1、第第 1 章章 特殊的平行四边形特殊的平行四边形 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1 已知平行四边形的对角线相交于点， 补充下列四个条件， 能使平行四边形 成为菱形的是 A B C D 2下列说法正确的是 A有一组对角是直角的四边形一定是矩形 B对角互补的平行四边形是矩形 C一条对角线被另 一条对角线垂直平分的四边形是菱形 D对角线相等的四边形是矩形 3菱形的边长是，一条对角线的长是，则另一条对角线的长为 A B C D 4在长方形中，三点的坐标分别是 ，则点的坐标为 A B C D 5如图，要使平行四边形成为矩形，需要添加的条件是 A B C D 6如图，要使平行四边形变为菱形
2、，需要添加的条件是 A B C D 7如图，在正方形的外侧，作等边，连接，若，则 等于 A B C D 8 矩形中， 对角线 、相交于点， 若， 则四边形的周长为 A20 B40 C D 9如图，在矩形中，对角线的垂直平分线交于点 ，交于点， 连结、若，则的长为 A3 B4 C5 D6 10矩形中， ，点、同时分别从点、出发沿、方 向以每秒 1 个单位的速度运动，当四边形为菱形时，两点运动的时间为 A4 秒 B5 秒 C6 秒 D秒 二填空题（共二填空题（共 8 小题）小题） 11正方形的对角线长为，面积为 12如图，菱形中，则 13如右图，在中，两条直角边的长分别是 6 和 8，则斜边 的中
3、 线的长是 14 矩形中， 对角线， 相交于点，于点， 若， 则 的度数为 15如图，在边长为 1 的正方形中，分别为线段，上的点，且 为正三角形，则的长为 16如图，四边形是矩形，则只须补充条件 （用字母表示只添加一个条件）就 可以判定四边形是正方形 17 如图， 为正方形的两条对角线、的交点 若正方形的边长为 ， 则阴影部分的面积为 18如图，在菱形中，的垂直平分线交对角线于点，垂足为点 ，若 ，则的度数为 三解答题（共三解答题（共 7 小题）小题） 19如图，在正方形的外侧，作等边三角形，连接，求的度数 20如图，四边形是正方形，和都是直角，且点 ，三点共线， ，求的长 21 如图， 在
4、矩形中， 对角线与相交于点 过点作 的平行线，过点 作的平行线，两线相交于点 （1）求证：四边形是菱形； （2）已知，求四边形的面积 22如图，四边形、均为正方形，连结 （1）证明：； （2）延长交于，证明： 23如图，菱形中，对角线，相交于点， ， （1）求证：四边形是矩形； （2）已知，求四边形的面积 24如图，在菱形中，对角线与交于点过点作的平行线，过点 作的平行线，两直线相交于点 （1）求证：四边形是矩形； （2）若，菱形的周长是，求菱形的面积 25如图示，正方形的对角线交于点，点、分别在，的延长线上，且 ，与交于点，连接，是的中点，连接 （1）求证： （2）若，求的度数； （3）是否
5、存在点是中点，且使（1）的结论成立，若存在，请给予证明；若不存在， 请说明理由 参考答案参考答案 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1 已知平行四边形的对角线相交于点， 补充下列四个条件， 能使平行四边形 成为菱形的是 A B C D 解：、，不能判定平行四边形是菱形，故选项不符合题意； 、，则平行四边形是矩形，不一定是菱形，故选项不符合题意； 、，则平行四边形是矩形，不一定是菱形，故选项不符合题意； 、，则， 平行四边形是菱形，故选项符合题意； 故选： 2下列说法正确的是 A有一组对角是直角的四边形一定是矩形 B对角互补的平行四边形是矩形 C一条对角线被另 一条对角线垂直平分的四
6、边形是菱形 D对角线相等的四边形是矩形 解：、有一组对角是直角的平行四边形一定是矩形，故错误，不符合题意； 、对角互补的平行四边形是矩形，故正确，符合题意； 、一条对角线被另一条对角线垂直平分的四边形不一定是菱形，故错误，不符合题意； 、对角线相等的四边形是矩形，故错误，不符合题意， 故选： 3菱形的边长是，一条对角线的长是，则另一条对角线的长为 A B C D 解：如图所示： 四边形是菱形， ， ， 由勾股定理得：， ， 故选： 4在长方形中，三点的坐标分别是 ，则点的坐标为 A B C D 解：如图， 根据图形易知点的坐标是 故选： 5如图，要使平行四边形成为矩形，需要添加的条件是 A B
7、 C D 解：、当时，不可判断平行四边形成为矩形； 、当时，不可判断平行四边形成为矩形； 、当时，可判定平行四边形是矩形； 、当时，不可判断平行四边形是矩形； 故选： 6如图，要使平行四边形变为菱形，需要添加的条件是 A B C D 解：因为一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形， 那么可添加的条件是： 故选： 7如图，在正方形的外侧，作等边，连接，若，则 等于 A B C D 解：过作于点，如图所示： 则， 是等边三角形， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， 故选： 8 矩形中， 对角线 、相交于点， 若， 则四边形的周长为 A20 B40 C D 解
