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第二讲 证明不等式的基本方法 复习课ppt课件

1、复习课,第二讲证明不等式的基本方法,学习目标 1.系统梳理证明不等式的基本方法. 2.进一步体会不同方法所适合的不同类型的问题,针对不同类型的问题,合理选用不同的方法. 3.进一步熟练掌握不同方法的解题步骤及规范.,知识梳理,达标检测,题型探究,内容索引,知识梳理,1.比较法 作差比较法是证明不等式的基本方法,其依据是:不等式的意义及实数大小比较的充要条件.证明的步骤大致是:作差恒等变形判断结果的符号. 2.综合法 综合法证明不等式的依据是:已知的不等式以及逻辑推理的基本理论.证明时要注意的是作为依据和出发点的几个重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同,应用时要先考虑是否具备应有的条件,避

2、免错误,如一些带等号的不等式,应用时要清楚取等号的条件,即对重要不等式中“当且仅当时,取等号”的理由要理解掌握.,3.分析法 分析法证明不等式的依据也是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论.分析法证明不等式的思维方向是“逆推”,即从待证的不等式出发,逐步寻找使它成立的充分条件(执果索因),最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式. 一般来说,对于较复杂的不等式,直接用综合法往往不易入手,因此,通常用分析法探索证题途径,然后用综合法加以证明,所以分析法和综合法可结合使用.,4.反证法 反证法是一种“正难则反”的方法,反证法适用的范围: 直接证明困难;需要分成很多类进行讨论;“

3、唯一性”“存在性”的命题;结论中含有“至少”“至多”否定性词语的命题. 5.放缩法 放缩法就是将不等式的一边放大或缩小,寻找一个中间量,常用的放缩技巧有:舍掉(或加进)一些项;在分式中放大或缩小分子或分母;用基本不等式放缩.,题型探究,类型一比较法证明不等式,证明,反思与感悟作差法证明不等式的关键是变形,变形是证明推理中一个承上启下的关键,变形的目的在于判断差的符号,而不是考虑能否化简或值是多少,变形所用的方法要具体情况具体分析,可以配方,可以因式分解,可以运用一切有效的恒等变形的方法.,证明,类型二综合法与分析法证明不等式,证明,因此只需证(abc)23, 即证a2b2c22(abbcca)

4、3, 根据条件,只需证a2b2c21abbcca,,证明,abbcca1,,原不等式成立.,反思与感悟证明比较复杂的不等式时,考虑分析法与综合法的结合使用,这样使解题过程更加简洁.,证明,abc, acab0,bc0,,方法二abc, acab0,bc0,,类型三反证法证明不等式,因为x0且y0,所以1x2y且1y2x, 两式相加,得2xy2x2y,所以xy2. 这与已知xy2矛盾.,证明,反思与感悟反证法的“三步曲”:(1)否定结论.(2)推出矛盾.(3)肯定结论.其核心是在否定结论的前提下推出矛盾.,跟踪训练3已知函数yf(x)在R上是增函数,且f(a)f(b)f(b)f(a),求证:ab

5、.,证明假设ab不成立,则ab或ab. 当ab时,ab,则有f(a)f(b),f(a)f(b), 于是f(a)f(b)f(b)f(a)与已知矛盾. 当ab时,ab,由函数yf(x)的单调性, 可得f(a)f(b),f(b)f(a), 于是有f(a)f(b)f(b)f(a)与已知矛盾.故假设不成立. ab.,证明,类型四放缩法证明不等式,证明,证明对kN,1kn,有,又对于kN,2kn,有,原不等式成立.,反思与感悟放缩法是在顺推法逻辑推理过程中,有时利用不等式关系的传递性作适当的放大或缩小,证明比原不等式更强的不等式来代替原不等式的一种证明方法. 放缩法的实质是非等价转化,放缩没有一定的准则和

6、程序,需按题意适当放缩,否则达不到目的.,跟踪训练4设f(x)x2x13,a,b0,1, 求证:|f(a)f(b)|ab|.,证明|f(a)f(b)|a2ab2b| |(ab)(ab1)|ab|ab1|, 0a1,0b1,0ab2, 1ab11,|ab1|1. |f(a)f(b)|ab|.,证明,达标检测,1.已知p: ab0,q: 则p与q的关系是 A.p是q的充分不必要条件B.p是q的必要不充分条件 C.p是q的充要条件D.以上答案都不对,1,2,3,4,答案,ab0.,解析,2.实数a,b,c满足a2bc2,则 A.a,b,c都是正数 B.a,b,c都大于1 C.a,b,c都小于2 D.

7、a,b,c中至少有一个不小于,解析,答案,1,2,3,4,则a2bc2与a2bc2矛盾.,1,2,3,4,解析,答案,98,ba.,3553,bc.,bac, 故选C.,1,2,3,4,1,2,3,4,4.已知a,bR,nN, 求证:(ab)(anbn)2(an1bn1).,证明,1,2,3,4,证明(ab)(anbn)2(an1bn1) an1abnbanbn12an12bn1 a(bnan)b(anbn) (ab)(bnan). (1)若ab0,则bnan0,ab0, (ab)(bnan)0. (2)若ba0,则bnan0,ab0, (ab)(bnan)0.,1,2,3,4,(3)若ab0

8、,(bnan)(ab)0. 综上(1)(2)(3)可知,对于a,bR,nN,都有 (ab)(anbn)2(an1bn1).,1.比较法证明不等式一般有两种方法:作差法和作商法,作商法应用的前提条件是已知不等式两端的代数式同号. 2.由教材内容可知,分析法是“执果索因”,步步寻求上一步成立的充分条件,而综合法是“由因导果”,两者是对立统一的两种方法. 3.证明不等式的基本方法及一题多证:证明不等式的基本方法主要有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等.证明不等式时既可探索新的证明方法,培养创新意识,也可一题多证,开阔思路,活跃思维,目的是通过证明不等式发展逻辑思维能力,提高数学素养.,规律与方法,