解并掌握重要不等式(定理1)和基本不等式(定理2). 2.能运用这两个不等式解决函数的最值或值域问题，能运用这两个不等式证明一些简单的不等式. 3.能运用基本不等式(定理2)解决某些实际问题.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点基本不等式,思考回顾a2b22ab的证明过程，并说明等号成立的条件.,答案a2b22ab(ab)20，即a2b22ab， 当且仅当ab时，a2b22ab.,梳理(1)重要不等式 定理1：如果a，bR，那么a2b2 2ab，当且仅当 时，等号成立. (2)基本不等式,定理2的应用：对两个正实数x，
2、y， ()如果它们的和S是定值，则当且仅当 时，它们的积P取得最 值； ()如果它们的积P是定值，则当且仅当 时，它们的和S取得最 值.,ab,ab,xy,大,xy,小,题型探究,类型一不等式的证明,证明,例1已知a，b，cR，且abc1.,证明方法一a，b，c为正实数，且abc1，,32229，当且仅当abc时，等号成立.,方法二a，b，cR，且abc1，,32229，当且仅当abc时，等号成立.,引申探究,证明a2b22ab，,(2ab)(2bc)(2ca)abc1，,证明,证明a2b22ab，2(a2b2)(ab)2. 又a，b，cR，,当且仅当abc时取等号.,证明,反思与感悟用基本不
3、等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式进行证明.,跟踪训练1(1)已知a，b，c，dR，求证：(abcd)(acbd)4abcd；,证明a，b，c，d，R，,(abcd)(acbd)4abcd. 当且仅当ad且bc时取等号.,证明,证明,类型二利用基本不等式求最值,解答,f(x)的最大值是12.,解答,反思与感悟在应用基本不等式求最值时，分以下三步进行 (1)首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值. (2)其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取1变
4、为同正. (3)利用已知条件对取等号的情况进行验证.若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数的单调性或导数解决.,解析,答案,类型三利用基本不等式解决实际应用问题,例3某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2019年大型展销会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x(万件)与年促销费用t(万元)之间满足3x与t1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2019年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化
5、妆品正好能销完. (1)将2019年的利润y(万元)表示为促销费用t(万元)的函数；,解答,当年生产x万件时， 年生产成本年生产费用固定费用，,由题意，生产x万件化妆品正好销售完， 由年利润年销售收入年生产成本促销费用，,(2)该企业2019年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？,即当t7时，等号成立，ymax42， 当促销费用定在7万元时，年利润最大.,解答,反思与感悟利用不等式解决实际应用问题时，首先要仔细阅读题目，弄清要解决的实际问题，确定是求什么量的最值；其次，分析题目中给出的条件，建立y的函数表达式yf(x)(x一般为题目中最后所要求的量)；最后，利用不等式的有关知识解题.求解
6、过程中要注意实际问题对变量x的范围制约.,跟踪训练3围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x(单位：m)，总费用为y(单位：元).,(1)将y表示为x的函数；,解答,解如题图所示，设矩形的另一边长为a m. 则y45x180(x2)1802a225x360a360.,(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.,解x2，,此时修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 44
7、0元.,解答,达标检测,1,2,3,4,1.下列不等式中，正确的个数是,解析,答案,5,A.0 B.1 C.2 D.3,解析显然不正确；正确；,不正确，如a1，b4.,1,2,3,4,5,解析,答案,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,3.下列不等式的证明过程正确的是,解析,答案,解析,答案,解析对于A，a，b必须同号； 对于B，cos x不一定大于0； 对于C，由x0，,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,解析,答案,3,且x1，即x2时等号成立.故函数的最小值为3.,1,2,3,4,5,证明a2b22ab， 2(a2b2)a2b22ab(ab)21，,证明,1.对于基本不等式的应用，如果能熟练掌握一些常见结论，可使应用更加灵活快捷.,规律与方法,2.利用基本不等式求最值，关键是对式子进行恰当的变形，合理构造“和式”与“积式”的互化，必要时可多次应用基本不等式.注意一定要求出使“”成立的自变量的值，这也是进一步检验是否存在最值的重要依据.,