1、第第 2 2 课时课时 空间向量基本定理的初步应用空间向量基本定理的初步应用 学习目标 1.会用基底法表示空间向量. 2.初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问 题的思想 知识点一 证明平行、共线、共面问题 (1) 对于空间任意两个向量 a，b(b0)，ab 的充要条件是存在实数 ，使 ab. (2) 如果两个向量 a，b 不共线，那么向量 p 与向量 a，b 共面的充要条件是存在唯一的有序 实数对(x，y)，使 pxayb. 思考 怎样利用向量共线、向量共面解决几何中的证明平行、共线、共面问题？ 答案 平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题 知识点二 求夹角
2、、证明垂直问题 (1) 为 a，b 的夹角，则 cos a b |a|b|. (2)若 a，b 是非零向量，则 aba b0. 思考 怎样利用向量的数量积解决几何中的求夹角、证明垂直问题？ 答案 几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围 知识点三 求距离(长度)问题 | |a a a( | | AB AB AB ) 思考 怎样利用向量的数量积解决几何中的求距离(长度)问题？ 答案 几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用数量积可以求得 1四点 A，B，C，D 构成平行四边形 ABCD 的充要条件是AB DC .( ) 2若AB CD ，则 A，B，C，D 四
3、点共线( ) 3已知两个向量 NM ，MP 的夹角为 60 ，则 NMP60 .( ) 4如果OP OM ON ，则四点 O，P，M，N 一定共面( ) 一、证明平行、共面问题 例 1 如图，已知正方体 ABCDABCD，E，F 分别为 AA和 CC的中点 求证：BFED. 证明 BF BCCFBC1 2CC AD 1 2DD ， ED EA AD 1 2AA AD 1 2DD AD ， BF ED ， BF ED ， 直线 BF 与 ED没有公共点，BFED. 反思感悟 证明平行、共面问题的思路 (1)利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行 (2)利用空间向量基本定理证明点线共面或线面
4、平行 跟踪训练 1 如图所示，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别在 B1B 和 D1D 上， 且 BE1 3BB1，DF 2 3DD1. 求证：A，E，C1，F 四点共面 证明 因为AC1 ABAD AA1 AB AD 1 3AA1 2 3AA1 AB 1 3AA1 AD 2 3AA1 AB BEAD DF AE AF， 所以AC1 ，AE，AF共面， 所以 A，E，C1，F 四点共面 二、求夹角、证明垂直问题 例 2 如图所示，在三棱锥 ABCD 中，DA，DB，DC 两两垂直，且 DBDCDA2，E 为 BC 的中点 (1)证明：AEBC ； (2)求直线 AE 与 D
5、C 的夹角的余弦值 (1)证明 因为AE DE DA 1 2(DB DC )DA ，CB DB DC ， 所以AE CB 1 2DB 1 2DC DA (DB DC ) 1 2DB 21 2DC 2DA DB DA DC ， 又 DA，DB，DC 两两垂直， 且 DBDCDA2， 所以AE CB0， 故 AEBC. (2)解 AE DC 1 2DB 1 2DC DA DC 1 2DB DC 1 2DC 2DA DC 1 2DC 22， 由AE 2 1 2DB 1 2DC DA 21 4DB 21 4DC 2DA26，得| | AE 6. 所以 cosAE ，DC AE DC | |AE | |
6、DC 2 62 6 6 . 故直线 AE 与 DC 的夹角的余弦值为 6 6 . 反思感悟 求夹角、证明线线垂直的方法 利用数量积定义可得 cosa，b a b |a|b|，求a，b的大小，进而求得线线角，两直线垂直 可作为求夹角的特殊情况 跟踪训练 2 在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB2，BCB1B1，M，N 分别是 AD，DC 的中点求异面直线 MN 与 BC1所成角的余弦值 解 MN DN DM 1 2(DC DA )， BC1 BCCC 1 DA DD1 ， 所以MN BC1 1 2DC 1 2DA () DA DD1 1 2DA 21 2， 又| MN 1 2| | AC
