1、1 14.24.2 用空间向量研究距离用空间向量研究距离、夹角问题夹角问题 第第 1 1 课时课时 距离问题距离问题 学习目标 1.理解点到直线、点到平面距离的公式及其推导.2.了解利用空间向量求点到直线、 点到平面、直线到直线、直线到平面、平面到平面的距离的基本思想 知识点一 点 P 到直线 l 的距离 已知直线 l 的单位方向向量为 u，A 是直线 l 上的定点，P 是直线 l 外一点，设向量AP 在直线 l 上的投影向量为AQ a，则点 P 到直线 l 的距离为 a2a u2 (如图) 知识点二 点 P 到平面 的距离 设平面 的法向量为 n，A 是平面 内的定点，P 是平面 外一点，则
2、点 P 到平面 的距离 为|AP n| |n| (如图) 思考 怎样利用向量方法求直线到直线的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离？ 答案 两条直线平行，其中一条直线到另一条直线间的距离是其中一条直线上任一点到另一 条直线的距离；一条直线和一个平面平行，直线到平面的距离就是这条直线上任一点到这个 平面的距离；两个平面平行，平面到平面的距离就是一个平面上任一点到这个平面的距离 1空间内有三点 A(2,1,3)，B(0,2,5)，C(3,7,0)，则点 B 到 AC 的中点 P 的距离为( ) A. 10 2 B5 C.3 10 2 D3 5 答案 C 2已知直线 l 过点 A(1，1,2)，
3、和 l 垂直的一个向量为 n(3,0,4)，则 P(3,5,0)到 l 的距离 为( ) A5 B14 C.14 5 D.4 5 答案 C 解析 PA (2，6,2)，PA n(2，6,2) (3,0,4)14 ，|n|5， 点 P 到直线 l 的距离为 d|PA n| |n| 14 5 . 3已知直线 l 与平面 相交于点 O，Al，B 为线段 OA 的中点，若点 A 到平面 的距离为 10，则点 B 到平面 的距离为_ 答案 5 4已知平面 的一个法向量为 n(2，2,1)，点 A(1,3,0)在平面 内，则点 P(2,1,4) 到平面 的距离为_ 答案 10 3 解析 点 P 到平面 的
4、距离 d|PA n| |n| |244| 441 10 3 . 一、点到直线的距离 例 1 如图，在空间直角坐标系中有长方体 ABCDABCD，AB1，BC2，AA 3，求点 B 到直线 AC 的距离 解 因为 AB1，BC2，AA3，所以 A(0,0,3)，C(1,2,0)，B(1,0,0)， 所以直线 AC 的方向向量 AC (1,2, 3) 又BC (0,2,0)， 所以BC 在 AC 上的投影长为|BC AC | | AC | 4 14 . 所以点 B 到直线 AC 的距离 d|BC |2 BC AC | AC | 2 416 14 2 35 7 . 反思感悟 用向量法求点到直线的距离
5、的一般步骤 (1)求直线的方向向量 (2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度 (3)利用勾股定理求解另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化 跟踪训练 1 已知在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是 C1C，D1A1的中点，求点 A 到 EF 的距离 解 以 D 点为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如 图所示， 设 DA2，则 A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)，则EF (1，2,1)，FA(1，0，2) |EF | 122212 6，FA EF110(2)(2)1
6、1， FA 在EF上的投影长为|FA EF| |EF | 1 6 . 所以点 A 到 EF 的距离 d|FA |2 1 6 2 29 6 174 6 . 二、点到平面的距离与直线到平面的距离 例 2 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 1，PD平面 ABCD，且 PD1，E，F 分别为 AB， BC 的中点 (1)求点 D 到平面 PEF 的距离； (2)求直线 AC 到平面 PEF 的距离 解 (1)建立如图所示的空间直角坐标系， 则 D(0,0,0)，P(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E 1，1 2，0 ，F 1 2，1，0 . 设 DH平面 PEF，垂足为 H，则
7、DH xDE yDF zDP x1 2y， 1 2xy，z ， xyz1， PE 1，1 2，1 ，PF 1 2，1，1 ， 所以DH PE x1 2y 1 2 1 2xy z 5 4xyz0. 同理，DH PF x5 4yz0， 又 xyz1，解得 xy 4 17，z 9 17. 所以DH 3 17(2,2,3)，所以|DH | 3 17 17. 因此，点 D 到平面 PEF 的距离为 3 17 17. (2)连接 AC，则 ACEF，直线 AC 到平面 PEF 的距离即为点 A 到平面 PEF 的距离， 平面 PEF 的一个法向量为 n(2,2,3)， 所求距离为|AE n| |n| 1
