1、1.41.4 空间向量的应用空间向量的应用 1 14.14.1 用空间向量研究直线用空间向量研究直线、平面的位置关系平面的位置关系 第第 1 1 课时课时 空间中点空间中点、直线和平面的向量表示直线和平面的向量表示 1已知向量 a(2, 1,3)和 b(4,2x2,6x)都是直线 l 的方向向量，则 x 的值是( ) A1 B1 或1 C3 D1 答案 A 解析 由题意得 ab，所以 2x22， 6x6， 解得 x1. 2已知平面 的一个法向量是(2，1，1)，则下列向量可作为平面 的一个法向 量的是( ) A. (4,2，2) B. (2,0,4) C. (2，1，5) D. (4，2，2)
2、 答案 D 解析 ， 的法向量与 的法向量平行， 又(4，2，2)2(2，1，1)，故选 D. 3在菱形 ABCD 中，若PA 是平面 ABCD 的法向量，则以下等式中可能不成立的是( ) A.PA AB B.PC BD C.PC AB D.PA CD 答案 C 解析 PA平面 ABCD， BDPA. 又 ACBD， BD平面 PAC， PCBD. 故选项 B 成立，选项 A 和 D 显然成立故选 C. 4已知 A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面 ABC 的一个法向量是( ) A(1,1，1) B(1，1,1) C(1,1,1) D(1，1，1) 答案 D 解析 AB
3、 (1,1,0)，AC(1,0,1) 设平面 ABC 的法向量为 n(x，y，z)，则有 xy0， xz0， 取 x1，则 y1，z1. 故平面 ABC 的一个法向量是(1，1，1) 5(多选)在如图所示的空间直角坐标系中，ABCDA1B1C1D1是棱长为 1 的正方体，下列结 论正确的是( ) A平面 ABB1A1的一个法向量为(0,1,0) B平面 B1CD 的一个法向量为(1,1,1) C平面 B1CD1的一个法向量为(1,1,1) D平面 ABC1D1的一个法向量为(0,1,1) 答案 AC 解析 AD (0,1,0)，ABAD，AA1AD，又 ABAA1A， AD平面 ABB1A1，
4、A 正确； CD (1,0,0)，而(1,1,1) CD 10， (1,1,1)不是平面 B1CD 的法向量， B 不正确； B1C (0,1，1)，CD 1 (1,0,1)，(1,1,1) B 1C 0，(1,1,1) CD 1 0，B 1CCD1C， (1,1,1)是平面 B1CD1的一个法向量，C 正确； BC1 (0,1,1)，而BC 1 (0,1,1)20， (0,1,1)不是平面 ABC1D1的法向量，即 D 不正确 6已知平面 ABC，且 A(1,2，1)，B(2,0，1)，C(3，2,1)，则平面 ABC 的一个法向量为 _ 答案 (2,1,0)(答案不唯一) 解析 AB (1
5、，2,0)，AC(2，4,2)， 设平面 ABC 的法向量为 n(x，y，z)， 则 x2y0， 2x4y2z0， 令 y1，得 x2，z0， 故平面 ABC 的一个法向量为 n(2,1,0) 7在空间直角坐标系 Oxyz 中，已知点 P(2cos x1,2cos 2x2,0)和点 Q(cos x，1,3)，其中 x0，若直线 OP 与直线 OQ 垂直，则 x 的值为_ 答案 2或 3 解析 由 OPOQ，得OP OQ 0， 即(2cos x1) cos x(2cos 2x2) (1)0. cos x0 或 cos x1 2. x0， x 2或 x 3. 8.在如图所示的坐标系中，ABCDA1
6、B1C1D1表示棱长为 1 的正方体，给出下列结论： 直线 DD1的一个方向向量为(0,0,1)；直线 BC1的一个方向向量为(0,1,1)；平面 ABB1A1 的一个法向量为(0,1,0)；平面 B1CD 的一个法向量为(1,1,1) 其中正确的是_(填序号) 答案 解析 DD1 AA 1 (0,0,1)， 故正确； BC 1 AD 1 (0,1,1)， 故正确； 直线 AD平面 ABB 1A1， AD (0,1,0)，故正确；向量AC1 的坐标为(1,1,1)，与平面 B 1CD 不垂直，错 9已知 A(2,2,2)，B(2,0,0)，C(0,2, 2) (1)写出直线 BC 的一个方向向
