1、第第 2 2 课时课时 夹角问题夹角问题 学习目标 1.会用向量法求线线、线面、面面夹角.2.能正确区分向量夹角与所求线线角、线 面角、面面角的关系 知识点一 两个平面的夹角 平面 与平面 的夹角：平面 与平面 相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不 大于 90 的二面角称为平面 与平面 的夹角 知识点二 空间角的向量法解法 角的分类 向量求法 范围 两条异面直 线所成的角 设两异面直线 l1，l2 所成的角为 ，其方向向量 分别为 u，v，则 cos |cosu，v| |u v| |u|v| 0， 2 直线与平面 所成的角 设直线 AB 与平面 所成的角为 ，直线 AB 的 方向向量为
2、 u，平面 的法向量为 n，则 sin |cos u，n|u n| |u|n| 0， 2 两个平面的 夹角 设平面 与平面 的夹角为 ，平面 ， 的法 向量分别为 n1，n2，则 cos |cos n1，n2| |n1 n2| |n1|n2| 0， 2 1.如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别是 CD，CC1的中点，则异面直线 A1M 与 DN 所成角的大小是( ) A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 答案 D 解析 以 D 为原点，DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为 1， 则A1M 1，1 2，1 ，DN 0，1，1 2 ，cos
3、A1M ，DN |A1M DN | |A1M |DN | 0. A1M ，DN 2. 2已知向量 m，n 分别是直线 l 与平面 的方向向量、法向量，若 cosm，n 3 2 ，则 l 与 所成的角为( ) A30 B60 C150 D120 答案 B 解析 设 l 与 所成的角为 ，则 sin |cosm，n| 3 2 ，60 ，故选 B. 3已知平面 的法向量 u(1,0，1)，平面 的法向量 v(0，1,1)，则平面 与 的夹 角为_ 答案 3 解析 cosu，v 1 2 2 1 2，u，v 2 3， 平面 与 的夹角是 3. 4在空间直角坐标系 Oxyz 中，已知 A(1，2,0)，B
4、(2,1， 6)，则向量AB 与平面 xOz 的法向 量的夹角的正弦值为_ 答案 7 4 解析 设平面 xOz 的法向量为 n(0,1, 0) ，AB (1,3， 6)， 所以 cosn，AB n AB |n| |AB | 3 4 ， 所以 sinn，AB 1 3 4 2 7 4 . 故向量AB 与平面 xOz 的法向量的夹角的正弦值为7 4 . 一、两条异面直线所成的角 例 1 如图，在三棱柱 OABO1A1B1中，平面 OBB1O1平面 OAB，O1OB60 ，AOB 90 ，且 OBOO12，OA 3，求异面直线 A1B 与 AO1所成角的余弦值 解 以 O 为坐标原点，OA ，OB 的
5、方向为 x 轴，y 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐 标系， 则 O(0,0,0)，O1(0,1， 3)，A( 3，0,0)，A1( 3，1， 3)，B(0,2,0)， A1B ( 3，1， 3)，O 1A ( 3，1， 3) |cosA1B ，O1A |A1B O1A | |A1B |O1A | | 3，1， 3 3，1， 3| 7 7 1 7. 异面直线 A1B 与 AO1所成角的余弦值为1 7. 反思感悟 求异面直线夹角的方法 (1)传统法：作出与异面直线所成角相等的平面角，进而构造三角形求解 (2)向量法：在两异面直线 a 与 b 上分别取点 A，B 和 C，D，则AB 与CD 可分
6、别为 a，b 的方 向向量，则 cos |AB CD | |AB |CD | . 跟踪训练 1 如图所示， 在正方体 ABCDA1B1C1D1中， 已知 M， N 分别是 BD 和 AD 的中点， 则 B1M 与 D1N 所成角的余弦值为( ) A. 30 10 B. 30 15 C. 30 30 D. 15 15 答案 A 解析 建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为 2， 则 B1(2,2,2)，M(1,1,0)，D1(0,0,2)，N(1,0,0)， B1M (1，1，2)， D1N (1,0，2)， cosB1M ，D 1N 14 114 14 30 10 . 二、直线与平面
7、所成的角 例 2 如图所示，三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，ABAC，PAAC1 2AB，N 为 AB 上 一点，AB4AN，M，S 分别为 PB，BC 的中点 (1)证明：CMSN； (2)求 SN 与平面 CMN 所成角的大小 (1)证明 设 PA1，以 A 为原点，射线 AB，AC，AP 分别为 x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空 间直角坐标系(如图) 则 P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)， 又 AN1 4AB，M，S 分别为 PB，BC 的中点， N 1 2，0，0 ，M 1，0，1 2 ，S 1，1 2，0 ， CM 1，1，1 2 ，SN 1 2， 1
8、2，0 ， CM SN 1，1，1 2 1 2， 1 2，0 0， CM SN ， 因此 CMSN. (2)解 由(1)知，NC 1 2，1，0 ， 设 a(x，y，z)为平面 CMN 的一个法向量， CM a0，NC a0. 则 xy1 2z0， 1 2xy0. x2y， z2y. 取 y1，得 a(2,1，2) 设 SN 与平面 CMN 所成的角为 ， sin |cosa，SN | 11 2 3 2 2 2 2 . SN 与平面 CMN 所成角为 4. 反思感悟 利用平面的法向量求直线与平面夹角的基本步骤 (1)建立空间直角坐标系 (2)求直线的方向向量 u. (3)求平面的法向量 n.
