1、复习课,第三讲柯西不等式与排序不等式,学习目标 1.梳理本专题主要知识，构建知识网络. 2.进一步理解柯西不等式，熟练掌握柯西不等式的各种形式及应用技巧. 3.理解排序不等式及应用. 4.进一步体会柯西不等式与排序不等式所蕴含的数学思想及方法.,知识梳理,达标检测,题型探究,内容索引,知识梳理,1.二维形式的柯西不等式 (1)二维形式的柯西不等式：_ _. (2)柯西不等式的向量形式：_ _. (3)二维形式的三角不等式：设x1，y1，x2，y2R，那么 _.,若a，b，c，d都是实数，则(a2b2)(c2d2),(acbd)2,设，是两个向量，则|，当且仅当是零向量，或存在实数k，使k时，等
2、号成立,2.一般形式的柯西不等式 设a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是实数，则_ _.当且仅当bi0(i1,2，n)或存在一个数k，使得aikbi(i1,2，n)时，等号成立. 3.排序不等式 设a1a2an，b1b2bn为两组实数，c1，c2，cn是b1，b2，bn的任一排列，则a1bna2bn1anb1_ a1b1a2b2anbn.,a1c1a2c2ancn,题型探究,类型一利用柯西不等式证明不等式,证明,证明由柯西不等式知，,又已知a，b，c，d不全相等，则中等号不成立.,反思与感悟利用柯西不等式证题的技巧,(2)利用柯西不等式证明其他不等式的关键是构造两组数，并向着柯西不
3、等式的形式进行转化，运用时要注意体会.,证明,类型二利用排序不等式证明不等式,证明不妨设0abc，于是ABC. 由排序不等式，得 aAbBcCaAbBcC， aAbBcCbAcBaC， aAbBcCcAaBbC. 相加，得3(aAbBcC)(abc)(ABC),证明,引申探究,证明不妨设0abc，于是ABC. 由0bca,0abc,0acb， 有0A(bca)C(abc)B(acb) a(BCA)b(ACB)c(ABC) a(2A)b(2B)c(2C) (abc)2(aAbBcC).,证明,反思与感悟利用排序不等式证明不等式的策略 (1)在利用排序不等式证明不等式时，首先考虑构造出两个合适的有
4、序数组，并能根据需要进行恰当地组合.这需要结合题目的已知条件及待证不等式的结构特点进行合理选择. (2)根据排序不等式的特点，与多变量间的大小顺序有关的不等式问题，利用排序不等式解决往往很简捷.,证明,证明由a，b，c的对称性，不妨设abc，,由排序不等式，得,再次由排序不等式，得,类型三利用柯西不等式或排序不等式求最值,例3(1)求实数x，y的值使得(y1)2(xy3)2(2xy6)2达到最小值.,解由柯西不等式，得 (122212)(y1)2(3xy)2(2xy6)2 1(y1)2(3xy)1(2xy6)21，,解答,解答,解设b1，b2，b3，b4，b5是a1，a2，a3，a4，a5的一
5、个排列， 且b1b2b3b4b5. 因此b11，b22，b33，b44，b55.,由排序不等式，得,反思与感悟利用柯西或排序不等式求最值的技巧 (1)有关不等式问题往往要涉及对式子或量的范围的限定，其中含有多变量限制条件的最值问题往往难以处理.在这类题目中，利用柯西不等式或排序不等式处理往往比较容易. (2)在利用柯西不等式或排序不等式求最值时，要关注等号成立的条件，不能忽略.,解答,达标检测,1,2,3,4,解析,答案,339. y3，y的最大值为3.,2.已知实数a，b，c，d满足abcd3，a22b23c26d25，则a的最大值是 A.1 B.2 C.3 D.4,解析,答案,1,2,3,
6、4,即2b23c26d2(bcd)2. 5a2(3a)2. 解得1a2. 验证：当a2时，等号成立.,3.已知2x3y4z10，则x2y2z2取到最小值时的x，y，z的值为,解析由柯西不等式得 (223242)(x2y2z2)(2x3y4z)2，,1,2,3,4,解析,答案,1,2,3,4,证明,证明不妨设abc0，,1.对于柯西不等式要特别注意其向量形式的几何意义，从柯西不等式的几何意义出发就得到了三角形式的柯西不等式，柯西不等式的一般形式也可以写成向量形式. 2.参数配方法是由旧知识得到的新方法，注意体会此方法的数学思想. 3.对于排序不等式要抓住它的本质含义：两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小，注意等号成立条件是其中一序列为常数序列.,规律与方法,4.数学建模是数学学习中的一种新形式，它为学生提供了自己学习的空间，有助于学生了解数学在实际生活中的应用，体会数学与日常生活及其他学科的联系.,