1、复习课,第四讲用数学归纳法证明不等式,学习目标 1.梳理数学归纳法的思想方法，初步形成“归纳猜想证明”的思维模式. 2.熟练掌握用数学归纳法证明不等式、等式等问题的证明步骤.,知识梳理,达标检测,题型探究,内容索引,知识梳理,1.数学归纳法是用有限个步骤，就能够处理完无限多个对象的方法. 2.一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤： (1)证明当nn0时命题成立. (2)假设当nk(kN且kn0)时命题成立，证明当nk1时命题也成立.完成以上两个步骤，就可以断定命题对不小于n0的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法.,3.在数学归纳法的
2、两个步骤中，第一步是奠基，第二步是假设与递推，递推是实现从有限到无限飞跃的关键. 4.用数学归纳法证明不等式，关键是在假设当nk(kN，kn0)时命题成立的条件下，推出当nk1时命题成立这一步，为完成这步证明，不仅要正确使用归纳假设，还要用到分析法，综合法，放缩法等相关知识和方法.,题型探究,类型一归纳猜想证明,例1已知数列an的第一项a15且Sn1an(n2，nN). (1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式；,解a2S1a15，a3S2a1a210， a4S3a1a2a3551020，,解答,证明,(2)用数学归纳法证明an的通项公式.,证明当n2时，a252225，公式成立. 假
3、设当nk时成立， 即ak52k2(k2，kN)， 当nk1时，由已知条件和假设有 ak1Ska1a2ak 551052k2,故当nk1时公式也成立. 由可知，对n2，nN有an52n2.,反思与感悟利用数学归纳法解决探索型不等式的思路是：观察归纳猜想证明.即先通过观察部分项的特点，进行归纳，判断并猜想出一般结论，然后用数学归纳法进行证明.,跟踪训练1设f(n)0(nN)，对任意自然数n1和n2总有f(n1n2)f(n1)f(n2)，又f(2)4. (1)求f(1)，f(3)的值；,解由于对任意自然数n1和n2， 总有f(n1n2)f(n1)f(n2). 取n1n21，得f(2)f(1)f(1)
4、，即f2(1)4. f(n)0(nN)， f(1)2. 取n11，n22，得f(3)23.,解答,(2)猜想f(n)的表达式，并证明你的猜想.,解由f(1)21，f(2)422，f(3)23， 猜想f(n)2n. 证明：当n1时，f(1)2成立. 假设nk(k1，kN)时，f(k)2k成立. 当nk1时，f(k1)f(k)f(1)2k22k1， 所以当nk1时，猜想也成立. 由知猜想正确，即f(n)2n，nN.,解答,类型二用数学归纳法证明等式或不等式,命题角度1用数学归纳法证明等式(以三角函数为背景),证明,证明(1)当n2时， 左边tan tan 2，,tan tan 2，等式成立.,(2
5、)假设当nk(k2，kN)时等式成立，,当nk1时， tan tan 2tan 2tan 3tan(k1)tan ktan ktan(k1),所以当nk1时，等式也成立. 由(1)和(2)知，当n2，nN时等式恒成立.,反思与感悟归纳法是证明有关正整数n的命题的一种方法，应用广泛.用数学归纳法证明一个命题必须分两个步骤：(1)论证命题的起始正确性，是归纳的基础；(2)推证命题正确的可传递性，是递推的依据.两步缺一不可，证明步骤与格式的规范是数学归纳法的一个特征.,证明,证明(1)当n1时，左边2cos x1，,即左边右边，命题成立. (2)假设当nk(k1，kN)时，命题成立，,当nk1时，