8、17 17 17 . 反思感悟 用向量法求点面距的步骤 (1)建系：建立恰当的空间直角坐标系 (2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标 (3)求向量：求出相关向量的坐标(AP ， 内两不共线向量，平面 的法向量 n) (4)求距离 d|AP n| |n| . 跟踪训练 2 如图所示，已知四棱柱 ABCDA1B1C1D1是底面边长为 1 的正四棱柱若点 C 到平面 AB1D1的距离为4 3，求正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的高 解 设正四棱柱的高为 h(h0)，建立如图所示的空间直角坐标系， 有 A(0,0，h)，B1(1,0,0)，D1(0,1,0)，C(1,1，h)， 则AB1 (1,
9、0，h)，AD 1 (0,1，h)，AC(1,1,0)， 设平面 AB1D1的法向量为 n(x，y，z)， 则 n AB1 0， n AD1 0， 即 xhz0， yhz0， 取 z1，得 n(h，h，1)，所以点 C 到平面 AB1D1的距离为 d|n AC | |n| hh0 h2h21 4 3， 解得 h2. 故正四棱柱 ABCDA1B1C1D1的高为 2. 1已知 A(0, 0, 2) ，B(1, 0, 2) ，C(0, 2, 0) ，则点 A 到直线 BC 的距离为( ) A.2 2 3 B1 C. 2 D. 2 2 答案 A 解析 A(0, 0,2)，B(1, 0,2)，C(0,
10、2,0)， AB (1, 0,0) ，BC(1, 2，2) ， 点 A 到直线 BC 的距离为 d|AB |2 AB BC |BC | 2 1 1 3 2 2 2 3 . 2若三棱锥 PABC 的三条侧棱两两垂直，且满足 PAPBPC1，则点 P 到平面 ABC 的 距离是( ) A. 6 6 B. 6 3 C. 3 6 D. 3 3 答案 D 解析 分别以 PA，PB，PC 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 则 A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1) 可以求得平面 ABC 的一个法向量为 n(1,1,1)， 则 d|PA n| |n| 3 3 . 3已知棱
11、长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1，则平面 AB1C 与平面 A1C1D 之间的距离为 ( ) A. 3 6 B. 3 3 C.2 3 3 D. 3 2 答案 B 解析 建立如图所示的空间直角坐标系， 则 A1(1,0,0) , C1(0,1,0) , D(0,0,1) , A(1,0,1) ， 所以 DA1 (1,0，1) ，DC 1 (0,1，1) , AD (1,0,0) ， 设平面 A1C1D 的一个法向量为 m(x，y，1) ， 则 mDA1 ， mDC1 ， 即 x10， y10， 解得 x1， y1， 故 m(1,1,1)， 显然平面 AB1C平面 A1C1D， 所以平
12、面 AB1C 与平面 A1C1D 之间的距离 d|AD m| |m| 1 3 3 3 . 4已知直线 l 经过点 A(2,3,1)，且向量 n(1,0，1)所在直线与 l 垂直，则点 P(4,3,2)到 l 的 距离为_ 答案 2 2 解析 因为PA (2,0，1)，又 n 与 l 垂直， 所以点 P 到 l 的距离为|PA n| |n| |21| 2 2 2 . 5已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，E，F，G 分别是 C1C，D1A1，AB 的中点，则 点 A 到平面 EFG 的距离为_ 答案 3 3 解析 建系如图， 则 A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)
13、，G(2,1,0)，所以AG (0,1,0)， GE (2,1,1)，GF (1，1,2) 设 n(x，y，z)是平面 EFG 的法向量， 点 A 到平面 EFG 的距离为 d， 则 n GE 0， n GF 0， 所以 2xyz0， xy2z0， 所以 xz， yz， 令 z1， 此时 n(1,1,1)， 所以 d|AG n| |n| 1 3 3 3 . 即点 A 到平面 EFG 的距离为 3 3 . 1知识清单： (1)点到直线的距离 (2)点到平面的距离与直线到平面的距离 2方法归纳：数形结合、转化法 3常见误区：对距离公式理解不到位，在使用时生硬套用对公式推导过程的理解是应用的 基础