1、复习课,第二讲证明不等式的基本方法,学习目标 1.系统梳理证明不等式的基本方法. 2.进一步体会不同方法所适合的不同类型的问题，针对不同类型的问题，合理选用不同的方法. 3.进一步熟练掌握不同方法的解题步骤及规范.,知识梳理,达标检测,题型探究,内容索引,知识梳理,1.比较法 作差比较法是证明不等式的基本方法，其依据是：不等式的意义及实数大小比较的充要条件.证明的步骤大致是：作差恒等变形判断结果的符号. 2.综合法 综合法证明不等式的依据是：已知的不等式以及逻辑推理的基本理论.证明时要注意的是作为依据和出发点的几个重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同，应用时要先考虑是否具备应有的条件，避
2、免错误，如一些带等号的不等式，应用时要清楚取等号的条件，即对重要不等式中“当且仅当时，取等号”的理由要理解掌握.,3.分析法 分析法证明不等式的依据也是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论.分析法证明不等式的思维方向是“逆推”，即从待证的不等式出发，逐步寻找使它成立的充分条件(执果索因)，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式. 一般来说，对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法可结合使用.,4.反证法 反证法是一种“正难则反”的方法，反证法适用的范围： 直接证明困难；需要分成很多类进行讨论；“
3、唯一性”“存在性”的命题；结论中含有“至少”“至多”否定性词语的命题. 5.放缩法 放缩法就是将不等式的一边放大或缩小，寻找一个中间量，常用的放缩技巧有：舍掉(或加进)一些项；在分式中放大或缩小分子或分母；用基本不等式放缩.,题型探究,类型一比较法证明不等式,证明,反思与感悟作差法证明不等式的关键是变形，变形是证明推理中一个承上启下的关键，变形的目的在于判断差的符号，而不是考虑能否化简或值是多少，变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法.,证明,类型二综合法与分析法证明不等式,证明,因此只需证(abc)23， 即证a2b2c22(abbcca)
4、3， 根据条件，只需证a2b2c21abbcca，,证明,abbcca1，,原不等式成立.,反思与感悟证明比较复杂的不等式时，考虑分析法与综合法的结合使用，这样使解题过程更加简洁.,证明,abc， acab0，bc0，,方法二abc， acab0，bc0，,类型三反证法证明不等式,因为x0且y0，所以1x2y且1y2x， 两式相加，得2xy2x2y，所以xy2. 这与已知xy2矛盾.,证明,反思与感悟反证法的“三步曲”：(1)否定结论.(2)推出矛盾.(3)肯定结论.其核心是在否定结论的前提下推出矛盾.,跟踪训练3已知函数yf(x)在R上是增函数，且f(a)f(b)f(b)f(a)，求证：ab
5、.,证明假设ab不成立，则ab或ab. 当ab时，ab，则有f(a)f(b)，f(a)f(b)， 于是f(a)f(b)f(b)f(a)与已知矛盾. 当ab时，ab，由函数yf(x)的单调性， 可得f(a)f(b)，f(b)f(a)， 于是有f(a)f(b)f(b)f(a)与已知矛盾.故假设不成立. ab.,证明,类型四放缩法证明不等式,证明,证明对kN，1kn，有,又对于kN，2kn，有,原不等式成立.,反思与感悟放缩法是在顺推法逻辑推理过程中，有时利用不等式关系的传递性作适当的放大或缩小，证明比原不等式更强的不等式来代替原不等式的一种证明方法. 放缩法的实质是非等价转化，放缩没有一定的准则和
6、程序，需按题意适当放缩，否则达不到目的.,跟踪训练4设f(x)x2x13，a，b0,1， 求证：|f(a)f(b)|ab|.,证明|f(a)f(b)|a2ab2b| |(ab)(ab1)|ab|ab1|， 0a1,0b1，0ab2， 1ab11，|ab1|1. |f(a)f(b)|ab|.,证明,达标检测,1.已知p: ab0，q： 则p与q的关系是 A.p是q的充分不必要条件B.p是q的必要不充分条件 C.p是q的充要条件D.以上答案都不对,1,2,3,4,答案,ab0.,解析,2.实数a，b，c满足a2bc2，则 A.a，b，c都是正数 B.a，b，c都大于1 C.a，b，c都小于2 D.
7、a，b，c中至少有一个不小于,解析,答案,1,2,3,4,则a2bc2与a2bc2矛盾.,1,2,3,4,解析,答案,98，ba.,3553，bc.,bac， 故选C.,1,2,3,4,1,2,3,4,4.已知a，bR，nN， 求证：(ab)(anbn)2(an1bn1).,证明,1,2,3,4,证明(ab)(anbn)2(an1bn1) an1abnbanbn12an12bn1 a(bnan)b(anbn) (ab)(bnan). (1)若ab0，则bnan0，ab0， (ab)(bnan)0. (2)若ba0，则bnan0，ab0， (ab)(bnan)0.,1,2,3,4,(3)若ab0
8、，(bnan)(ab)0. 综上(1)(2)(3)可知，对于a，bR，nN，都有 (ab)(anbn)2(an1bn1).,1.比较法证明不等式一般有两种方法：作差法和作商法，作商法应用的前提条件是已知不等式两端的代数式同号. 2.由教材内容可知，分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，而综合法是“由因导果”，两者是对立统一的两种方法. 3.证明不等式的基本方法及一题多证：证明不等式的基本方法主要有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等.证明不等式时既可探索新的证明方法，培养创新意识，也可一题多证，开阔思路，活跃思维，目的是通过证明不等式发展逻辑思维能力，提高数学素养.,规律与方法,