1、1.41.4 空间向量的应用空间向量的应用 1 14.14.1 用空间向量研究直线用空间向量研究直线、平面的位置关系平面的位置关系 第第 1 1 课时课时 空间中点空间中点、直线和平面的向量表示直线和平面的向量表示 学习目标 理解直线的方向向量与平面的法向量，会求一个平面的法向量 知识点一 空间中点的位置向量 如图，在空间中，我们取一定点 O 作为基点，那么空间中任意一点 P 就可以用向量OP 来表 示我们把向量OP 称为点 P 的位置向量 知识点二 空间中直线的向量表示式 直线 l 的方向向量为 a ，且过点 A.如图，取定空间中的任意一点 O，可以得到点 P 在直线 l 上的充要条件是存在
2、实数 t，使 OP OA ta， 把AB a 代入式得 OP OA tAB ， 式和式都称为空间直线的向量表示式 思考 直线的方向向量是不是唯一的？ 答案 直线的方向向量不是唯一的，它们都是共线向量解题时，可以选取坐标最简的方向 向量 知识点三 空间中平面的向量表示式 1平面 ABC 的向量表示式 空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件是存在实数 x，y，使OP OA xAB yAC. 我们把式称为空间平面 ABC 的向量表示式 2平面的法向量 如图，若直线 l ，取直线 l 的方向向量 a ，我们称 a 为平面 的法向量；过点 A 且以 a 为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 P|
3、a AP 0 思考 平面的法向量是不是唯一的？ 答案 一个平面的法向量不是唯一的，一个平面的所有法向量共线在应用时，可以根据需 要进行选取 1若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反( ) 2平面 的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量( ) 3直线的方向向量是唯一的( ) 一、直线的方向向量 例 1 (1)已知直线 l 的一个方向向量 m(2，1,3)，且直线 l 过 A(0，y，3)和 B(1,2，z) 两点，则 yz 等于( ) A0 B1 C.3 2 D3 答案 A 解析 A(0，y，3)和 B(1,2，z)，AB (1,2y，z3), 直线 l 的一个方向向量为
4、 m(2，1,3) ，故设AB km. 12k ,2yk，z33k. 解得 k1 2，yz 3 2. yz0. (2) 在如图所示的坐标系中，ABCDA1B1C1D1为正方体，棱长为 1，则直线 DD1的一个方向 向量为_，直线 BC1 的一个方向向量为_ 答案 (不唯一)(0,0,1) (0,1,1) 解析 DD1AA1，AA1 (0,0,1)，直线 DD 1的一个方向向量为(0,0,1)； BC1AD1，AD1 (0，1,1), 故直线 BC1的一个方向向量为(0,1,1) 反思感悟 理解直线方向向量的概念 (1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量 (2)直线的方向向量不唯一 跟
5、踪训练 1 (1)(多选)若 M(1,0， 1)， N(2,1,2)在直线 l 上， 则直线 l 的一个方向向量是( ) A(2,2,6) B(1,1,3) C(3,1,1) D(3,0,1) 答案 AB 解析 M，N 在直线 l 上，MN (1,1,3)， 故向量(1,1,3)，(2,2,6)都是直线 l 的一个方向向量 (2)从点 A(2，1,7)沿向量 a(8,9，12)的方向取线段长|AB |34，则 B 点的坐标为( ) A(18,17，17) B. (14，19,17) C. 6，7 2，1 D. 2，11 2 ，13 答案 A 解析 设 B 点坐标为 (x，y，z) ，则 AB
6、a(0)，即(x2，y1，z7)(8,9，12) ， 因为|AB |34，即 642812144234，得 2，所以 x18，y17，z17. 二、求平面的法向量 例 2 如图， 在四棱锥 PABCD 中， 底面 ABCD 为矩形， PA平面 ABCD， E 为 PD 的中点 AB AP1，AD 3，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面 ACE 的一个法向量 解 因为 PA平面 ABCD，底面 ABCD 为矩形， 所以 AB，AD，AP 两两垂直 如图，以 A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直 角坐标系， 则 D(0， 3，0)，P(0,
7、0,1)，E 0， 3 2 ，1 2 ，C(1， 3，0)， 于是AE 0， 3 2 ，1 2 .AC (1， 3，0) 设 n(x，y，z)为平面 ACE 的法向量， 则 n AC 0， n AE 0， 即 x 3y0， 3 2 y1 2z0， 所以 x 3y， z 3y， 令 y1，则 xz 3. 所以平面 ACE 的一个法向量为 n( 3，1， 3) 延伸探究 本例条件不变，试求直线 PC 的一个方向向量和平面 PCD 的一个法向量？ 解 如图所示，建立空间直角坐标系， 则 P(0,0,1)，C(1， 3，0)，所以PC (1， 3，1)，即直线 PC 的一个方向向量 设平面 PCD 的
8、法向量为 n(x，y，z) 因为 D(0， 3，0)，所以PD (0， 3，1) 由 n PC 0， n PD 0， 即 x 3yz0， 3yz0， 所以 x0， z 3y， 令 y1，则 z 3. 所以平面 PCD 的一个法向量为(0,1， 3) 反思感悟 求平面法向量的方法与步骤 (1)求平面 ABC 的法向量时，要选取平面内两不共线向量，如AC ，AB； (2)设平面的法向量为 n(x，y，z)； (3)联立方程组 n AC 0， n AB 0， 并求解； (4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为 0)便可得到平面的一个法向量 跟踪训练 2 已
9、知ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(2,1,0)，B(0,2,3)，C(1,1,3)，试求出平面 ABC 的一个法向量 解 设平面 ABC 的法向量为 n(x，y，z) A(2,1,0)，B(0,2,3)，C(1,1,3)， AB (2,1,3)，BC(1，1,0) 则有 n AB 0， n BC 0， 即 2xy3z0， xy0， 解得 x3z， xy. 令 z1，则 xy3. 故平面 ABC 的一个法向量为 n(3,3,1) 1若 A( 1,0,1)，B(1,4,7)在直线 l 上，则直线 l 的一个方向向量为( ) A(1,2,3) B(1,3,2) C(2,1,3) D(3,2,1)
10、 答案 A 解析 因为AB (2,4,6) ，所以(1,2,3)是直线 l 的一个方向向量 2已知直线 l1的方向向量 a(2，3,5)，直线 l2的方向向量 b(4，x，y)，若 ab，则 x，y 的值分别是( ) A6 和10 B6 和 10 C6 和10 D6 和 10 答案 A 解析 由题意得 2 4 3 x 5 y，且 x0，y0，所以 x，y 的值分别是 6 和10. 3 若 n(2， 3, 1)是平面 的一个法向量， 则下列向量中能作为平面 的法向量的是( ) A(0，3,1) B(2,0,1) C(2，3,1) D(2,3，1) 答案 D 解析 求与 n 共线的一个向量易知(2，3,1)(2，3，1) 4(多选)在直三棱柱 ABCA1B1C1中，以下向量可以作为平面 ABC 法向量的是( ) A.AB B.AA 1 C.B 1B D.A 1C1 答案 BC 5已知平面 经过点 O(0,0,0)，且 e(1,2，3)是 的一个法向量，M(x，y，z)是平面 内 任意一点，则 x，y，z 满足的关系式是_ 答案 x2y3z0 解析 由题意得 eOM ，则OM e(x，y，z) (1,2，3)0， 故 x2y3z0. 1知识清单： (1)直线的方向向量 (2)平面的法向量 2方法归纳：待定系数法 3常见误区：不理解直线的方向向量和平面法向量的作用和不唯一性