1、第第 3 3 课时课时 空间中直线、平面的垂直空间中直线、平面的垂直 学习目标 熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的垂直关系 知识点一 线线垂直的向量表示 设 u1，u2 分别是直线 l1 , l2 的方向向量，则 l1l2u1u2u1 u20. 知识点二 线面垂直的向量表示 设 u 是直线 l 的方向向量，n 是平面 的法向量， l，则 lunR，使得 u n. 知识点三 面面垂直的向量表示 设 n1，n2 分别是平面 ， 的法向量，则 n1n2n1 n20. 1若直线 l 的方向向量 a(1,0,2)，平面 的法向量为 n(2,0，4)，则( ) Al Bl Cl Dl 与
2、斜交 答案 B 解析 n2a，an，即 l. 2已知两不重合直线 l1和 l2的方向向量分别为 a(31,0,2)，b(1，1，)，若 l1l2， 则 的值为( ) A1 或1 2 B1 或1 2 C1 或1 2 D1 或1 2 答案 D 解析 由题意知，ab， 31220， 1 或1 2. 3(多选)下列命题中，正确的命题为( ) A若 n1，n2分别是平面 ， 的法向量，则 n1n2 B若 n1，n2分别是平面 ， 的法向量，则 n1 n20 C若 n 是平面 的法向量，a 是直线 l 的方向向量，若 l 与平面 垂直，则 na D若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直 答案 BCD
3、 解析 A 中平面 ， 可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，可知 BCD 正确 4平面 与平面 垂直，平面 与平面 的法向量分别为 u(1,0,5)，v(t，5,1)，则 t 的值为_ 答案 5 解析 平面 与平面 垂直， 平面 的法向量 u 与平面 的法向量 v 垂直， u v0，即1t05510， 解得 t5. 一、证明线线垂直问题 例 1 如图，ABC 和BCD 所在平面互相垂直，且 ABBCBD2，ABCDBC 120 ，E，F 分别为 AC，DC 的中点求证：EFBC. 证明 由题意，以点 B 为坐标原点，在平面 DBC 内过点 B 作垂直于 BC 的直线为 x 轴，BC 所
4、在直线为 y 轴， 在平面 ABC 内过点 B 作垂直 BC 的直线为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 易得 B(0,0,0)，A(0，1， 3)，D( 3，1,0)，C(0,2,0)， 因而 E 0，1 2， 3 2 ，F 3 2 ，1 2，0 ， 所以EF 3 2 ，0， 3 2 ，BC (0,2,0)， 因此EF BC0.从而EFBC，所以 EFBC. 反思感悟 证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系写出点的坐标求直线的方 向向量证明向量垂直得到两直线垂直 跟踪训练 1 已知正三棱柱 ABC-A1B1C1的各棱长都为 1，M 是底面上 BC 边的中点，N 是侧 棱 CC1上
5、的点，且 CN1 4CC1.求证：AB1MN. 证明 设 AB 的中点为 O，作 OO1AA1.以 O 为坐标原点，OB 所在直线为 x 轴，OC 所在直 线为 y 轴，OO1所在直线为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz. 由已知得 A 1 2，0，0 ，B 1 2，0，0 ，C 0， 3 2 ，0 ， N 0， 3 2 ，1 4 ，B1 1 2，0，1 ， M 为 BC 的中点， M 1 4， 3 4 ，0 . MN 1 4， 3 4 ，1 4 ，AB1 (1,0,1)， MN AB1 1 40 1 40. MN AB1 ，AB 1MN. 二、证明线面垂直问题 例 2 如图，在四
6、棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD底面 ABCD，PD DC， E 为 PC 的中点，EFBP 于点 F.求证：PB平面 EFD. 证明 由题意得，DA，DC，DP 两两垂直， 所以以 D 为坐标原点，DA，DC，DP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系 Dxyz，如图， 设 DCPD1，则 P(0,0,1)，A(1,0,0)，D(0,0,0)，B(1,1,0)，E 0，1 2， 1 2 . 所以PB (1,1，1)，DE 0，1 2， 1 2 ，EB 1，1 2， 1 2 ，设 F(x，y，z)， 则PF (x，y，z1)，EF x，y1 2，z
7、 1 2 . 因为EF PB，所以 x y1 2 z1 2 0， 即 xy z0. 又因为PF PB，可设PFPB(01)， 所以 x，y，z1. 由可知，x1 3，y 1 3，z 2 3， 所以EF 1 3， 1 6， 1 6 . 方法一 因为PB DE (1,1，1) 0，1 2， 1 2 01 2 1 20， 所以PB DE ，所以 PBDE， 因为 PBEF，又 EFDEE，EF，DE平面 EFD. 所以 PB平面 EFD. 方法二 设 n2(x2，y2，z2)为平面 EFD 的法向量， 则有 n2 EF 0， n2 DE 0， 即 1 3x2 1 6y2 1 6z20， 1 2y2
8、1 2z20， 所以 x2z2， y2z2. 取 z21，则 n2(1，1,1) 所以PB n 2，所以 PB平面 EFD. 反思感悟 用坐标法证明线面垂直的方法及步骤 (1)利用线线垂直 将直线的方向向量用坐标表示 找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量 判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直 (2)利用平面的法向量 将直线的方向向量用坐标表示 求出平面的法向量 判断直线的方向向量与平面的法向量平行 跟踪训练 2 如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是 BB1，D1B1的中点求 证：EF平面 B1AC. 证明 设正方体的棱长为 2，建立如图所示的
