1、第第 2 2 课时课时 空间中直线空间中直线、平面的平行平面的平行 1与向量 a(1，3,2)平行的一个向量的坐标是( ) A. 1 3，1，1 B(1，3,2) C. 1 2， 3 2，1 D( 2，3，2 2) 答案 C 解析 a(1，3,2)2 1 2， 3 2，1 . 2若平面 ， 的一个法向量分别为 m 1 6， 1 3，1 ，n 1 2，1，3 ，则( ) A B C 与 相交但不垂直 D 或 与 重合 答案 D 解析 因为 n3m，所以 mn，所以 或 与 重合 3已知直线 l 的方向向量是 a(3,2,1)，平面 的法向量是 u(1,2，1)，则 l 与 的位 置关系是( )
2、Al Bl Cl 与 相交但不垂直 Dl 或 l 答案 D 解析 因为 a u3410，所以 au.所以 l 或 l. 4(多选)若直线 l 的一个方向向量为 d(6,2,3)，平面 的一个法向量为 n(1,3,0)，则直 线 l 与平面 的位置关系是( ) A垂直 B平行 C直线 l 在平面 内 D不能确定 答案 BC 解析 d n62300，dn，直线 l 与平面 的位置关系是直线 l 在平面 内或平行 5已知平面 的法向量是(2,3，1)，平面 的法向量是(4，2)，若 ，则 的值是 ( ) A10 3 B6 C6 D.10 3 答案 B 解析 ， 的法向量与 的法向量也互相平行 2 4
3、 3 1 2，6. 6已知平面 内的三点 A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面 的一个法向量为 n(1，1， 1)，且 与 不重合，则 与 的位置关系是_ 答案 解析 AB (0,1，1)，AC(1,0，1)， n AB (1，1，1) (0,1，1) 10(1)1(1)(1)0， n AC (1，1，1) (1,0，1) 110(1) (1)0， nAB ，nAC. n 也为 的一个法向量，又 与 不重合， . 7若 a x，2y1，1 4 是平面 的一个法向量，且 b(1,2,1)，c 3，1 2，2 均与平 面 平行，则向量 a_. 答案 9 52， 1 26， 1
4、 4 解析 由题意，知 a b0， a c0， 即 x4y9 40， 3xy0， 解得 x 9 52， y27 52， 所以 a 9 52， 1 26， 1 4 . 8已知 ， 为两个不重合的平面，设平面 与向量 a(1,2，4)垂直，平面 与向量 b (2,4，8)垂直，则平面 与 的位置关系是_ 答案 平行 解析 由题意得 a，b 分别为 ， 的一个法向量，又 ab，. 9如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ABBC，E，F 分别为 A1C1和 BC 的中点求证：C1F平面 ABE. 证明 如图，以 B 为坐标原点，分别以 BC，BA，BB1所在直线为 x 轴、y 轴、z
5、 轴建立如图 所示的空间直角坐标系 设 BCa，ABb，BB1c， 则 B(0,0,0)，A(0，b，0)，C1(a，0，c)，F a 2，0，0 ，E a 2， b 2，c . 所以AB (0，b，0)，AE a 2， b 2，c . 设平面 ABE 的一个法向量为 n(x，y，z)， 则 n AB 0， n AE 0， 即 by0， a 2x b 2ycz0， 令 x2，则 y0，za c，即 n 2，0，a c . 又C1F a 2，0，c ，所以 n C1F 0， 又 C1F平面 ABE， 所以 C1F平面 ABE. 10已知棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F，M
6、 分别是 A1C1，A1D 和 B1A 上任意 一点求证：平面 A1EF平面 B1MC. 证明 如图，建立空间直角坐标系 Dxyz，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，C1(0,1,1)，A(1,0,0)，D(0,0,0)， C(0,1,0)， 则A1C1 (1,1,0), B1C (1,0，1), DA 1 (1,0,1), B 1A (0，1，1)， 设A1E A 1C1 ，A1F A 1D ,B 1M vB 1A (，vR，且均不为 0) 设 n1(x1，y1，z1)，n2(x2，y2，z2)分别是平面 A1EF 与平面 B1MC 的法向量， 可得 n1 A1E 0， n1 A1F
