1、三排序不等式,第三讲柯西不等式与排序不等式,学习目标 1.了解反序和、乱序和、顺序和等有关概念. 2.了解排序不等式及其证明的几何意义与背景. 3.掌握排序不等式的结构形式，并能简单应用.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点排序不等式,思考1某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件、5件及2件，现在选择商店中单价为3元、2元和1元的礼品，问有多少种不同的购买方案？在这些方案中哪种花钱最少？哪种花钱最多？,答案(1)共有3216(种)不同的购买方案. (2)53422125(元)，这种方案花钱最多； 51422319(元)，这种方案花钱最少.,思考2如图，POQ60，比
2、较 与 的大小.,答案,梳理(1)顺序和、乱序和、反序和的概念 设有两个有序实数组：a1a2an；b1b2bn，c1，c2，cn是b1，b2，bn的任意一个排列. 乱序和： . 反序和： . 顺序和： .,Sa1c1a2c2ancn,S1a1bna2bn1anb1,S2a1b1a2b2anbn,(2)排序不等式(排序原理) 设a1a2an，b1b2bn为两组实数，c1，c2，cn是b1，b2，bn的任一排列，则 a1c1a2c2ancn ，当且仅当a1a2an或b1b2bn时，反序和等于顺序和.,a1bna2bn1anb1,a1b1a2b2anbn,题型探究,类型一利用排序不等式证明不等式,命
3、题角度1字母已定序问题,证明,又顺序和不小于乱序和，故可得,原不等式成立.,反思与感悟利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组.,证明,证明因为0abc，所以0abcabc，,又0a2b2c2，,由排序不等式可知顺序和大于等于乱序和，,命题角度2字母大小顺序不定问题,证明,证明由不等式的对称性，不妨设abc0，,由顺序和乱序和得到两个不等式：,两式相加，得,反思与感悟对于排序不等式，其核心是必须有两组完全确定的数据，所以解题的关键是构造出这样的两组数据.,跟踪训练2设a，b，cR，利用排序不等式证明：,证明不妨
4、设0abc，,所以由排序不等式可得,证明,类型二利用排序不等式求最值,解答,解由于a，b，c的对称性，不妨设abc0， 则abacbc，,由排序不等式，得,反思与感悟求最小(大)值，往往所给式子是顺(反)序和式.然后利用顺(反)序和不小(大)于乱序和的原理构造出一个或二个适当的乱序和，从而求出其最小(大)值.,解答,达标检测,1.设a，b，c均为正数，且Pa3b3c3，Qa2bb2cc2a，则P与Q的大小关系是 A.PQ B.PQ C.PQ D.PQ,1,2,3,4,解析不妨设abc0， 则a2b2c20. 由排序不等式，得a2ab2bc2ca2bb2cc2a， 当且仅当abc时，等号成立，所
5、以PQ.,解析,答案,2.已知a12，a27，a38，a49，a512，b13，b24，b36，b410，b511.将bi(i1,2,3,4,5)重新排列记为c1，c2，c3，c4，c5，则a1c1a2c2a5c5的最大值是 A.324 B.314 C.304 D.212,答案,1,2,3,4,解析a1c1a2c2a5c5a1b1a2b2a3b3a4b4a5b5 2374869101211304.,解析,3.n个正数与这n个正数的倒数的乘积的和的最小值为_.,1,2,3,4,n,解析,答案,解析设0a1a2a3an，,则由排序不等式得，反序和乱序和顺序和. 故最小值为反序和,1,2,3,4,证
6、明,证明由题意不妨设ab0.,1.对排序不等式的理解 排序原理是对不同的两个数组来研究不同的乘积和的问题，能构造的和按数组中的某种“搭配”的顺序被分为三种形式：顺序和、反序和、乱序和，对这三种不同的搭配形式只需注意是怎样的“次序”，两种较为简单的是“顺与反”，而乱序和也就是不按“常理”的顺序了. 2.排序不等式的本质 两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小.,规律与方法,3.排序不等式取等号的条件 等号成立的条件是其中一序列为常数序列，即a1a2an或b1b2b3bn. 4.排序原理的思想 在解答数学问题时，常常涉及一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序，那么在解答问题时，我们可以利用排序原理的思想方法，将它们按一定顺序排列起来，继而利用不等关系来解题.因此，对于排序原理，我们记住的是处理问题的这种思想及方法，同时要学会善于利用这种比较经典的结论来处理实际问题.,