1、1 11.11.1 空间向量及其线性运算空间向量及其线性运算 第第 1 1 课时课时 空间向量及其线性运算空间向量及其线性运算 学习目标 1.理解空间向量的有关概念.2.类比平面向量，会用平行四边形法则、三角形法则 作出向量的和与差.3.理解向量运算的交换律、结合律和分配律 知识点一 空间向量的概念 1定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量 2长度或模：向量的大小 3表示方法： 几何表示法：空间向量用有向线段表示； 字母表示法：用字母 a，b，c，表示；若向量 a 的起点是 A，终点是 B，也可记作AB ， 其模记为|a|或|AB |. 4几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长
2、度为 0 的向量叫做零向量，记为 0 单位向量 模为 1 的向量称为单位向量 相反向量 与向量 a 长度相等而方向相反的向量， 称为 a 的相反向量， 记为 a 共线向量 (平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合， 那么 这些向量叫做共线向量或平行向量 规定： 对于任意向量 a， 都有 0a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 思考 空间中的两个向量是不是共面向量？ 答案 是， 空间中的任意两个向量都可以平移到同一个平面内， 成为同一平面内的两个向量 知识点二 空间向量的线性运算 空间向 量的线 加法 abOA AB OB 减法 abOA OC CA 性运
3、算 数乘 当 0 时，aOA PQ ； 当 0 时，aOA MN ； 当 0 时，a0 运算律 交换律：abba； 结合律：a(bc)(ab)c，(a)()a； 分配律：()aaa，(ab)ab. 思考 1 怎样作图表示三个向量的和，作出的和向量是否与相加的顺序有关？ 答案 可以利用三角形法则和平行四边形法则作出三个向量的和加法运算是对有限个向量 求和，交换相加向量的顺序，其和不变 思考 2 由数乘 a0，可否得出 0? 答案 不能a00 或 a0. 1两个有公共终点的向量，一定是共线向量( ) 2在空间中，任意一个向量都可以进行平移( ) 3空间两非零向量相加时，一定可以用平行四边形法则运算
4、( ) 4向量AB 与AC是共线向量，则 A，B，C 三点必在一条直线上( ) 一、向量概念的应用 例 1 (1)下列关于空间向量的说法中正确的是( ) A方向相反的两个向量是相反向量 B空间中任意两个单位向量必相等 C若向量AB ，CD 满足|AB |CD |，则AB CD D相等向量其方向必相同 答案 D 解析 A 中，方向相反，长度相等的两个向量是相反向量；B 中，单位向量模都相等而方向 不确定；C 中，向量作为矢量不能比较大小，故选 D. (2)(多选)下列说法中正确的是( ) A若|a|b|，则 a，b 的长度相同，方向相同或相反 B若向量 a 是向量 b 的相反向量，则|a|b|
5、C空间向量的加法满足结合律 D任一向量与它的相反向量不相等 答案 BC 解析 |a|b|，说明 a 与 b 模相等，但方向不确定；对于 a 的相反向量 ba，故|a|b|， 从而 B 正确；空间向量的加法满足结合律，C 正确；零向量的相反向量仍是零向量故选 BC. 反思感悟 空间向量的概念问题 在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相 等的充要条件是两个向量的方向相同、 模相等 两向量互为相反向量的充要条件是大小相等， 方向相反 跟踪训练 1 下列关于空间向量的命题中，正确的命题的序号是_ 长度相等、方向相同的两个向量是相等向量； 平行且模相等的两个向量
6、是相等向量； 若 ab，则|a|b|； 两个向量相等，则它们的起点与终点相同 答案 解析 根据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，正确；平行且模 相等的两个向量可能是相等向量， 也可能是相反向量， 不正确； 当 ab 时， 也有|a|b|， 不正确；只要模相等、方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点和终点无关， 不正确综上可知只有正确 二、空间向量的加减运算 例 2 如图，已知长方体 ABCDABCD，化简下列向量表达式，并在图中标出化简 结果的向量 (1)AA CB ； (2)AA AB BC. 解 (1)AA CB AA DA AA AD AA AD AD . (2
