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1.4.2(第2课时)夹角问题 学案(含答案)2020年秋人教A版(新教材)选择性必修第一册

1、第第 2 2 课时课时 夹角问题夹角问题 学习目标 1.会用向量法求线线、线面、面面夹角.2.能正确区分向量夹角与所求线线角、线 面角、面面角的关系 知识点一 两个平面的夹角 平面 与平面 的夹角:平面 与平面 相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中不 大于 90 的二面角称为平面 与平面 的夹角 知识点二 空间角的向量法解法 角的分类 向量求法 范围 两条异面直 线所成的角 设两异面直线 l1,l2 所成的角为 ,其方向向量 分别为 u,v,则 cos |cosu,v| |u v| |u|v| 0, 2 直线与平面 所成的角 设直线 AB 与平面 所成的角为 ,直线 AB 的 方向向量为

2、 u,平面 的法向量为 n,则 sin |cos u,n|u n| |u|n| 0, 2 两个平面的 夹角 设平面 与平面 的夹角为 ,平面 , 的法 向量分别为 n1,n2,则 cos |cos n1,n2| |n1 n2| |n1|n2| 0, 2 1.如图,在正方体 ABCDA1B1C1D1中,M,N 分别是 CD,CC1的中点,则异面直线 A1M 与 DN 所成角的大小是( ) A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 答案 D 解析 以 D 为原点,DA,DC,DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系, 设正方体棱长为 1, 则A1M 1,1 2,1 ,DN 0,1,1 2 ,cos

3、A1M ,DN |A1M DN | |A1M |DN | 0. A1M ,DN 2. 2已知向量 m,n 分别是直线 l 与平面 的方向向量、法向量,若 cosm,n 3 2 ,则 l 与 所成的角为( ) A30 B60 C150 D120 答案 B 解析 设 l 与 所成的角为 ,则 sin |cosm,n| 3 2 ,60 ,故选 B. 3已知平面 的法向量 u(1,0,1),平面 的法向量 v(0,1,1),则平面 与 的夹 角为_ 答案 3 解析 cosu,v 1 2 2 1 2,u,v 2 3, 平面 与 的夹角是 3. 4在空间直角坐标系 Oxyz 中,已知 A(1,2,0),B

4、(2,1, 6),则向量AB 与平面 xOz 的法向 量的夹角的正弦值为_ 答案 7 4 解析 设平面 xOz 的法向量为 n(0,1, 0) ,AB (1,3, 6), 所以 cosn,AB n AB |n| |AB | 3 4 , 所以 sinn,AB 1 3 4 2 7 4 . 故向量AB 与平面 xOz 的法向量的夹角的正弦值为7 4 . 一、两条异面直线所成的角 例 1 如图,在三棱柱 OABO1A1B1中,平面 OBB1O1平面 OAB,O1OB60 ,AOB 90 ,且 OBOO12,OA 3,求异面直线 A1B 与 AO1所成角的余弦值 解 以 O 为坐标原点,OA ,OB 的

5、方向为 x 轴,y 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐 标系, 则 O(0,0,0),O1(0,1, 3),A( 3,0,0),A1( 3,1, 3),B(0,2,0), A1B ( 3,1, 3),O 1A ( 3,1, 3) |cosA1B ,O1A |A1B O1A | |A1B |O1A | | 3,1, 3 3,1, 3| 7 7 1 7. 异面直线 A1B 与 AO1所成角的余弦值为1 7. 反思感悟 求异面直线夹角的方法 (1)传统法:作出与异面直线所成角相等的平面角,进而构造三角形求解 (2)向量法:在两异面直线 a 与 b 上分别取点 A,B 和 C,D,则AB 与CD 可分

6、别为 a,b 的方 向向量,则 cos |AB CD | |AB |CD | . 跟踪训练 1 如图所示, 在正方体 ABCDA1B1C1D1中, 已知 M, N 分别是 BD 和 AD 的中点, 则 B1M 与 D1N 所成角的余弦值为( ) A. 30 10 B. 30 15 C. 30 30 D. 15 15 答案 A 解析 建立如图所示的空间直角坐标系, 设正方体的棱长为 2, 则 B1(2,2,2),M(1,1,0),D1(0,0,2),N(1,0,0), B1M (1,1,2), D1N (1,0,2), cosB1M ,D 1N 14 114 14 30 10 . 二、直线与平面