9、(4)设线面角为 ，则 sin |u n| |u|n| . 跟踪训练 2 如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABACAA12，BAC90 ，E，F 依 次为 C1C，BC 的中点求 A1B 与平面 AEF 所成角的正弦值 解 以 A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 A(0,0,0)，A1(0,0,2)，B(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,1,0)， 所以A1B (2,0，2)，AE(0,2,1)，AF(1,1,0) 设平面 AEF 的一个法向量为 n(a，b，c)， 由 n AE 0， n AF 0， 得 2bc0， ab0， 令 a1 可得 n(1，1,2) 设 A
10、1B 与平面 AEF 所成角为 ， 所以 sin |cosn，A1B |n A1B | |n|A1B | 3 6 ， 即 A1B 与平面 AEF 所成角的正弦值为 3 6 . 三、两个平面的夹角 例 3 如图，四棱柱 ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等，ACBDO，A1C1B1D1O1， 四边形 ACC1A1和四边形 BDD1B1均为矩形 (1)证明：O1O平面 ABCD； (2)若CBA60 ，求平面 C1OB1与平面 OB1D 夹角的余弦值 (1)证明 因为四边形 ACC1A1和四边形 BDD1B1均为矩形，所以 CC1AC，DD1BD， 又 CC1DD1OO1，所以 OO1AC，O
11、O1BD， 因为 ACBDO， AC，BD平面 ABCD， 所以 O1O平面 ABCD. (2)解 因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形 ABCD 为菱形，ACBD，又 O1O平面 ABCD，所以 OB，OC，OO1两两垂直 如图，以 O 为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系 设棱长为 2，因为CBA60 ， 所以 OB 3，OC1， 所以 O(0,0,0)，B1( 3，0,2)，C1(0,1,2)， 平面 BDD1B1的一个法向量为 n(0,1,0)， 设平面 OC1B1的法向量为 m(x，y，z)， 由 mOB1 ，mOC 1 ，得 3x2z0，y
12、2z0， 取 z 3，则 x2，y2 3， 所以 m(2,2 3， 3)， 所以 cosm，n m n |m|n| 2 3 19 2 57 19 . 所以平面 C1 OB1与平面 OB1D 夹角的余弦值为2 57 19 . 延伸探究 本例不变，求平面 B A1C 与平面 A1CD 夹角的余弦值 解 B( 3，0,0)，A1(0，1,2)，C(0,1,0)，D( 3，0,0)， 设平面 BA1C 的法向量为 m(x1，y1，z1)， A1C (0,2，2)，BC ( 3，1,0)， 则 m A1C 0， m BC 0， 即 2y12z10， 3x1y10， 令 x11，则 y1 3，z1 3，
13、m(1， 3， 3)， 同理得，平面 A1CD 的法向量 n(1， 3， 3)， cosm，n m n |m|n| 5 7， 则平面 BA1C 与平面 A1CD 夹角的余弦值为5 7. 反思感悟 求两平面夹角的两种方法 (1)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面 的夹角也可转化为求与两平面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注意其异同 (2)法向量法：分别求出两平面的法向量 n1，n2，则两平面的夹角为n1，n2 当n1，n2 0， 2 时 或 n1，n2 当n1，n2 2， 时. 跟踪训练 3 如图所示，在几何体 SABCD 中，AD平面 SCD，B