7、)AA AB BC (AA AB )BCAA AB BC AB BC AC . 向量AD ，AC 如图所示 延伸探究 试把本例中的体对角线所对应向量AC 用向量AA ，AB ，AD 表示 解 在平行四边形 ACCA中，由平行四边形法则可得AC AC AA ， 在平行四边形 ABCD 中， 由平行四边形法则可得AC ABAD . 故AC AB AD AA . 反思感悟 空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量 可使向量首尾相接 (2)巧用平移： 利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、 减法运算时， 务必注意和向量、
8、 差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果 跟踪训练 2 (多选)如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，下列各式运算结果为BD1 的是 ( ) A.A1D1 A 1A AB B.BC BB 1 D 1C1 C.AD AB DD 1 D.B1D1 A 1A DD 1 答案 AB 解析 A 中，A1D1 A 1A ABAD 1 ABBD 1 ； B 中，BC BB 1 D 1C1 BC 1 C 1D1 BD 1 ； C 中，AD AB DD 1 BD DD1 BD BB1 B 1D BD 1 ； D 中，B1D1 A 1A DD 1 BD AA1 DD 1 BD 1 AA
9、1 BD 1 .故选 AB. 三、空间向量的线性运算 例 3 在空间四边形 ABCD 中，G 为BCD 的重心，E，F，H 分别为边 CD，AD 和 BC 的中 点，化简下列各表达式 (1)AG 1 3BE 1 2CA ； (2)1 2(AB ACAD ) 解 (1)因为 G 是BCD 的重心，所以|GE |1 3|BE |， 所以1 3BE GE ，又因为1 2CA EF， 所以由向量的加法法则，可知AG 1 3BE 1 2CA AG GE EF AEEFAF. 从而AG 1 3BE 1 2CA AF. (2)如图所示，分别取 AB，AC 的中点 P，Q，连接 PH，QH， 则四边形 APH
10、Q 为平行四边形，且有1 2AB AP，1 2AC AQ ，而AP AQ AH ，1 2AD AF ， 所以1 2(AB ACAD )AP AQ AF AH AF FH . 反思感悟 利用数乘运算进行向量表示的注意点 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则， 将目标向量转化为已知向量 (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙利用线段的中点进行解题 跟踪训练 3 在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中， M 为 AC 与 BD 的交点 若A1B1 a， A 1D1 b，A1A c，则下列向量中与B 1M 相等的向量是( ) A1 2a 1 2b
11、c B.1 2a 1 2bc C.1 2a 1 2bc D1 2a 1 2bc 答案 A 解析 B1M B 1B BM A1A 1 2(BA BC) c1 2(ab) 1 2a 1 2bc. 1“两个非零空间向量的模相等”是“两个空间向量相等”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 答案 B 2向量 a，b 互为相反向量，已知|b|3，则下列结论正确的是( ) Aab Bab 为实数 0 Ca 与 b 方向相同 D|a|3 答案 D 解析 向量 a，b 互为相反向量，则 a，b 模相等，方向相反，故选 D. 3设 A，B，C 是空间任意三点，下列结论错
12、误的是( ) A.AB BCAC B.AB BCCA0 C.AB ACCB D.AB BA 答案 B 4设有四边形 ABCD，O 为空间任意一点，且AO OB DO OC ，则四边形 ABCD 是( ) A平行四边形 B空间四边形 C等腰梯形 D矩形 答案 A 解析 AO OB DO OC ， AB DC . AB DC 且|AB |DC |. 四边形 ABCD 为平行四边形 5化简：5(3a2b)4(2b3a)_. 答案 3a2b 1知识清单： (1)向量的概念 (2)向量的线性运算(加法、减法和数乘) (3)向量的线性运算的运算律 2方法归纳： 三角形法则、平行四边形法则、数形结合思想 3常见误区：对空间向量的理解 应抓住向量的“大小”和“方向”两个要素，并注意它是一个“量”，而不是一个数