1、1.31.3 空间向量及其运算的坐标表示空间向量及其运算的坐标表示 1 13.13.1 空间直角坐标系空间直角坐标系 学习目标 1.了解空间直角坐标系.2.能在空间直角坐标系中写出所给定点、向量的坐标 知识点一 空间直角坐标系 1空间直角坐标系及相关概念 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点 O 和一个单位正交基底i，j，k ，以 O 为原点，分别 以 i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们 都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系 Oxyz. (2)相关概念：O 叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平
2、 面，分别称为 Oxy 平面、Oyz 平面、Ozx 平面，它们把空间分成八个部分 2右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 x 轴的正方向，食指指向 y 轴的正方向，如果中指指 向 z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系 思考 空间直角坐标系有什么作用？ 答案 可以通过空间直角坐标系将空间点、直线、平面数量化，将空间位置关系解析化 知识点二 空间一点的坐标 在空间直角坐标系 Oxyz 中，i，j，k 为坐标向量，对空间任意一点 A，对应一个向量OA ，且 点 A 的位置由向量OA 唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使 OA xiyjzk.在单
3、位正交基底 i，j，k下与向量 OA 对应的有序实数组(x，y，z)叫做点 A 在此空间直角坐标系中的坐标，记作 A(x，y，z)，其中 x 叫做点 A 的横坐标，y 叫做点 A 的 纵坐标，z 叫做点 A 的竖坐标 思考 空间直角坐标系中，坐标轴上的点的坐标有何特征？ 答案 x 轴上的点的纵坐标、竖坐标都为 0，即(x，0,0) y 轴上的点的横坐标、竖坐标都为 0，即(0，y，0) z 轴上的点的横坐标、纵坐标都为 0，即(0,0，z) 知识点三 空间向量的坐标 在空间直角坐标系 Oxyz 中，给定向量 a，作OA a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实 数组(x，y，z)，使 axiy
4、jzk.有序实数组(x，y，z)叫做 a 在空间直角坐标系 Oxyz 中的坐 标，上式可简记作 a(x，y，z) 思考 空间向量的坐标和点的坐标有什么关系？ 答案 点 A 在空间直角坐标系中的坐标为(x，y，z)，那么向量 OA 的坐标也为(x，y，z) 1空间直角坐标系中，在 x 轴上的点的坐标一定是(0，b，c)的形式( ) 2空间直角坐标系中，在 xOz 平面内的点的坐标一定是(a，0，c)的形式( ) 3关于坐标平面 yOz 对称的点其纵坐标、竖坐标保持不变，横坐标相反( ) 一、求空间点的坐标 例 1 (1)画一个正方体 ABCDA1B1C1D1，若以 A 为坐标原点，以棱 AB，A
5、D，AA1所在的直 线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系，则 顶点 A，C 的坐标分别为_； 棱 C1C 中点的坐标为_； 正方形 AA1B1B 对角线的交点的坐标为_ 答案 (0,0,0)，(1,1,0) 1，1，1 2 1 2，0， 1 2 (2)已知正四棱锥 PABCD 的底面边长为 4，侧棱长为 10，试建立适当的空间直角坐标系， 写出各顶点的坐标 解 正四棱锥 PABCD 的底面边长为 4，侧棱长为 10， 正四棱锥的高为 2 23. 以正四棱锥的底面中心为原点，平行于 BC，AB 所在的直线分别为 x 轴、y 轴，垂直于平面 ABCD 的直
6、线为 z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则正四棱锥各顶点的坐标分别为 A(2， 2,0)， B(2,2,0)， C(2,2,0)， D(2， 2,0)， P(0,0,2 23) 答案不唯一 反思感悟 (1)建立空间直角坐标系的原则 让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面 充分利用几何图形的对称性 (2)求某点 M 的坐标的方法 作 MM垂直平面 xOy，垂足 M，求 M的横坐标 x，纵坐标 y，即点 M 的横坐标 x，纵坐 标 y， 再求 M 点在 z 轴上射影的竖坐标 z， 即为 M 点的竖坐标 z， 于是得到 M 点的坐标(x， y， z) 跟踪训练 1 在棱长为 1 的正方体 AB