9、空间直角坐标系， 则 A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(1,1,2) EF (1,1,2)(2,2,1) (1，1,1) AB1 (2,2,2)(2,0,0)(0,2,2)， AC (0,2,0)(2,0,0)(2,2,0) 设平面 B1AC 的法向量为 n(x，y，z)， 则 n AB1 2y2z0， n AC 2x2y0， 令 x1 得 n(1,1，1)， 又EF n， EFn， EF平面 B1AC. 三、证明面面垂直问题 例 3 在四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 是正方形，AS底面 ABCD，且 ASAB，E 是 SC 的中点求证：平面
10、 BDE平面 ABCD. 证明 设 ASAB1，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 B(1,0,0)，D(0,1,0)，A(0,0,0)，C(1,1,0)，S(0,0,1)，E 1 2， 1 2， 1 2 . 方法一 连接 AC，交 BD 于点 O，连接 OE， 则点 O 的坐标为 1 2， 1 2，0 . 易知AS (0,0,1)，OE 0，0，1 2 ， 所以OE 1 2AS ， 所以 OEAS. 又 AS平面 ABCD，所以 OE平面 ABCD. 又 OE平面 BDE，所以平面 BDE平面 ABCD. 方法二 设平面 BDE 的法向量为 n1(x，y，z) 易知BD (1,1,0)，BE
11、 1 2， 1 2， 1 2 ， 所以 n1BD ， n1BE ， 即 n1 BD xy0， n1 BE 1 2x 1 2y 1 2z0. 令 x1，可得平面 BDE 的一个法向量为 n1(1,1,0) 因为 AS底面 ABCD，所以平面 ABCD 的一个法向量为 n2AS (0,0,1) 因为 n1 n20，所以平面 BDE平面 ABCD. 反思感悟 证明面面垂直的两种方法 (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明 (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直 跟踪训练 3 在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是 BB1，CD 的中点 求证：平面 AE
12、D平面 A1FD1； 证明 以 D 为坐标原点，分别以 DA，DC，DD1所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的 空间直角坐标系 Dxyz. 设正方体的棱长为 2，则 D(0,0,0)，A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(0,1,0)，A1(2，0,2)，D1(0,0,2)， DA D1A1 (2,0,0)，DE (2,2,1)，D1F (0,1，2) 设平面 AED 的一个法向量为 n1(x1，y1，z1) 由 n1 DA x1，y1，z1 2，0，00， n1 DE x1，y1，z1 2，2，10， 得 2x10， 2x12y1z10. 令 y11，得 n1(0,1，2) 同
13、理，平面 A1FD1的一个法向量为 n2(0,2,1) n1 n2(0,1，2) (0,2,1)0，n1n2， 平面 AED平面 A1FD1. 1 若平面 ， 的法向量分别为 a(2， 1,0)， b(1， 2， 0)， 则 与 的位置关系是( ) A平行 B垂直 C相交但不垂直 D无法确定 答案 B 解析 a b2200，ab，. 2已知平面 的法向量为 a(1,2，2)，平面 的法向量为 b(2，4，k)，若 ， 则 k 等于( ) A4 B4 C5 D5 答案 D 解析 ，ab，a b282k0. k5. 3如图，在空间直角坐标系中，正方体棱长为 2，点 E 是棱 AB 的中点，点 F(
14、0，y，z)是正 方体的面 AA1D1D 上一点，且 CFB1E，则点 F(0，y，z)满足方程( ) Ayz0 B2yz10 C2yz20 Dz10 答案 D 解析 E(1,0,0)，B1(2,0,2)，C(2,2,0)， 所以B1E (1,0，2)，CF(2，y2，z)， 因为 CFB1E，所以B1E CF0， 即 22z0，即 z1. 4.如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB2，AA1 3，AD2 2，P 为 C1D1的中点，M 为 BC 的中点，则 AM 与 PM 的位置关系是_ 答案 PMAM 解析 以 D 为原点，分别以 DA，DC，DD1所在直线为 x 轴，y 轴，z
15、 轴，建立如图所示的空 间直角坐标系 Dxyz， 依题意可得，D(0,0,0)，P(0,1， 3)，A(2 2，0,0)，M( 2，2,0)， 所以PM ( 2， 2,0)(0,1， 3)( 2， 1， 3)， AM ( 2， 2,0)(2 2， 0,0)( 2， 2,0)， 所以PM AM ( 2，1， 3) ( 2，2,0)0， 所以 PMAM. 5在三棱锥 SABC 中，SABSACACB90 ，AC2，BC 13，SB 29，则 直线 SC 与 BC 是否垂直_(填“是”“否”) 答案 是 解析 如图，以 A 为坐标原点，平行于 BC 的直线为 x 轴，AC，AS 所在直线分别为 y 轴，z 轴建立空间直角坐标系 Axyz， 则由 AC2，BC 13，SB 29， 得 B( 13，2,0)，S(0,0，2 3)，C(0,2,0)， SC (0,2，2 3)， CB ( 13，0,0) 因为SC CB0，所以 SCBC. 1知识清单： (1)线线垂直 (2)线面垂直 (3)面面垂直 2方法归纳：转化法、法向量法 3常见误区：直线的方向向量、平面的法向量的关系与线面间的垂直关系的对应易混