7、量； (2)设平面 经过点 A，且 BC 是 的法向量，M(x，y，z)是平面 内的任意一点，试写出 x， y，z 满足的关系式 解 (1)B(2,0,0)，C(0,2，2)， BC (2,2，2)，即(2,2，2)为直线 BC 的一个方向向量 (2)由题意AM (x2，y2，z2)， BC 平面 ，AM， BC AM ， (2,2，2) (x2，y2，z2)0. 2(x2)2(y2)2(z2)0. 化简得 xyz20. 10如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是 BB1，DC 的中点，求证：AE 是平面 A1D1F 的法向量 证明 设正方体的棱长为 1，建立如图所示的空间
8、直角坐标系， 则 A(1,0,0)，E 1，1，1 2 ，D1(0,0,1)，F 0，1 2，0 ，A1(1,0,1)，AE 0，1，1 2 ， D1F 0，1 2，1 ，A1D1 (1,0,0) AE D 1F 0，1，1 2 0，1 2，1 1 2 1 20， 又AE A 1D1 0， AE D 1F ，AEA 1D1 . 又 A1D1D1FD1， AE平面 A1D1F， AE 是平面 A 1D1F 的法向量 11已知线段 AB 的两端点坐标为 A(9，3,4)，B(9,2,1)，则线段 AB 与坐标平面( ) AxOy 平行 BxOz 平行 CyOz 平行 DyOz 相交 答案 C 解析
9、 因为AB (9,2,1)(9，3,4)(0,5，3)， 所以 AB平面 yOz. 12已知平面 内有一个点 A(2，1,2)， 的一个法向量为 n(3,1,2)，则下列点 P 中，在 平面 内的是( ) A(1，1,1) B. 1，3，3 2 C. 1，3，3 2 D. 1，3，3 2 答案 B 解析 要判断点 P 是否在平面 内，只需判断向量PA 与平面 的法向量 n 是否垂直，即PA n 是否为 0，因此，要对各个选项进行检验对于选项 A，PA (1,0,1)，则PA n(1,0,1) (3,1,2) 50，故排除 A；对于选项 B，PA 1，4，1 2 ，则PA n 1，4，1 2 (
10、3,1,2)0，故 B 正确；同理可排除 C，D.故选 B. 13已知直线 l 过点 P(1,0，1)且平行于向量 a(2,1,1)，平面 过直线 l 与点 M(1,2,3)，则 平面 的法向量不可能是( ) A(1，4,2) B. 1 4，1， 1 2 C. 1 4，1， 1 2 D(0，1,1) 答案 D 解析 因为PM (0,2,4)，直线 l 平行于向量 a，若 n 是平面 的一个法向量，则必须满足 n a0， n PM 0， 把选项代入验证，只有选项 D 不满足，故选 D. 14若 A 0，2，19 8 ，B 1，1，5 8 ，C 2，1，5 8 是平面 内三点，设平面 的法向量为
11、a(x，y，z)，则 xyz_. 答案 23(4) 解析 由已知得，AB 1，3，7 4 ， AC 2，1，7 4 ， a 是平面 的一个法向量， a AB 0，a AC0， 即 x3y7 4z0， 2xy7 4z0， 解得 x2 3y， z4 3y， xyz2 3yy 4 3y 23(4) 15已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，如果AB (2，1，4)，AD (4,2,0)， AP (1,2，1)对于结论：APAB；APAD；AP是平面 ABCD 的法向量；AP DB .其中正确的是_(填序号) 答案 解析 AB AP0，AD AP 0， ABAP，ADAP，则正确 又AB
12、 与AD 不平行，AP 是平面 ABCD 的法向量， 则正确，由于BD AD AB (2,3,4)，AP(1,2，1)，BD 与AP 不平行，故错误 16.如图所示，在四棱锥 SABCD 中，底面是直角梯形，ADBC，ABC90 ，SA底面 ABCD，且 SAABBC1，AD1 2，建立适当的空间直角坐标系，求平面 SCD 与平面 SBA 的一个法向量 解 以 A 为坐标原点，AD，AB，AS 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间 直角坐标系 Axyz， 则 A(0,0,0)，D 1 2，0，0 ，C(1,1,0)，S(0,0,1)， 则DC 1 2，1，0 ，DS 1 2，0，1 . 向量AD 1 2，0，0 是平面 SAB 的一个法向量 设 n(x，y，z)为平面 SDC 的一个法向量， 则 n DC 1 2xy0， n DS 1 2xz0， 即 y1 2x， z1 2x. 取 x2，得 y1，z1， 故平面 SDC 的一个法向量为(2，1,1)