8、：四边形为矩形， ，且， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形， ， 由勾股定理得到， ， 则四边形的周长为， 故选： 9如图，在矩形中，对角线的垂直平分线交于点 ，交于点， 连结、若，则的长为 A3 B4 C5 D6 解：对角线的垂直平分线交于点，交于点， ， 设长为，则， 在中， 即， 解得：， 长为 5 故选： 10矩形中， ，点、同时分别从点、出发沿、方 向以每秒 1 个单位的速度运动，当四边形为菱形时，两点运动的时间为 A4 秒 B5 秒 C6 秒 D秒 解：设 秒时四边形为菱形， 此时， 则， 根据勾股定理得：， 解得：， 故选： 二填空题（共二填空题（共 8 小题）小题
9、） 11正方形的对角线长为，面积为 1 解：四边形为正方形， ， 正方形的面积， 故答案为：1 12如图，菱形中，则 100 解：四边形是菱形， ， ， ； 故答案为：100 13如右图，在中，两条直角边的长分别是 6 和 8，则斜边 的中 线的长是 5 解：由勾股定理得， ， 为斜边的中线， 故答案为：5 14 矩形中， 对角线， 相交于点，于点， 若， 则 的度数为 或 解：矩形， ， 于点， ， 是等腰三角形， ， 是等边三角形， ， ， 故答案为：或 15如图，在边长为 1 的正方形中，分别为线段，上的点，且 为正三角形，则的长为 解：四边形是正方形， ， 是等边三角形， ， 在和中
10、， ， ， 设，那么， 在中， 在中， ， ， ， ，而， ， 即的长为， 故答案为： 16如图，四边形是矩形，则只须补充条件 （用字母表示只添加一个 条件）就可以判定四边形是正方形 解：因为有一组邻边相等的矩形是正方形， 故答案为：（答案不唯一） 17 如图， 为正方形的两条对角线、的交点 若正方形的边长为 ， 则阴影部分的面积为 解：由题意可知， ， 的面积等于的面积， 阴影部分的面积等于的面积， 又正方形的边长为， 正方形的面积等于， 的面积等于， 阴影部分的面积等于， 故答案为： 18如图，在菱形中，的垂直平分线交对角线于点，垂足为点 ，若 ，则的度数为 解：连接， 四边形是菱形， ，
11、 垂直平分，垂直平分， ， ， ， ，即， ， ，则， 故答案为： 三解答题（共三解答题（共 7 小题）小题） 19如图，在正方形的外侧，作等边三角形，连接，求的度数 解：四边形是正方形， ， 是等边三角形， ， ， ， 20如图，四边形是正方形，和都是直角，且点 ，三点共线， ，求的长 解：四边形是正方形， ， 点，三点共线， ， 又， ， ， ， 21 如图， 在矩形中， 对角线与相交于点 过点作 的平行线，过点 作的平行线，两线相交于点 （1）求证：四边形是菱形； （2）已知，求四边形的面积 解：（1）， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， ， 平行四边形是菱形 （2）， ， 矩形
12、中，对角线与相交于点， ， 四边形是菱形， ， 22如图，四边形、均为正方形，连结 （1）证明：； （2）延长交于，证明： 【解答】（1）证明：四边形、均为正方形， ， 在和中， ， ， ； （2）由（1）得， ， ， ， 23如图，菱形中，对角线，相交于点， ， （1）求证：四边形是矩形； （2）已知，求四边形的面积 【解答】（1）证明：， 四边形是平行四边形， 在菱形中， ， 四边形是矩形； （2）解：四边形是矩形， ， 四边形是菱形， ， ， ， 四边形的面积 24如图，在菱形中，对角线与交于点过点作的平行线，过点 作的平行线，两直线相交于点 （1）求证：四边形是矩形； （2）若，菱形的
13、周长是，求菱形的面积 【解答】（1）证明：四边形是菱形， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是矩形； （2）由（1）知，平行四边形是矩形， 四边形是菱形， ， 菱形的周长是， ， ， ， 菱形的面积为： 25如图示，正方形的对角线交于点，点、分别在，的延长线上，且 ，与交于点，连接，是的中点，连接 （1）求证： （2）若，求的度数； （3）是否存在点是中点，且使（1）的结论成立，若存在，请给予证明；若不存在， 请说明理由 解：（1）四边形是正方形， ， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ； （2）由（1）， 为等腰直角三角形， 又为 中点， ， 又， ； （3）不存在 若为的中点，则， 又， ，这与与交于点不相符， 故不存在点是中点