1、1.31.3 空间向量及其运算的坐标表示空间向量及其运算的坐标表示 1 13.13.1 空间直角坐标系空间直角坐标系 1.如图所示，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，则点 B1的坐标是( ) A(1,0,0) B(1,0,1) C(1,1,1) D(1,1,0) 答案 C 解析 点 B1到三个坐标平面的距离都为 1，易知其坐标为(1,1,1)，故选 C. 2点 A(0，2,3)在空间直角坐标系中的位置是( ) A在 x 轴上 B在 xOy 平面内 C在 yOz 平面内 D在 xOz 平面内 答案 C 解析 点 A 的横坐标为 0， 点 A(0，2,3)在 yOz 平面内 3在空间直
2、角坐标系中，P(2,3,4)，Q(2，3，4)两点的位置关系是( ) A关于 x 轴对称 B关于 yOz 平面对称 C关于坐标原点对称 D以上都不对 答案 C 解析 当三个坐标均相反时，两点关于原点对称 4在空间直角坐标系中，已知点 P(1， 2， 3)，过点 P 作平面 yOz 的垂线 PQ，则垂足 Q 的坐标为( ) A(0， 2，0) B(0， 2， 3) C(1,0， 3) D(1， 2，0) 答案 B 解析 由于垂足在平面 yOz 上，所以纵坐标，竖坐标不变，横坐标为 0. 5如图，在空间直角坐标系中，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，B1E1 4A1B1，则BE 等 于
3、( ) A. 0，1 4，1 B. 1 4，0，1 C. 0，1 4，1 D. 1 4，0，1 答案 C 解析 BE BB 1 B 1E k1 4j 0，1 4，1 . 6点 P(1,2，1)在 xOz 平面内的射影为 B(x，y，z)，则 xyz_. 答案 0 解析 点 P(1,2，1)在 xOz 平面内的射影为 B(1,0，1)，x1，y0，z1， xyz1010. 7已知 A(3,2，4)，B(5，2,2)，则线段 AB 中点的坐标为_ 答案 (4,0，1) 解析 设中点坐标为(x0，y0，z0)， 则 x035 2 4，y022 2 0，z042 2 1， 中点坐标为(4,0，1) 8
4、已知空间直角坐标系中三点 A，B，M，点 A 与点 B 关于点 M 对称，且已知 A 点的坐标为 (3,2,1)，M 点的坐标为(4,3,1)，则 B 点的坐标为_ 答案 (5,4,1) 解析 设 B 点的坐标为(x，y，z)，则有x3 2 4， y2 2 3， z1 2 1，解得 x5，y4，z1， 故 B 点的坐标为(5,4,1) 9.建立空间直角坐标系如图所示，正方体 DABCDABC的棱长为 a，E，F，G，H， I，J 分别是棱 CD，DA，AA，AB，BC，CC的中点，写出正六边形 EFGHIJ 各 顶点的坐标 解 正方体 DABCDABC的棱长为 a，且 E，F，G，H，I，J
5、分别是棱 CD， DA，AA，AB，BC，CC的中点，正六边形 EFGHIJ 各顶点的坐标为 E 0，a 2，a ， F a 2，0，a ，G a，0，a 2 ，H a，a 2，0 ，I a 2，a，0 ，J 0，a，a 2 . 10.如图所示，过正方形 ABCD 的中心 O 作 OP平面 ABCD，已知正方形的边长为 2，OP 2，连接 AP，BP，CP，DP，M，N 分别是 AB，BC 的中点，以 O 为原点， OM ，ON ，1 2OP 为单位正交基底建立空间直角坐标系若 E，F 分别为 PA，PB 的中点，求点 A，B，C，D， E，F 的坐标 解 由题意知，点 B 的坐标为(1,1,
6、0) 由点 A 与点 B 关于 x 轴对称，得 A(1，1,0)， 由点 C 与点 B 关于 y 轴对称，得 C(1,1,0)， 由点 D 与点 C 关于 x 轴对称，得 D(1，1,0) 又 P(0,0,2)，E 为 AP 的中点，F 为 PB 的中点， 所以由中点坐标公式可得 E 1 2， 1 2，1 ，F 1 2， 1 2，1 . 11已知空间中点 A(1,3,5)，点 A 与点 B 关于 x 轴对称，则向量点 B 的坐标为_ 答案 (1，3，5) 12在空间直角坐标系中，点 M(2,4，3)在 xOz 平面上的射影为点 M1，则点 M1关于原 点对称的点的坐标是_ 答案 (2,0,3)
7、 解析 由题意，知点 M1的坐标为(2,0, 3)， 所以点 M1关于原点对称的点的坐标是(2,0,3) 13如图，正方体 ABCDABCD的棱长为 2，则图中的点 M 关于 y 轴的对称点的坐 标为_ 答案 (1，2，1) 解析 因为 D(2，2,0)，C(0，2,2)，所以线段 DC的中点 M 的坐标为(1，2,1)， 所以点 M 关于 y 轴的对称点的坐标为(1，2，1) 14.如图是一个正方体截下的一角 PABC，其中 PAa，PBb，PCc.建立如图所示的空 间直角坐标系，则ABC 的重心 G 的坐标是_ 答案 a 3， b 3， c 3 解析 由题意知 A(a，0,0)，B(0，b
8、，0)，C(0,0，c) 由重心坐标公式得点 G 的坐标为 a 3， b 3， c 3 . 15已知向量 p 在基底a，b，c下的坐标为(2,1，1)，则 p 在基底2a，b，c下的坐标 为_；在基底ab，ab，c下的坐标为_ 答案 (1,1,1) 3 2， 1 2，1 解析 由题意知 p2abc， 则向量 p 在基底2a，b，c下的坐标为(1,1,1) 设向量 p 在基底ab，ab，c下的坐标为(x，y，z)，则 px(ab)y(ab)zc(xy)a(xy)bzc， 又p2abc， xy2， xy1， z1， 解得 x3 2，y 1 2，z1， p 在基底ab，ab，c下的坐标为 3 2， 1 2，1 . 16 如图， 在空间直角坐标系中， BC2， 原点 O 是 BC 的中点， 点 D 在平面 yOz 内， 且BDC 90 ，DCB30 ，求点 D 的坐标 解 过点 D 作 DEBC，垂足为 E. 在 RtBDC 中，BDC90 ，DCB30 ，BC2，得|BD |1，|CD | 3， |DE |CD |sin 30 3 2 ，|OE |OB |BE |OB |BD |cos 60 11 2 1 2， 点 D 的坐标为 0，1 2， 3 2 .