7、0， 可得 n1 A1C1 0， n1 DA1 0， 即 x1y10， x1z10， 所以可取 n1(1,1, 1) 由 n2 B1M 0， n2 B1C 0， 可得 n2 B1A 0， n2 B1C 0， 即 y2z20， x2z20， 可取 n2(1,1，1)，所以 n1n2，所以 n1n2， 所以平面 A1EF平面 B1MC. 11.如图，在正方体 AC1中，PQ 与直线 A1D 和 AC 都垂直，则直线 PQ 与 BD1的关系是( ) A异面直线 B平行直线 C垂直不相交 D垂直且相交 答案 B 解析 设正方体的棱长为 1，取 D 点为坐标原点建系后，DA1 (1,0,1), AC(1
8、,1,0)， 设PQ (a，b，c)， 则 ac0， ab0， 取PQ (1,1，1)， BD1 (0,0,1)(1,1,0)(1，1,1)PQ ， PQ BD1 ， PQBD1. 12.如图，正方形 ABCD 与矩形 ACEF 所在平面互相垂直，AB 2，AF1，M 在 EF 上，且 AM平面 BDE.则 M 点的坐标为( ) A(1,1,1) B. 2 3 ， 2 3 ，1 C. 2 2 ， 2 2 ，1 D. 2 4 ， 2 4 ，1 答案 C 解析 方法一 以 C 为原点，建立空间直角坐标系如图所示 则 C(0,0,0)，D( 2，0,0)，B(0， 2，0)，E(0,0,1)，A(
9、2， 2，0)， DE ( 2，0,1)，BD ( 2， 2，0)， 设 M(a，a，1)，平面 BDE 的法向量为 n(x，y，z)， 则 n DE 0， n BD 0， 即 2xz0， 2x 2y0， 令 z 2，则 x1，y1，所以 n(1,1， 2)， 又AM (a 2，a 2，1)， AM na 2a 2 20， a 2 2 ，即 M 2 2 ， 2 2 ，1 . 方法二 设 AC 与 BD 相交于 O 点，连接 OE，由 AM平面 BDE，且 AM平面 ACEF，平 面 ACEF平面 BDEOE， 所以 AMEO， 又 O 是正方形 ABCD 对角线交点， 所以 M 为线段 EF
10、的中点 在空间直角坐标系中，E(0,0,1)，F( 2， 2，1) 由中点坐标公式，知点 M 的坐标为 2 2 ， 2 2 ，1 . 13(多选)如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，点 M，P，Q 分别为棱 AB，CD，BC 的中点，平行六面体的各棱长均相等下列结论中正确的是( ) AA1MD1P B. A1MB1Q CA1M平面 DCC1D1 DA1M平面 D1PQB1 答案 ACD 解析 因为A1M A 1A AM A1A 1 2AB ， D1P D 1D DP A1A 1 2AB ， 所以A1M D 1P ，从而 A 1MD1P，可得 ACD 正确 又 B1Q 与 D1P 不
11、平行，故 B 不正确 14在正方体 ABCDA1B1C1D1中，棱长为 a，M，N 分别为 A1B，AC 的中点，则 MN 与平 面 BB1C1C 的位置关系是_ 答案 平行 解析 建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为 2，则 A(2,2,2)，A1(2,2,0)，C(0,0,2)，B(2,0,2)， M(2,1,1)，N(1,1,2)， MN (1,0,1) 又平面 BB1C1C 的一个法向量为 n(0,1,0)， 1001100， MN n， MN平面 BB1C1C. 15直线 l 的方向向量 s(1,1,1)，平面 的法向量为 n(2，x2x，x)，若直线 l平面 ，则实数
12、x 的值为( ) A2 B 2 C. 2 D 2 答案 D 解析 直线 l 的方向向量 s(1,1,1)，平面 的法向量为 n(2，x2x，x)，直线 l平 面 ，x220，解得 x 2. 16.如图，四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，底面 ABCD 为直角梯形，ABCBAD 90 ，PAABBC1 2AD1.问：在棱 PD 上是否存在一点 E，使得 CE平面 PAB？若存 在，求出 E 点的位置；若不存在，请说明理由 解 分别以 AB，AD，AP 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，如图 则 P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0), 设 E(0，y，z)，则 PE (0，y，z1)， PD (0,2，1)， PE PD ， y 2 z1 1 ， AD (0,2,0)是平面 PAB 的法向量， CE (1，y1，z)， 由 CE平面 PAB， 可得CE AD ， (1，y1，z) (0,2,0)2(y1)0， y1，代入式得 z1 2. E 是 PD 的中点， 即存在点 E 为 PD 中点时，CE平面 PAB.