7、所成的角 例 2 如图所示,三棱锥 PABC 中,PA平面 ABC,ABAC,PAAC1 2AB,N 为 AB 上 一点,AB4AN,M,S 分别为 PB,BC 的中点 (1)证明:CMSN; (2)求 SN 与平面 CMN 所成角的大小 (1)证明 设 PA1,以 A 为原点,射线 AB,AC,AP 分别为 x 轴,y 轴,z 轴正方向建立空 间直角坐标系(如图) 则 P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0), 又 AN1 4AB,M,S 分别为 PB,BC 的中点, N 1 2,0,0 ,M 1,0,1 2 ,S 1,1 2,0 , CM 1,1,1 2 ,SN 1 2, 1

8、2,0 , CM SN 1,1,1 2 1 2, 1 2,0 0, CM SN , 因此 CMSN. (2)解 由(1)知,NC 1 2,1,0 , 设 a(x,y,z)为平面 CMN 的一个法向量, CM a0,NC a0. 则 xy1 2z0, 1 2xy0. x2y, z2y. 取 y1,得 a(2,1,2) 设 SN 与平面 CMN 所成的角为 , sin |cosa,SN | 11 2 3 2 2 2 2 . SN 与平面 CMN 所成角为 4. 反思感悟 利用平面的法向量求直线与平面夹角的基本步骤 (1)建立空间直角坐标系 (2)求直线的方向向量 u. (3)求平面的法向量 n.

9、(4)设线面角为 ,则 sin |u n| |u|n| . 跟踪训练 2 如图,在直三棱柱 ABCA1B1C1中,ABACAA12,BAC90 ,E,F 依 次为 C1C,BC 的中点求 A1B 与平面 AEF 所成角的正弦值 解 以 A 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 则 A(0,0,0),A1(0,0,2),B(2,0,0),E(0,2,1),F(1,1,0), 所以A1B (2,0,2),AE(0,2,1),AF(1,1,0) 设平面 AEF 的一个法向量为 n(a,b,c), 由 n AE 0, n AF 0, 得 2bc0, ab0, 令 a1 可得 n(1,1,2) 设 A

10、1B 与平面 AEF 所成角为 , 所以 sin |cosn,A1B |n A1B | |n|A1B | 3 6 , 即 A1B 与平面 AEF 所成角的正弦值为 3 6 . 三、两个平面的夹角 例 3 如图,四棱柱 ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等,ACBDO,A1C1B1D1O1, 四边形 ACC1A1和四边形 BDD1B1均为矩形 (1)证明:O1O平面 ABCD; (2)若CBA60 ,求平面 C1OB1与平面 OB1D 夹角的余弦值 (1)证明 因为四边形 ACC1A1和四边形 BDD1B1均为矩形,所以 CC1AC,DD1BD, 又 CC1DD1OO1,所以 OO1AC,O

11、O1BD, 因为 ACBDO, AC,BD平面 ABCD, 所以 O1O平面 ABCD. (2)解 因为四棱柱的所有棱长都相等,所以四边形 ABCD 为菱形,ACBD,又 O1O平面 ABCD,所以 OB,OC,OO1两两垂直 如图,以 O 为原点,OB,OC,OO1所在直线分别为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系 设棱长为 2,因为CBA60 , 所以 OB 3,OC1, 所以 O(0,0,0),B1( 3,0,2),C1(0,1,2), 平面 BDD1B1的一个法向量为 n(0,1,0), 设平面 OC1B1的法向量为 m(x,y,z), 由 mOB1 ,mOC 1 ,得 3x2z0,y

12、2z0, 取 z 3,则 x2,y2 3, 所以 m(2,2 3, 3), 所以 cosm,n m n |m|n| 2 3 19 2 57 19 . 所以平面 C1 OB1与平面 OB1D 夹角的余弦值为2 57 19 . 延伸探究 本例不变,求平面 B A1C 与平面 A1CD 夹角的余弦值 解 B( 3,0,0),A1(0,1,2),C(0,1,0),D( 3,0,0), 设平面 BA1C 的法向量为 m(x1,y1,z1), A1C (0,2,2),BC ( 3,1,0), 则 m A1C 0, m BC 0, 即 2y12z10, 3x1y10, 令 x11,则 y1 3,z1 3,

13、m(1, 3, 3), 同理得,平面 A1CD 的法向量 n(1, 3, 3), cosm,n m n |m|n| 5 7, 则平面 BA1C 与平面 A1CD 夹角的余弦值为5 7. 反思感悟 求两平面夹角的两种方法 (1)定义法:在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线,这两条直线的夹角即为两平面 的夹角也可转化为求与两平面交线垂直的直线的方向向量的夹角,但要注意其异同 (2)法向量法:分别求出两平面的法向量 n1,n2,则两平面的夹角为n1,n2 当n1,n2 0, 2 时 或 n1,n2 当n1,n2 2, 时. 跟踪训练 3 如图所示,在几何体 SABCD 中,AD平面 SCD,B