14、C平面 SCD，ADDC 2，BC1，又 SD2，SDC120 ，求平面 SAD 与平面 SAB 夹角的余弦值 解 如图，过点 D 作 DC 的垂线交 SC 于 E，以 D 为原点，以 DC，DE，DA 所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 SDC120 ， SDE30 ， 又 SD2， 点 S 到 y 轴的距离为 1， 到 x 轴的距离为 3， 则有 D(0,0,0)，S(1， 3，0)，A(0,0,2)，C(2,0,0)，B(2,0,1)， 设平面 SAD 的法向量为 m(x，y，z)， AD (0,0，2)，AS (1， 3，2)， 2z0， x 3y2z0， 取 x 3，得
15、平面 SAD 的一个法向量为 m( 3，1,0) 又AB (2,0，1)，设平面 SAB 的法向量为 n(a，b，c)，则 n AB 0， n AS 0， 即 2ac0， a 3b2c0， 令 a 3， 则 n( 3，5,2 3)， cosm，n m n |m|n| 8 2 102 10 5 ， 故平面 SAD 与平面 SAB 夹角的余弦值是 10 5 . 空间向量和实际问题 典例 如图，甲站在水库底面上的点 A 处， 乙站在水坝斜面上的点 B 处 从 A， B 到直线 (库 底与水坝的交线)的距离 AC 和 BD 分别为 a 和 b，CD 的长为 c， 甲乙之间拉紧的绳长为 d， 求库底与水
16、坝所在平面夹角的余弦值 解 由题意可知 ACa，BDb，CDc，ABd， 所以 d2AB 2(ACCD DB )2AC 2CD2DB22(AC CD AC DB CD DB ) a2c2b22AC DB a2c2b22CA DB ， 则 2CA DB a2b2c2d2， 设向量CA 与DB 的夹角为 ， 就是库底与水坝所在平面的夹角， 因此 2abcos a2b2c2d2，所以 cos a 2b2c2d2 2ab ， 故库底与水坝所在平面夹角的余弦值为a 2b2c2d2 2ab . 素养提升 利用空间向量解决实际问题 (1)分析实际问题的向量背景，将题目条件、结论转化为向量问题 (2)对于和垂
17、直、平行、距离、角度有关的实际问题，可以考虑建立向量模型，体现了数学建 模的核心素养 1若异面直线 l1的方向向量与 l2的方向向量的夹角为 150 ，则 l1与 l2所成的角为( ) A. 6 B.5 6 C. 6或 5 6 D以上均不对 答案 A 解析 l1与l2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补， 且异面直线所成角的范围为 0， 2 ， 故选 A. 2已知向量 m，n 分别是平面 和平面 的法向量，若 cosm，n1 2，则 与 的夹 角为( ) A30 B60 C120 D150 答案 B 解析 设 与 所成的角为 ，且 0 90 ， 则 cos |cosm，n|1 2，60 . 3
18、直三棱柱 ABCA1B1C1中，BCA90 ，M，N 分别是 A1B1，A1C1的中点，BCCA CC1，则 BM 与 AN 所成角的余弦值为( ) A. 1 10 B. 2 5 C. 30 10 D. 2 2 答案 C 解析 如图所示，以 C 为原点，直线 CA 为 x 轴，直线 CB 为 y 轴，直线 CC1为 z 轴建立空 间直角坐标系， 设 CACB1，则 B(0,1,0)，M 1 2， 1 2，1 ，A(1,0,0)，N 1 2，0，1 . 故BM 1 2， 1 2，1 ，AN 1 2，0，1 ， 所以 cosBM ，AN BM AN |BM |AN | 3 4 6 2 5 2 30
19、 10 . 4.如图所示，点 A，B，C 分别在空间直角坐标系 Oxyz 的三条坐标轴上，OC (0,0,2)，平面 ABC 的一个法向量为 n(2,1,2)，平面 ABC 与平面 ABO 的夹角为 ，则 cos _. 答案 2 3 解析 cos OC n |OC |n| 4 23 2 3. 5正方体 ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面 ACD1所成角的正弦值为_ 答案 3 3 解析 设正方体的棱长为 1，建立空间直角坐标系如图 则 D(0,0,0)，B(1,1,0)，B1(1,1,1) 平面 ACD1的一个法向量为DB1 (1,1,1) 又BB1 (0,0,1)， 则 cosDB1 ，BB 1 DB1 BB 1 |DB1 |BB 1 | 1 31 3 3 . 1知识清单： (1)两条异面直线所成的角 (2)直线和平面所成的角 (3)两个平面的夹角 2方法归纳：转化与化归 3常见误区：混淆两个向量的夹角和空间角的关系，不能正确理解空间角的概念，把握空间 角的范围