7、5 2 ， | BC1 2， 所以 cosMN ，BC1 MN BC1 |MN |BC1 1 2 5 2 2 10 10 ， 故异面直线 MN 与 BC1所成角的余弦值为 10 10 . 三、求距离(长度)问题 例 3 已知平面 平面 ，且 l ，在 l 上有两点 A，B，线段 AC ，线段 BD ， 并且 ACl ，BDl，AB6，BD24，AC8，则 CD _. 答案 26 解析 平面 平面 ，且 l，在 l 上有两点 A，B，线段 AC，线段 BD， AC l ，BD l ，AB6，BD24，AC8， CD CA ABBD ， CD 2 (CAABBD )2 CA 2AB2BD2 643
8、6576676， CD26. 反思感悟 求距离(长度)问题的思路 选择已知长度和夹角的三个向量作为基向量，利用基底表示向量，将距离(长度)问题转化为 向量的模的问题 跟踪训练 3 正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 a，AM 1 2MC1 ，点 N 为 B 1B 的中点，则 |MN |等于( ) A. 21 6 a B. 6 6 a C. 15 6 a D. 15 3 a 答案 A 解析 MN AN AM AN 1 3AC1 AB BN1 3(AB AD AA1 ) 2 3AB 1 6AA1 1 3AD ， |MN | 4 9|AB |21 36|AA1 |21 9|AD |2 21 6
9、 a. 1(多选)已知 A，B，C 三点不共线，O 为平面 ABC 外的任一点，则“点 M 与点 A，B，C 共面”的充分条件是( ) A.OM 2OA OB OC B.OM OA OB OC C.OM OA 1 2OB 1 3OC D.OM 1 2OA 1 3OB 1 6OC 答案 BD 解析 根据“OM xOA yOB zOC ，若 xyz1，则点 M 与点 A，B，C 共面”， 因为 2(1)(1)01,11(1)1,11 2 1 3 11 6 1，1 2 1 3 1 61， 由上可知，BD 满足要求 2 设 A， B， C， D 是空间不共面的四点， 且满足AB AC0， AC AD
10、0， AB AD 0， 则BCD 是( ) A钝角三角形 B锐角三角形 C直角三角形 D不确定 答案 B 解析 在BCD 中，BC BD (AC AB) (AD AB )AB20，B 为锐角， 同理，C，D 均为锐角 3如图，三棱锥 SABC 中，SA底面 ABC，ABBC，ABBC2，SA2 2，则 SC 与 AB 所成角的大小为( ) A90 B60 C45 D30 答案 B 解析 因为 SA底面 ABC，所以 SAAC，SAAB，所以AS AB0， 又 ABBC，ABBC2， 所以 BAC45 ，AC2 2 . 因此AB AC| | AB | |AC cos 45 22 2 2 2 4，
11、 所以SC ABAC ABAS AB4， 又 SA2 2，所以 SC SA2AC24 ， 因此 cosSC ，ABSC AB | |SC | |AB 4 42 1 2 ， 所以 SC 与 AB 所成角的大小为 60 . 4如图，已知ABCD 中，AD4，CD3，D60 ，PA平面 ABCD，且 PA6，则 PC 的长为_ 答案 7 解析 PC PAAD DC ， |PC |2PC PC(PAAD DC )2|PA |2|AD |2|DC |22PA AD 2PA DC 2AD DC 6242322|AD |DC |cos 120 611249. PC7. 5已知 a，b 是空间两个向量，若|a|2，|b|2，|ab| 7，则 cosa，b_. 答案 1 8 解析 将|ab| 7化为(ab)27，求得 a b1 2， 再由 a b|a|b|cosa，b求得 cosa，b1 8. 1知识清单： (1)空间向量基本定理 (2)空间向量共线、共面的充要条件 (3)向量的数量积及应用 2方法归纳：转化化归 3常见误区： (1)向量夹角和线线角的范围不同，不要混淆 (2)转化目标不清：表示向量时没有转化目标，不理解空间向量基本定理的意义