7、CDA1B1C1D1中，E，F 分别是 D1D，BD 的中点，G 在棱 CD 上，且 CG1 4CD，H 为 C1G 的中点，试建立适当的坐标系，写出 E，F，G，H 的 坐标 解 建立如图所示的空间直角坐标系 点 E 在 z 轴上，它的横坐标、纵坐标均为 0， 而 E 为 DD1的中点， 故其坐标为 0，0，1 2 . 由 F 作 FMAD，FNCD，垂足分别为 M，N， 由平面几何知识知 FM1 2，FN 1 2， 故 F 点坐标为 1 2， 1 2，0 . 因为 CG1 4CD，G，C 均在 y 轴上， 故 G 点坐标为 0，3 4，0 . 由 H 作 HKCG，可得 DK7 8，HK
8、1 2， 故 H 点坐标为 0，7 8， 1 2 . (答案不唯一) 二、空间点的对称问题 例 2 在空间直角坐标系中，已知点 P(2,1,4) (1)求点 P 关于 x 轴对称的点的坐标； (2)求点 P 关于 xOy 平面对称的点的坐标； (3)求点 P 关于点 M(2，1，4)对称的点的坐标 解 (1)由于点 P 关于 x 轴对称后，它在 x 轴的分量不变，在 y 轴，z 轴的分量变为原来的相 反数，所以对称点坐标为 P1(2，1，4) (2)由点 P 关于 xOy 平面对称后，它在 x 轴，y 轴的分量不变，在 z 轴的分量变为原来的相反 数，所以对称点坐标为 P2(2,1，4) (3
9、)设对称点为 P3(x，y，z)，则点 M 为线段 PP3的中点， 由中点坐标公式，可得 x22(2)6， y2(1)13，z2(4)412， 所以 P3的坐标为(6，3，12) 反思感悟 空间点对称问题的解题策略 (1)空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才 能准确求解 (2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论 跟踪训练 2 已知点 P(2,3，1)关于坐标平面 xOy 的对称点为 P1，点 P1关于坐标平面 yOz 的对称点为 P2，点 P2关于 z 轴的对称点为 P3，则点 P3的坐标为_ 答案 (2，3,1) 解
10、析 点 P(2,3， 1)关于坐标平面 xOy 的对称点 P1的坐标为(2,3,1)， 点 P1关于坐标平面 yOz 的对称点 P2的坐标为(2,3,1)，点 P2关于 z 轴的对称点 P3的坐标是(2，3,1) 三、空间向量的坐标 例 3 已知直三棱柱 ABCA1B1C1中，BAC90 ，ABACAA14，M 为 BC1的中点， N 为 A1B1的中点，建立适当的空间直角坐标系，求向量AB ，AC 1 ，BC 1 的坐标 解 建立如图所示的空间直角坐标系，设1 4AB i，1 4AC j，1 4AA1 k， AB 4i0j0k(4,0,0)， AC1 AA 1 AC0i4j4k(0,4,4)
11、， BC1 BCCC 1 BA ACCC 1 4i4j4k (4,4,4) 反思感悟 向量坐标的求法 (1)点 A 的坐标和向量 OA 的坐标形式完全相同； (2)起点不是原点的向量的坐标可以通过向量的运算求得 跟踪训练 3 已知 A(3,5，7)，B(2,4,3)，设点 A，B 在 yOz 平面上的射影分别为 A1，B1 ， 则向量A1B1 的坐标为_ 答案 (0，1,10) 解析 点 A(3,5，7)，B(2,4,3)在 yOz 平面上的射影分别为 A1 (0,5，7), B1 (0,4,3)， 向量A1B1 的坐标为(0，1,10) 1点 P(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是在(
12、) Ay 轴上 BxOy 面上 CxOz 面上 DyOz 面上 答案 C 2在空间直角坐标系中，点 P(1,3，5)关于平面 xOy 对称的点的坐标是( ) A(1,3，5) B(1,3,5) C(1，3,5) D(1，3,5) 答案 B 3在空间直角坐标系中，点 P(1，2，3)到平面 yOz 的距离是( ) A1 B2 C3 D. 14 答案 A 4点 P(1,1,1)关于 xOy 平面的对称点 P1的坐标为_；点 P 关于 z 轴的对称点 P2的坐标 为_ 答案 (1,1，1) (1，1,1) 解析 点 P(1,1,1)关于 xOy 平面的对称点 P1的坐标为(1,1，1)，点 P 关于 z 轴的对称点 P2 的坐标为(1，1,1) 5在长方体 ABCDA1B1C1D1中，若 D(0,0,0)，A(4,0,0)，B(4,2,0)，A1(4,0,3)，则向量AC1 的 坐标为_ 答案 (4,2,3) 解析 AC1 AD DC1 AD DC CC1 4i2j3k(4,2,3) 1知识清单： (1)空间直角坐标系的概念 (2)点的坐标 (3)向量的坐标 2方法归纳： 数形结合、类比联想 3常见误区： 混淆空间点的坐标和向量坐标的概念，只有起点在原点的向量的坐标才和终点的坐标相同