14、C平面 SCD,ADDC 2,BC1,又 SD2,SDC120 ,求平面 SAD 与平面 SAB 夹角的余弦值 解 如图,过点 D 作 DC 的垂线交 SC 于 E,以 D 为原点,以 DC,DE,DA 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系 SDC120 , SDE30 , 又 SD2, 点 S 到 y 轴的距离为 1, 到 x 轴的距离为 3, 则有 D(0,0,0),S(1, 3,0),A(0,0,2),C(2,0,0),B(2,0,1), 设平面 SAD 的法向量为 m(x,y,z), AD (0,0,2),AS (1, 3,2), 2z0, x 3y2z0, 取 x 3,得

15、平面 SAD 的一个法向量为 m( 3,1,0) 又AB (2,0,1),设平面 SAB 的法向量为 n(a,b,c),则 n AB 0, n AS 0, 即 2ac0, a 3b2c0, 令 a 3, 则 n( 3,5,2 3), cosm,n m n |m|n| 8 2 102 10 5 , 故平面 SAD 与平面 SAB 夹角的余弦值是 10 5 . 空间向量和实际问题 典例 如图,甲站在水库底面上的点 A 处, 乙站在水坝斜面上的点 B 处 从 A, B 到直线 (库 底与水坝的交线)的距离 AC 和 BD 分别为 a 和 b,CD 的长为 c, 甲乙之间拉紧的绳长为 d, 求库底与水

16、坝所在平面夹角的余弦值 解 由题意可知 ACa,BDb,CDc,ABd, 所以 d2AB 2(ACCD DB )2AC 2CD2DB22(AC CD AC DB CD DB ) a2c2b22AC DB a2c2b22CA DB , 则 2CA DB a2b2c2d2, 设向量CA 与DB 的夹角为 , 就是库底与水坝所在平面的夹角, 因此 2abcos a2b2c2d2,所以 cos a 2b2c2d2 2ab , 故库底与水坝所在平面夹角的余弦值为a 2b2c2d2 2ab . 素养提升 利用空间向量解决实际问题 (1)分析实际问题的向量背景,将题目条件、结论转化为向量问题 (2)对于和垂

17、直、平行、距离、角度有关的实际问题,可以考虑建立向量模型,体现了数学建 模的核心素养 1若异面直线 l1的方向向量与 l2的方向向量的夹角为 150 ,则 l1与 l2所成的角为( ) A. 6 B.5 6 C. 6或 5 6 D以上均不对 答案 A 解析 l1与l2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补, 且异面直线所成角的范围为 0, 2 , 故选 A. 2已知向量 m,n 分别是平面 和平面 的法向量,若 cosm,n1 2,则 与 的夹 角为( ) A30 B60 C120 D150 答案 B 解析 设 与 所成的角为 ,且 0 90 , 则 cos |cosm,n|1 2,60 . 3

18、直三棱柱 ABCA1B1C1中,BCA90 ,M,N 分别是 A1B1,A1C1的中点,BCCA CC1,则 BM 与 AN 所成角的余弦值为( ) A. 1 10 B. 2 5 C. 30 10 D. 2 2 答案 C 解析 如图所示,以 C 为原点,直线 CA 为 x 轴,直线 CB 为 y 轴,直线 CC1为 z 轴建立空 间直角坐标系, 设 CACB1,则 B(0,1,0),M 1 2, 1 2,1 ,A(1,0,0),N 1 2,0,1 . 故BM 1 2, 1 2,1 ,AN 1 2,0,1 , 所以 cosBM ,AN BM AN |BM |AN | 3 4 6 2 5 2 30

19、 10 . 4.如图所示,点 A,B,C 分别在空间直角坐标系 Oxyz 的三条坐标轴上,OC (0,0,2),平面 ABC 的一个法向量为 n(2,1,2),平面 ABC 与平面 ABO 的夹角为 ,则 cos _. 答案 2 3 解析 cos OC n |OC |n| 4 23 2 3. 5正方体 ABCDA1B1C1D1中,BB1与平面 ACD1所成角的正弦值为_ 答案 3 3 解析 设正方体的棱长为 1,建立空间直角坐标系如图 则 D(0,0,0),B(1,1,0),B1(1,1,1) 平面 ACD1的一个法向量为DB1 (1,1,1) 又BB1 (0,0,1), 则 cosDB1 ,BB 1 DB1 BB 1 |DB1 |BB 1 | 1 31 3 3 . 1知识清单: (1)两条异面直线所成的角 (2)直线和平面所成的角 (3)两个平面的夹角 2方法归纳:转化与化归 3常见误区:混淆两个向量的夹角和空间角的关系,不能正确理解空间角的概念,把握空间 角的范围