6、左边(2cos x1)(2cos 2x1)(2cos 2k1x1)(2cos 2kx1),当nk1时命题成立. 由(1)(2)可知，当nN时命题成立.,命题角度2用数学归纳法证明不等式,证明,(2)假设当nk(k2，kN)时，结论成立，,则当nk1时，,即当nk1时，结论成立.,反思与感悟用数学归纳法证明不等式，除了注意数学归纳法规范的格式外，还要注意灵活利用问题的其他条件及相关知识.,证明,证明(1)当n2时，,(2)假设当nk(k2，kN)时，命题成立，,当nk1时，,所以当nk1时，不等式也成立. 由(1)(2)可知，原不等式对一切n2，nN均成立.,类型三用数学归纳法证明整除问题,例4
7、用数学归纳法证明：n(n1)(2n1)能被6整除.,证明(1)当n1时，123显然能被6整除. (2)假设当nk(k1，kN)时，命题成立， 即k(k1)(2k1)2k33k2k能被6整除. 当nk1时，(k1)(k2)(2k3)2k33k2k6(k22k1). 因为2k33k2k,6(k22k1)都能被6整除， 所以2k33k2k6(k22k1)能被6整除， 即当nk1时命题成立. 由(1)和(2)知，对任意nN原命题成立.,证明,反思与感悟用数学归纳法证明整除问题的关键点 (1)用数学归纳法证明整除问题的关键是利用增项、减项、拆项、并项、因式分解等恒等变形的方法去凑假设、凑结论，从而利用归
8、纳假设使问题获证. (2)与n有关的整除问题一般都用数学归纳法证明，其中关键问题是从nk1时的表达式中分解出nk时的表达式与一个含除式的因式或几个含除式的因式.,跟踪训练4设xN，nN， 求证：xn2(x1)2n1能被x2x1整除.,证明,证明(1)当n1时，x3(x1)3x(x1)x2x(x1)(x1)2(2x1)(x2x1)，结论成立. (2)假设当nk(k1，kN)时，结论成立， 即xk2(x1)2k1能被x2x1整除， 那么当nk1时， x(k1)2(x1)2(k1)1 xxk2(x1)2(x1)2k1 xxk2(x1)2k1(x1)2(x1)2k1x(x1)2k1 xxk2(x1)2
9、k1(x2x1)(x1)2k1.,由假设知，xk2(x1)2k1及x2x1均能被x2x1整除， 故x(k1)2(x1)2(k1)1能被x2x1整除， 即当nk1时，结论也成立. 由(1)(2)知，原结论成立.,达标检测,1,2,3,4,答案,证明：(1)当n1时，显然命题是正确的；,A.从k到k1的推理过程没有使用归纳假设 B.归纳假设的写法不正确 C.从k到k1的推理不严密 D.当n1时，验证过程不具体,2.设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立”，那么，下列命题总成立的是 A.若f(3)9成立，则当k1时，均有f(k)k
10、2成立 B.若f(5)25成立，则当k5时，均有f(k)k2成立 C.若f(7)49成立，则当k8时，均有f(k)k2成立 D.若f(4)25成立，则当k4时，均有f(k)k2成立,解析,答案,1,2,3,4,解析对于D，f(4)2542， 当k4时，均有f(k)k2.,(k21)(k1)2,解析当nk1时，左端123k2(k21)(k1)2. 所以增加了(k21)(k1)2.,1,2,3,4,解析,答案,1,2,3,4,证明,所以a0a12，命题正确. (2)假设当nk(k1，kN)时命题成立，即ak1ak2. 则当nk1时，,1,2,3,4,而ak1ak0,4ak1ak0，所以akak10
11、.,1,2,3,4,所以当nk1时命题正确. 由(1)(2)可知，对一切nN，有anan12.,1.在推证“nk1”命题也成立时，必须把归纳假设“nk”时的命题作为必备条件使用上，否则不是数学归纳法.对项数估算的错误，特别是寻找nk与nk1的关系时，弄错项数发生的变化是常见错误. 2.用数学归纳法证明的问题通常与数列的递推公式、通项公式有关，有时要证明的等式或不等式是直接给出，有时是根据条件从前几项入手，通过观察、归纳，猜想出一个等式或不等式，然后再用数学归纳法证明.,规律与方法,3.用数学归纳法证明与自然数有关的不等式以及数列有关的命题是考查的重点，主要考查用数学归纳法证明数学命题的能力，同时考查分析问题、解决问题的能力.,